Test pozitif çıktı.
Peki gerçekten hasta mısın?
Cevap sandığından çok daha düşük olabilir — ve sebebi testin kötü olması değil. Bayes teoremi, elindeki tahmini yeni bir bilgi geldiğinde nasıl güncelleyeceğini söyler. Doktorlar, meteorologlar ve kalite kontrol mühendisleri kararlarını bu tek fikirle veriyor.
Belirsizlik içeren gerçek yaşam durumlarında mevcut bilgiye dayalı tahminlerin ya da yorumların, toplanan veya verilen yeni bilgilere bağlı olarak güncellenmesi gerekir. Bayes teoreminin temel mantığı tam olarak budur: bir olayın olasılığını, o olayla ilişkili başka bir olayın gerçekleşmesi durumunda güncellemek.
Kandaki demir oranı 37 ug/dL altında kalan hastaya “demir eksikliği anemisi” teşhisi
konur. Bu test hasta olanların %90’ında, hasta
olmayanların %15’inde pozitif sonuç veriyor.
Kanındaki demir değeri 35 ug/dL çıkan bir birey için “kesinlikle
hastadır” denebilir mi?
Hayır. Çünkü test hasta olmayanların %15’ine de pozitif
diyor. Pozitif sonuç bir kanıt değil, bir ipucudur —
olasılığı yükseltir ama kesinleştirmez.
Bir kişi 16.00–17.00 arasında yağmur yağma olasılığının %80
olduğunu öğreniyor. Ama tahmini yapan kurum, tahminlerinde
%20 oranında hata olabileceğini açıklıyor.
Bu yeni bilgiyle olasılık değişir mi? Evet. Elindeki
sayı artık “yağmur olasılığı” değil, “bu kurum yağmur diyorsa
yağma olasılığı”dır. İkisi farklı sayılardır ve ikincisi birincisinden daha
düşüktür.
Bayes hesabında hep iki sayı vardır ve bunları karıştırmamak işin yarısıdır:
Önceki olasılık: hiçbir test yapılmadan bilinen genel
oran. Örneğin “65 yaş üzerinde alzaymır görülme oranı %10”. Bu, o kişi hakkında hiçbir şey
bilmediğimizdeki tahminimiz.
Sonraki olasılık: test sonucu geldikten sonraki
güncellenmiş tahmin. “Testi pozitif çıktığına göre hasta olma olasılığı”. Aradığımız
sayı hep budur.
Teoremin adı: Bayes teoremi, 18. yüzyıl İngiliz
matematikçisi Thomas Bayes’in adını taşır ve koşullu
olasılığı belirlemek için kullanılan matematiksel bir bağıntıdır. Özellikle
belirsizlik altında doğru kararlar vermek için kullanılır:
tıbbi tanı testlerinde, meteorolojide hava tahminlerinde, fabrikalarda üretilen ürünün
hatalı olma durumunun tespitinde.
Bayes problemlerinin hepsi tek bir şablona oturur ve o şablon saymaktan ibarettir. Kesirlerle boğuşmak yerine uygun bir toplam sayı seç, herkesi iki gruba ayır, her gruptan kaçının testi pozitif çıktığını hesapla, sonra bölme.
1 · Toplamı seç. Bütün oranların tam sayı vereceği bir
sayı al: 100, 400, 1000 ya da paydaların ortak katı. (Kitap bunu bazen
“100x kişi olsun” diye yazar — x’ler sonunda sadeleşir.)
2 · İkiye böl. Önceki olasılığı kullanarak toplamı
“gerçekten olan” ve “gerçekten olmayan” diye ayır.
3 · Her gruptan pozitifleri say. Hasta grubun testi hangi
oranda pozitif veriyorsa o kadarını, sağlıklı grubun testi hangi oranda yanlış pozitif
veriyorsa o kadarını al.
4 · Böl. Aranan grubun pozitifleri, toplam pozitiflere
bölünür:
P(hasta | pozitif) = (hasta ve pozitif) /
(toplam pozitif)
Alzaymır, hafıza kaybına ve düşünme yeteneğinin azalmasına yol açan, unutkanlık belirtisi
ile öne çıkan bir beyin hastalığıdır. 65 yaş üzeri bireylerde görülme oranı
%10. Yeni bir kan testi, hasta olan bireyin testini
%80, sağlıklı bireyin testini
%10 oranında pozitif veriyor.
Bir bireyin teşhis alma olasılığı: 400 kişinin
40’ı hasta, 360’ı
sağlıklı ⇒ 40/400 = 1/10
Test sonucu pozitif olanın gerçekten alzaymır olması:
Hastalardan pozitif: 40 · 0,80 = 32
Sağlıklılardan pozitif: 360 · 0,10 = 36
Toplam pozitif: 68
32 / 68 = 8/17 ≈ %47
Yani pozitif çıkanların yarısından azı gerçekten hasta —
yanlış pozitiflerin sayısı gerçek hastalardan fazla
(36 > 32). Sebebi testin kötülüğü değil, sağlıklı grubun dokuz kat kalabalık olması.
Aynı çalışmada testin hasta bireylerdeki pozitiflik oranı %80’den
%90’a yükseltiliyor. Sonuç nasıl değişir?
Hastalardan pozitif: 40 · 0,90 = 36
Sağlıklılardan pozitif: 36 (değişmedi)
36 / 72 = 1/2 = %50
%10’luk bir iyileşme, sonucu %47’den yalnızca %50’ye çıkardı. Neden bu kadar az?
Çünkü sorun hastaları yakalamakta değil, sağlıklılara yanlış
pozitif demekte. Testin yanlış pozitif oranını %10’dan %5’e düşürseydin sonuç
32/(32 + 18) = %64’e çıkardı. Yukarıdaki kaydırakları
deneyerek bunu kendin görebilirsin: hangi kaydırak sonucu en çok oynatıyor?
Bir önceki ünitedeki üç görselleştirme burada da işini görür. Fabrikadaki ambalaj örneğini üç temsille birden çöz — hangisinin sana daha kolay geldiğini seç.
Bir fabrikada ürünler beyaz, kırmızı, mavi ve siyah ambalajlarla rastgele paketleniyor.
Beyaz ve kırmızı paketlerin %5’i, siyah ve mavi paketlerin
%10’u hatalı çıkıyor. Bir günde
200 beyaz, 300 kırmızı, 240 siyah ve 260 mavi ambalaj
kullanılıyor (toplam 1000).
Beyaz: 200 · %5 = 10 hatalı, 190 hatasız
Kırmızı: 300 · %5 = 15 hatalı, 285 hatasız
Siyah: 240 · %10 = 24 hatalı, 216 hatasız
Mavi: 260 · %10 = 26 hatalı, 234 hatasız
Toplam hatalı: 10 + 15 + 24 + 26 = 75
Ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre kırmızı ambalajlı olma
olasılığı:
15 / 75 = 1/5
Kırmızı, en çok kullanılan ambalaj (300 adet) ama hata oranı düşük
(%5). Siyah ve mavi daha az kullanılıyor ama hata oranları iki kat; bu yüzden hatalı
ürünlerin çoğunluğu (50/75) onlardan geliyor.
Berkan çilek yedikten sonra vücudunda kızarıklar oluşuyor ve doktor alerji testi istiyor.
Test alerjisi olan bireyde %90, alerjisi olmayan bireyde
%20 oranında pozitif sonuç veriyor. Bu toplumda çileğe
alerjisi olanların olasılığı %10.
Toplam kişi sayısı 100x alalım — hiçbir sayı verilmediğinde
bu yöntem her oranı tam sayı yapar ve x’ler sonunda sadeleşir.
Alerjisi olan: 100x · %10 = 10x · alerjisi olmayan:
90x
Alerjililerden pozitif: 10x · %90 = 9x
Alerjisizlerden pozitif: 90x · %20 = 18x
Toplam pozitif: 27x
Tablo (satır ve sütun toplamları tutuyor):
Alerjili Alerjisiz Toplam
Pozitif 9x 18x 27x
Negatif 1x 72x 73x
Toplam 10x 90x 100x
Test sonucu pozitif çıkan Berkan’ın gerçekte çilek alerjisi
olma olasılığı:
9x / 27x = 1/3
Test alerjilileri %90 oranında yakalıyor ama pozitif çıkan Berkan’ın
alerjili olma olasılığı yalnızca %33. Çünkü alerjisi
olmayan 90x kişinin %20’si de pozitif çıkıyor ve sayıca onlar daha kalabalık
(18x > 9x). Yine de %10’dan %33’e çıktı: test işe
yaramadı demek değil, tek başına yetmiyor demek.
Bayes teoreminin en şaşırtıcı sonucu şudur: bir hastalık ne kadar nadirse, testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı o kadar düşük olur — test ne kadar iyi olursa olsun. Sebebini kaydırakla gör.
MRI, beyin tümörü teşhisinde kullanılan en iyi görüntüleme yöntemidir: tümörü olan bir
kişide %90 oranında tespit edebiliyor, ancak sağlıklı
bireylerin 1/99’una da tümör teşhisi koyabiliyor.
Türkiye’de beyin tümörünün görülme sıklığı %1.
99 000 kişi alalım (99 ile 100’ün ortak katı):
Tümörlü: 990 · teşhis konan: 990 · 0,90 = 891
Sağlıklı: 98 010 · yanlış teşhis: 98 010 / 99 = 990
Toplam teşhis: 891 + 990 = 1881
891 / 1881 = 9/19 ≈ %47
Yanlış teşhis oranı yalnızca %1’in biraz üzerinde (1/99 ≈ %1,01)
olmasına rağmen, sağlıklı grup 99 kat kalabalık olduğu için
yanlış teşhisler doğru teşhisleri geçiyor.
Nadir hastalıkta pozitif sonucu güvenilir kılmanın üç yolu var ve üçü de
aynı hesaptan okunuyor:
1 · Yanlış pozitif oranını düşürmek. En etkilisi budur.
Sağlıklı grup kalabalık olduğu için oradaki küçük bir yüzde bile büyük bir sayıya
karşılık gelir.
2 · Önce riski daraltmak. Testi herkese değil, belirtisi
olanlara uygulamak. Berkan’ın kızarıkları çıktıktan sonra test edilmesi tesadüf
değil — bu, önceki olasılığı %10’dan çok daha yükseğe taşır.
3 · İkinci bir test yapmak. İlk testin sonucu, ikinci
test için yeni önceki olasılık olur. Doktorların pozitif
bir sonucu doğrulama testiyle desteklemesinin matematiksel sebebi budur.
Konu tıp, gıda, su tüketimi ya da beyaz eşya olabilir; hesap değişmez. Tabloda her problemin seçilen toplamını, iki grubunu ve sonucunu birlikte görebilirsin.
Türkiye’de böbrek taşı görülme sıklığı yaklaşık %15.
İdrar tahlili hasta bireylerde 4/5, hasta olmayan
bireylerde 2/17 oranında pozitif sonuç veriyor.
1000 kişi alalım:
Hasta: 150 · pozitif: 150 · 4/5 = 120
Sağlıklı: 850 · pozitif: 850 · 2/17 = 100
Toplam pozitif: 220
Testi pozitif çıkan Enes’in böbreğinde taş olma olasılığı:
120 / 220 = 6/11 ≈ %55
1000 seçilmesi tesadüf değil: 850’nin 2/17’si tam sayı çıksın diye
17’nin katı olan bir sayı gerekiyordu ve 1000 hem %15’i hem 2/17’yi tam veriyor.
Aflatoksin, kuru gıdalarda görülen küf mantarlarının oluşturduğu toksik bir maddedir.
Bir firmanın ürünlerinin %8’inde aflatoksine
rastlanıyor. Ayıklama cihazı toksinli incirleri 3/4
oranında tespit ediyor ama sağlıklı ürünlerin 5/23’ünü
de toksinli sanıp ayıklıyor.
2300 ürün alalım:
Toksinli: 184 · ayıklanan: 184 · 3/4 = 138
Sağlıklı: 2116 · ayıklanan: 2116 · 5/23 = 460
Toplam ayıklanan: 598
Ayıklanmasına rağmen sağlıklı olma olasılığı:
460 / 598 = 10/13 ≈ %77
Cihaz ayıkladığı ürünlerin dörtte
üçünden fazlasını boşuna atıyor. Gıda güvenliğinde bu bilinçli bir tercihtir:
toksinli bir inciri kaçırmanın bedeli, sağlıklı bir inciri atmanın bedelinden çok daha
yüksektir.
Geri dönüşüm fabrikasının kâğıt toplama bölümüne alev sensörü yerleştiriliyor. Sensörün bir
yıl içinde gönderdiği on mesajdan dördünün doğru olduğu
tespit ediliyor.
a) Sadece alev sensörüyle tespit olasılığı:
4/10 = 2/5 = 0,4
b) Gaz sensörü eklendikten sonra: sisteme gaz sensörü de
eklenmesi tespit olasılığını 9/10 oranında artırıyor. Yani
yeni değer, eskisinin 1 + 9/10 = 19/10 katıdır:
(2/5) · (19/10) = 19/25 = 0,76
Bu okuma bilinçli bir seçimdir: cümle “9/10’a çıkardı” deseydi
“artırmıştır” ifadesi gereksiz olurdu ve c şıkkındaki %80’lik karşılaştırma da anlamsız
kalırdı (9/10 zaten %80’den büyüktür).
c) Tek bir X sensörü %80 olasılıkla tespit ediyorsa hangisi
daha uygundur?
İki sensörlü sistem %76, X sensörü
%80 ve ikisinin maliyeti aynı. Öyleyse
X sensörü daha uygundur: aynı parayla daha yüksek tespit
olasılığı sağlıyor ve tek cihaz olduğu için bakımı da tek noktadan yapılır.
“Test hastaları %90 yakalıyor” cümlesi P(pozitif | hasta) demektir. Soru ise P(hasta | pozitif) soruyor — ikisi tamamen farklı sayılardır. Çilek örneğinde biri %90, öteki %33. Koşulun hangi tarafta olduğuna bak.
Payda bütün pozitiflerdir: hasta olup pozitif çıkanlar artı sağlıklı olup pozitif çıkanlar. Yalnız hastaları yazarsan payda küçülür ve sonuç 1 çıkar. Hesabı bitirdiğinde “sağlıklı grubun katkısını ekledim mi” diye bir kez bak.
Böbrek taşı probleminde 100 kişi alırsan 85’in 2/17’si = 10 çıkar ama 85 kişinin %15’i zaten 15 — bu şansa uydu. Aflatoksinde 100 alırsan 92’nin 5/23’ü = 20 çıkar, o da tutuyor. Ama her problemde şansın yaver gitmez: paydaların ortak katını seç, kesirli insan sayısıyla uğraşma.
“Hatalı olarak tespit edilmesine rağmen hatalı olmama” ifadesi, payda tespit edilenler, pay ise sağlam olanlar demektir. Beyaz eşya probleminde bu 19/67’dir; 19/950 ya da 2/50 değil. Sorunun hangi grubu payda yaptığını altını çizerek oku.
MRI %90 yakalıyor ve yalnızca 1/99 yanılıyor — çok iyi bir test. Ama sonuç %47. Hastalık nadirse (%1), sağlıklı grup o kadar kalabalıktır ki küçük bir yanılma oranı bile büyük bir yanlış pozitif sayısı üretir. “Test iyi” ile “sonuç güvenilir” ayrı şeylerdir.
Yangın sensörü probleminde “9/10 oranında artırmıştır” ifadesi, değerin 19/10 katına çıktığı anlamına gelir; 9/10 olduğu değil. “Oranında artırdı” ile “değerine çıkardı” arasındaki farkı soruda ayırt et; ikisi farklı cevaplar verir (0,76’ya karşı 0,90).
Soru her açılışta karışıyor, şıkların yeri de sabit değil. Yanlış cevap verdiğinde doğrusunu ve gerekçesini birlikte göreceksin.
Bir bilgi aldığında “demek ki kesin öyle” demek yerine “bu bilgi olasılığı ne kadar değiştirdi” diye sormak — Bayes’in öğrettiği düşünme biçimi tam olarak bu.
Telefonun “bu bağlantı şüpheli” dediğinde bağlantı kesin zararlı olmaz. Uygulama zararlıları %95 yakalıyor olabilir ama zararsız bağlantıların %2’sine de aynı uyarıyı verir — ve zararsızlar çok daha kalabalıktır. Uyarı bir ipucudur, hüküm değil.
E-posta uygulamaları spam filtresini doğrudan Bayes teoremiyle kurar: “bu kelimeyi içeren postaların içinde spam oranı ne?” Bir postayı “spam değil” diye işaretlediğinde filtrenin önceki olasılıkları güncellenir ve zamanla isabeti artar.
“Bu konudan soru gelir” diye düşünüyordun; öğretmen son derste o konuyu tekrar etti. Tahminin güncellenmeli — ama sıfırdan değil, eski tahminin üstüne. Tekrar edilen her konudan soru gelmediğini de biliyorsun; işte o bilgi “yanlış pozitif oranıdır”.
“%80 yağmur” gördüğünde şemsiye alırsın. Ama uygulamanın geçmiş isabetini de bilirsen gerçek olasılığı hesaplayabilirsin: “%80 dediği günlerin kaçında gerçekten yağdı?” Meteoroloji kurumları bu kalibrasyon hesabını düzenli yapar.
Okul takımına girerken yapılan sağlık taramasında bir değerin “sınırın dışında” çıkması çoğu zaman bir şey ifade etmez — çünkü tarama sağlıklı gençlere uygulanır ve o grupta hastalık nadirdir. Doktorun “bir daha bakalım” demesinin sebebi budur.
Anahtarın çantada olma olasılığı %50’ydi; çantaya baktın, yok. Şimdi kalan yerlerin olasılıkları yükseldi ve toplamları hâlâ 1. Sistemli arama, her bakıştan sonra olasılıkları güncellemektir.
1000 hanelik mahallede %70 verimli, %30 israf ediyor. Verimlilerin %80’i, israf edenlerin %20’si A marka su saati kullanıyor. Bir hanenin B marka saat kullandığı bilindiğinde suyu verimli kullanma olasılığı 140/380 = 7/19 ≈ %37 — yani B marka saat, israfın işareti sayılabilir.
Fabrikada hatalı ürünlerin %96’sı yakalanıyor, hatasızların %2’si yanlışlıkla hatalı işlem görüyor ve hatalı üretme olasılığı %5. “Hatalı diye ayrılan bir ürünün aslında sağlam olma” olasılığı 19/67 ≈ %28. Fabrika bu ürünleri ikinci bir denetimden geçirir.
“Bu dizi çok iyi” diyen arkadaşının tavsiyeleri geçmişte %70 tutmuşsa, bu bilgiyle diziyi beğenme olasılığını güncellersin. Aynı cümleyi zevkleri sana hiç benzemeyen biri söylerse güncelleme çok daha küçük olur — bilgiyi verenin güvenilirliği, tam olarak testin duyarlılığıdır.
Bayes teoremi testi · olasılığın yeni bilgiyle güncellenmesi, önceki ve sonraki olasılık, dört adımlı sayma yöntemi, üç görselleştirme, nadir hastalık etkisi ve tıbbi tanı, gıda güvenliği, kalite kontrol problemleri
Belirsizlik içeren durumlarda mevcut bilgiye dayalı tahminler,
yeni bilgilere bağlı olarak güncellenmelidir.
Bayes teoremi, bir olayın olasılığını o olayla ilişkili başka bir olayın gerçekleşmesi
durumunda güncellemektir. Adını 18. yüzyıl İngiliz matematikçisi
Thomas Bayes’ten alır.
1 Uygun bir toplam seç (100, 400, 1000 ya da paydaların
ortak katı; sayı verilmediyse “100x”)
2 Toplamı “olan” ve “olmayan” diye ikiye böl
3 Her gruptan pozitifleri say
4 Aranan grubun pozitifini, toplam pozitife böl
Hastalık ne kadar nadirse, pozitif çıkanın gerçekten hasta olma olasılığı o kadar
düşük olur.
Sebebi: sağlıklı grup çok kalabalıktır, oradaki küçük bir yanlış pozitif yüzdesi bile
büyük bir sayı üretir.
Tıbbi tanı testleri — pozitif sonucun ne kadar
güvenilir olduğu
Meteoroloji — hava tahminlerinin güncellenmesi
Fabrikalar — üretilen ürünün hatalı olma durumunun
tespiti
Hepsinde ortak nokta belirsizlik altında karar
vermektir.
Alzaymır (400 kişi): teşhis alma 1/10 ·
pozitif çıkanın hasta olması 8/17
Duyarlılık %90’a çıkarsa: 1/2
Ambalaj: hatalı ürünün kırmızı olması 1/5
Çilek alerjisi: 1/3
Böbrek taşı: 6/11 · Su ayak izi:
7/19
Aflatoksin: 10/13 · MRI:
9/19
Beyaz eşya: tespit edilmeme 1/25 ·
hatalı denip sağlam olma 19/67
Yangın sensörü: 2/5 → 19/25; X sensörü (%80) daha uygun