İki değişken arasında doğrusal bir ilişki varsa bu ilişki y = ax + b ile ifade edilir. Bu ünitede eğimi, doğru denklemini ve gerçek hayat modellemelerini öğreneceksin. Parabolden türeve kadar bütün ünitelerin okuma dili burada kuruluyor.
4 · 7 işlemi istendiğinde zihninde geçmişte öğrendiğin bilgiler doğrultusunda 28 sayısı belirir. Bu, beynin bir fonksiyonudur. Matematikte fonksiyon da tam olarak budur: bilimsel bir kurala göre girdi ve çıktılardan oluşan bir dönüştürücü. Çevrende gördüğün pek çok şey böyle çalışır.
Grafiğe bakarken üç şeyi okumayı öğreneceksin: nereden başlıyor (y eksenini kestiği nokta), ne kadar hızlı değişiyor (eğim) ve ne zaman sıfırlanıyor (x eksenini kestiği nokta). Telefonunun şarj grafiğinden bir şirketin gelir tablosuna kadar her doğrusal grafik bu üç bilgiyle okunur.
İki değişken arasında doğrusal bir ilişki varsa, a ve b gerçek sayılar olmak üzere bu ilişki y = ax + b doğrusal fonksiyonu veya bu fonksiyonun grafiği ile ifade edilir. Grafiği her zaman bir doğrudur.
x büyüdükçe y de büyür, doğru soldan sağa yükselir. x ekseniyle yaptığı açı dar açıdır (0° < α < 90°).
x büyüdükçe y küçülür, doğru soldan sağa alçalır. x ekseniyle yaptığı açı geniş açıdır (90° < α < 180°).
y = b olur; grafik x eksenine paralel yatay bir doğrudur. x ne olursa olsun çıktı değişmez.
d doğrusunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olmak üzere, α açısının tanjant değeri doğrunun eğimine eşittir. Dik üçgende bir açının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı olduğundan, iki noktası bilinen doğrunun eğimi de bu orandan bulunur.
Kısaca m = Δy / Δx: yatayda 1 birim ilerlediğinde düşeyde kaç birim değiştiğini söyler.
A(x₀, y₀) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi y − y₀ = m · (x − x₀) formülü ile bulunur. Bu formül, doğru denklemi sorularının neredeyse tamamının anahtarıdır.
Önce eğimi bul, sonra iki noktadan herhangi birini nokta-eğim formülüne koy. Hangisini seçtiğinin bir önemi yoktur; ikisi de aynı denklemi verir.
A(1, 2) ve B(3, 8)
m = (8 − 2)/(3 − 1) = 6/2 = 3
y − 2 = 3(x − 1)
y = 3x − 1
Aralarında doğru veya ters orantı bulunan çoklukların ortak çözümleri yapılırken doğrusal fonksiyonlar kullanılır.
Dikkat: y = ax + b'de b ≠ 0 ise doğru orantı yoktur; ilişki doğrusaldır ama orantılı değildir. Taksimetre bunun klasik örneğidir — yol 2 katına çıkınca ücret 2 katına çıkmaz, açılış ücreti vardır.
Birbiriyle ilişkili değişkenler arasındaki gelir-gider dengesi, bir aracın deposunda kalan yakıt miktarı, aldığı yol, bir ürünün alış ve satış fiyatı arasındaki ilişki gibi modellemelerin yorumlanmasında doğrusal fonksiyonlar kullanılır.
10 sorudan oluşan bu test ile üniteyi ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra tam çözümü göreceksin.
İki değişken arasında doğrusal ilişki varsa kullanılır. Grafiği bir doğrudur.
Doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eşittir.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi böyle yazılır.
a > 0 dar açı, a < 0 geniş açı, a = 0 yatay doğru.
Doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Modellemede "başlangıç değeri"dir.
Grafiği orijinden geçer. b ≠ 0 ise ilişki doğrusaldır ama orantılı değildir.
α = 90° için tan90° tanımsızdır. Düşey doğrular fonksiyon belirtmez.
Gelir-gider, kalan yakıt, alınan yol, alış-satış fiyatı problemleri bu kalıpla kurulur.
İki doğrunun kesim noktasıdır. Denklemleri eşitleyerek bulunur.