Galileo, sallanan avizeyi nabzıyla ölçtü
XVI. yüzyılda tavanda asılı büyük bir sarkacın hareketini izleyen Galileo ilginç bir şey fark etti: sarkaç her ileri geri sallanışını aynı sürede tamamlıyordu. Elinde kronometre yoktu; kendi nabzını saydı. Bu basit gözlem sarkaçlı saatlerin doğuşuna, dolayısıyla zamanın hassas ölçülmesine yol açtı.
Belirli zaman aralıklarında denge noktası etrafında tekrarlanan hareketlere periyodik hareket denir.
Basit sarkaç ve yay sarkacı salınımları periyodik hareketlere örnektir. Her iki sistem de enerji kayıpları ihmal edildiğinde periyodik olarak hareketlerini tekrar eder. Bu durumda salınımlar düzenli bir şekilde devam eder ve periyot sabit kalır.
Periyodik hareketlerin incelenmesi; mühendislikte, saat mekanizmalarının tasarımında, titreşimlerin analiz edilmesinde temel bir yere sahiptir.
Zaman, olayların oluş ve akış sırasını belirleyen temel bir niceliktir. Güneş’in doğuşu ve batışı gibi doğal olaylarla başlayan zaman ölçümü, daha hassas ölçümler gerektikçe farklı yöntemlerle ele alınmaya başlanmıştır. Bu yöntemlerden biri de periyodik hareketlerin kullanılmasıdır.
Sarkaçlı saatlerde sarkacın her salınımında sabit bir süre geçer ve bu süreye göre saat ilerler. Zemberekli saatlerde ise bir yay (zemberek), belirli bir enerji birikimiyle döngüsel hareket oluşturur. Her iki mekanizmada da temel unsur, düzenli şekilde tekrar eden hareketlerdir.
Galileo bir ipin ucuna farklı kütleler bağlayarak deneyler yaptı. Deney sırasında ipin uzunluğunu, bağladığı kütleyi ve kütlenin bırakıldığı yüksekliği değiştirerek ölçümlerini tekrarladı.
XVII. yüzyılda Galileo’nun sarkaç prensibi kullanılarak ilk sarkaçlı saat icat edilmiştir. Bu keşif, periyodik hareketlerin anlaşılmasında bir dönüm noktası olarak kabul edilir.
Deneyde değiştirilen üç şeyden yalnızca biri periyodu değiştirdi. Hangisi olduğunu birazdan göreceksin.
Basit sarkaç, üst ucu sabit bir ip ile alt ucuna bağlı kütleden oluşan mekanik bir sistemdir. Kütle, denge noktasından yana doğru çekilerek serbest bırakıldığında yer çekiminin etkisiyle denge konumu etrafında salınım hareketi yapar.
Düşey doğrultu ile yaptığı açının 10°den küçük olması koşuluyla sarkacın hareketi periyodik hareket olarak adlandırılır.
T ∝ √l · T ∝ 1 / √g
Bu sistemde periyot (T); sarkacın uzunluğunun (l) karekökü ile doğru, yer çekimi ivmesinin (g) karekökü ile ters orantılıdır.
Basit sarkacın periyodu, ipin ucuna asılan kütlelerin büyüklüğüne bağlı değildir.
Sürtünmelerin ihmal edildiği bir ortamda kütle bırakıldığı noktadan denge noktasına geldiğinde çeyrek periyot (T/4), karşı tarafa ulaştığında yarım periyot (T/2) ve tekrar bırakıldığı noktaya döndüğünde bir tam periyotluk (T) süre geçmiş olur.
Bir tam titreşim, gidip geri gelmektir: sadece karşıya geçmek yarım titreşimdir. Deneyde “10 tam titreşimin süresini ölçüp 10’a bölün” denmesinin sebebi de budur — tek bir salınımı kronometreyle ölçmek çok hatalı olur, ortalaması alınır.
Sarkaçlı duvar saatlerindeki sarkacın salınımı bir periyodik harekettir. Bu hareket sırasında sarkaç bir uçtan diğer uca 1 s’de (T/2) ulaşır. Her 2 s’de (T) bir aynı hareket tekrarlanır. Bu sarkaçlara saniyeleri vuran sarkaç da denir.
Aşağıdaki sarkacı kendin kur. İp uzunluğunu değiştir: periyot değişsin. Kütleyi değiştir: hiçbir şey olmasın. Bu, ünitenin en çok sorulan ayrıntısıdır.
Aşağıdaki değerler gerçek bir sarkaç deneyinden. Solda kütle sabit, ip değişiyor; sağda ip sabit, kütle değişiyor. İki sütunu yan yana okumak, kuralı tek başına anlatıyor.
Yay sarkacı, bir yay ve yaya bağlı kütleden oluşan mekanik bir sistemdir. Yaya bağlı kütle, denge noktasından x kadar uzaklaştırılarak serbest bırakıldığında denge noktası etrafında salınım hareketi yapar.
T ∝ √m · T ∝ 1 / √k
Sürtünmesiz bir ortamda yay sarkacının periyodu (T); kütlenin (m) karekökü ile doğru, yay sabitinin (k) karekökü ile ters orantılıdır.
Periyot yer çekimi ivmesine bağlı değildir. Yay sabiti değişmediği sürece yayın frekansı değişmez ve hareketi periyodiktir.
İki sistem birbirinin aynası gibidir ve sınav soruları tam olarak bu karşıtlığı sorar:
Basit sarkaç: ip uzunluğuna ve g’ye bağlı, kütleye bağlı
değil.
Yay sarkacı: kütleye ve yay sabitine bağlı, g’ye bağlı değil.
Yani kütle birinde hiç iş görmez, ötekinde belirleyicidir; yer çekimi ise tam tersi. Soruda hangi sistem olduğunu görmeden cevap verme.
Yay sarkacını da kendin kur. Sert yay + küçük kütle hızlı ritim verir, yumuşak yay + büyük kütle yavaş ritim. Metronomun mantığı da budur.
Cisimler; şekline, yapıldığı maddenin cinsine, elastik yapısına ve kütlesine bağlı olarak dışarıdan herhangi bir etki olmadan salınım hareketi yapar. Cismin dış bir etki olmaksızın yapmış olduğu salınımın frekansına doğal titreşim frekansı denir.
Sarkacın ip uzunluğu arttığında periyodu artar fakat frekansı azalır. Dolayısıyla sarkacın doğal titreşim frekansı da azalır.
Örneğin bir gitar teline vurulduğunda, tel belirli bir frekansta titreşir ve bu titreşim sesi oluşturur. Telin kalınlığı, uzunluğu ve gerginliği bu doğal titreşim frekansını belirler.
Benzer şekilde köprüler ve binalar da belirli doğal titreşim frekanslarına sahiptir. Mühendisler, yapıları tasarlarken bu doğal titreşim frekanslarını dikkate alırlar.
Yay sarkacı ve basit sarkaçta periyot artarsa frekans azalır. Aralarındaki bağıntı önceki üniteden tanıdık: T = 1 / f. Periyot bir salınımın süresi, frekans ise bir saniyedeki salınım sayısıdır; biri büyürse öteki küçülür.
Uzun ipli salıncak ağır ağır gider (periyot büyük, frekans küçük); kısa ipli salıncak sık sık gider (periyot küçük, frekans büyük). Parktaki iki salıncağı yan yana izlemek bu kuralı doğrudan gösterir.
Saniyeleri vuran bir sarkacın ucundaki dairesel diskin kütlesi 250 g, diski saat mekanizmasına bağlayan çubuğun uzunluğu 1,1 m’dir. Bu sarkaç sisteminin her bir tam salınımı, saatin 2 s ilerlemesini sağlar.
a) Diskin kütlesi artırılırsa saat zamanı doğru ölçebilir mi?
Çözüm: Periyot, sarkacın ucundaki cismin kütlesine bağlı olmadığından değişmez.
Salınım yine 2 s’de tamamlanacağı için saat doğru şekilde çalışmaya devam eder.
b) Çubuğun uzunluğu azaltılırsa saat zamanı doğru ölçebilir mi?
Çözüm: Çubuğun boyu değiştiğinde sarkacın periyodu da değişir. Boy kısaldığından
periyot azalır; sarkaç bir tam turu 2 s’den daha kısa sürede tamamlar ve
saat normal zamana göre daha hızlı ilerler. Yani saat doğru çalışmaz.
Bir piyanist temposunu korumak için metronom kullanır. Metronomun koluna bağlı kütle, denge konumunun iki yanında ileri geri hareket eder. Kütle yukarıya doğru hareket ettirildikçe kolun periyodu artar ve salınımın sürati azalır, aşağıya indirildikçe kolun periyodu azalır ve salınımın sürati artar.
Öğretmen, metronomun ritmine benzer periyotlar elde etmek için yay ve kütle ile düzenek kurmalarını istiyor. Kütleler: 1. büyük, 2. orta, 3. küçük. Yaylar: 1. çok sert, 2. orta sert, 3. yumuşak.
a) Hızlı ritim: hızlı ritim küçük periyot demektir. T ∝ √m ve T ∝ 1/√k olduğuna göre periyodu küçültmek için kütle küçük, yay sert olmalı: 3. kütle + 1. yay.
b) Yavaş ritim: tam tersi — büyük kütle, yumuşak yay: 1. kütle + 3. yay.
c) 1. yay + 2. kütle ile aynı periyodu veren ikinci düzenek: periyot m/k oranına bağlıdır. Kütleyi bir kademe küçültürsen (2 → 3) yayı da bir kademe yumuşatman gerekir (1 → 2): 3. kütle + 2. yay aynı ritmi verir.
Bir yay sarkacı, kronometrenin saniye değerini belirlemek için kullanılıyor: kütlenin fotoselin önünden geçişi 1 saniye sürüyor. Tamamlanma süresi 5 dk olan bir video başlatıldığında kronometre de çalıştırılıyor. Video bittiğinde kronometre 4 dk 20 s gösteriyor.
Çözüm: Kronometre 300 saniyede yalnız 260 saniye saymış, yani geri kalmış. Demek ki yay sarkacının periyodu olması gerekenden büyük. Periyodu küçültmek gerekir: ya kütle azaltılmalı ya da daha sert (yay sabiti büyük) bir yay kullanılmalıdır. Basit sarkaçtaki gibi ip uzunluğuyla oynamak burada işe yaramaz — bu sistemde belirleyici olan kütle ve yay sabitidir.
Ali Bey, uzun ipli salıncağa 35 kg kütleli Ahmet’i, kısa ipli salıncağa 25 kg kütleli Ayşe’yi oturtup sallıyor. Ayşe süratinin yüksek olduğunu söylüyor.
a) Ayşe’nin sürati neden yüksek? Bu, periyot (ve dolayısıyla frekans) kavramıyla ilgilidir. Salıncak bir basit sarkaçtır; ipi kısa olanın periyodu küçük, frekansı büyüktür. Ayşe birim zamanda daha çok gidip geldiği için hareketi daha hızlı görünür.
b) Yerleri değişirse periyotlar nasıl değişir? Hiç değişmez. Basit sarkacın periyodu ipin ucundaki kütleye bağlı değildir; Ahmet kısa ipliye, Ayşe uzun ipliye geçtiğinde her salıncak kendi eski periyodunu korur. Değişen tek şey kimin hangi periyotla sallandığıdır.
Rastgele bir değişiklik gelir; periyodun ne olacağını seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür.
Salıncak bir basit sarkaçtır. Zincirin uzunluğu periyodu belirler; kim oturursa otursun periyot değişmez. Arkadaşın seni itmek için doğru anı yakalamak zorunda — çünkü salıncağın kendi periyodu vardır ve o ritme uymayan itiş işe yaramaz.
Metronomun kolundaki ağırlığı yukarı kaydırırsan periyot artar, ritim yavaşlar; aşağı indirirsen periyot azalır, ritim hızlanır. Şarkıyı hızlı çalmak istediğinde yaptığın şey, aslında bir periyodik hareketin periyodunu ayarlamaktır.
Bir gitar teline vurulduğunda tel belirli bir frekansta titreşir ve bu titreşim sesi oluşturur. Telin kalınlığı, uzunluğu ve gerginliği bu doğal titreşim frekansını belirler. Akort burguları tam olarak gerginliği değiştirir; perdeye basmak ise uzunluğu kısaltır ve sesi inceltir.
Sessize aldığın telefonun titremesi, içindeki küçük bir motorun düzenli tekrarlanan hareketiyle olur. Bu da bir periyodik harekettir: aynı hareket belirli zaman aralıklarıyla tekrarlanır ve sen bunu masada ses olarak duyarsın.
Omuz askısı uzun bir çanta yürürken ağır ağır, kısa askılı çanta hızlı hızlı sallanır. Çantanın içine kitap koymak bu ritmi değiştirmez — çünkü çanta bir basit sarkaç gibi davranır ve periyodu kütleye bağlı değildir.
Smaç sonrası çember bir süre kendi doğal frekansında titreşir. Potanın direği kalınlaştıkça bu frekans yükselir. Mühendisler, yapıları tasarlarken doğal titreşim frekanslarını dikkate alır; okul bahçesindeki pota da bu hesaba dâhildir.
Büyükannenin duvar saati geri kalıyorsa çözüm sarkacın vidasını çevirip boyunu kısaltmaktır: boy kısalınca periyot azalır, saat hızlanır. Sarkacın ağırlığını değiştirmek hiçbir işe yaramaz. Saniyeleri vuran sarkaç bir uçtan diğerine 1 s’de gider.
Yaya asılı bir oyuncak aşağı çekilip bırakıldığında bir yay sarkacı olur. Ağır bir şey asarsan yavaşlar (T ∝ √m), daha sert bir yay takarsan hızlanır (T ∝ 1/√k). Burada kütle önemlidir — salıncağın tam tersi.
Galileo’nun yaptığı şey buydu: kronometre yoktu, nabzını kullandı. Beden eğitimi dersinde nabzını sayarken sen de bir periyodik hareketi ölçüyorsun. 15 saniyede saydığın atışı 4 ile çarpmak, deneyde “10 titreşimi ölçüp 10’a bölmenin” aynısıdır: ortalama alarak hatayı küçültmek.
Periyodik hareket, basit sarkaç, yay sarkacı ve doğal titreşim frekansı üzerine test
Belirli zaman aralıklarında denge noktası etrafında tekrarlanan hareketlere periyodik hareket denir.
Basit sarkaç ve yay sarkacı salınımları örnektir. Enerji kayıpları ihmal edilirse periyot sabit kalır.
Sarkaçlı ve zemberekli saatlerin çalışma prensibi budur.
Üst ucu sabit bir ip ile alt ucuna bağlı kütleden oluşan mekanik sistemdir.
T ∝ √l · T ∝ 1 / √g
Periyodu ipin ucuna asılan kütleye bağlı değildir.
Hareketin periyodik sayılması için düşeyle yapılan açı 10°den küçük olmalıdır.
Bir yay ve yaya bağlı kütleden oluşan mekanik sistemdir.
T ∝ √m · T ∝ 1 / √k
Periyodu yer çekimi ivmesine bağlı değildir. Yay sabiti değişmediği sürece yayın frekansı değişmez.
Bırakıldığı noktadan denge noktasına → T/4
Karşı tarafa ulaşınca → T/2
Bırakıldığı noktaya dönünce → T
Saniyeleri vuran sarkaç bir uçtan diğerine 1 s’de ulaşır; her 2 s’de hareket tekrarlanır.
Cismin dış bir etki olmaksızın yapmış olduğu salınımın frekansına doğal titreşim frekansı denir. Cismin şekli, maddesinin cinsi, elastik yapısı ve kütlesi belirler.
Sarkacın ip uzunluğu arttığında periyodu artar, frekansı ve doğal titreşim frekansı azalır. Periyot artarsa frekans azalır (T = 1 / f).
Gitar telinde kalınlık, uzunluk ve gerginlik; köprü ve binalarda yapısal özellikler bu frekansı belirler.
Deney tablosu (kütle 100 g sabit): ip 10 → 0,60 s · 20 → 0,85 s · 30 → 1,04 s ·
40 → 1,20 s · 50 → 1,34 s
Deney tablosu (ip 40 cm sabit): 50, 100, 150, 200, 250 g için periyot
hep 1,2 s
Saniye sarkacı: disk ağırlaşırsa saat doğru çalışır; çubuk kısalırsa saat
hızlanır
Metronom: hızlı ritim = 3. kütle + 1. yay · yavaş ritim = 1. kütle + 3. yay ·
1. yay + 2. kütle ile aynı periyot = 2. yay + 3. kütle
Salıncak: yer değiştirseler de periyotlar değişmez