Bir doğrunun
tek bir kimliği var.
O kimlik eğimdir: doğrunun ne kadar dik olduğunu tek sayıyla söyler. Eğimi ve bir noktayı bilirsen doğrunun denklemini yazarsın; denklemi bilirsen üzerinde olan her noktayı tanırsın. Telefon faturası, sıcaklık birimleri, antrenmanda yakılan kalori — hepsi birer doğru.
Doğrusal bir yolun eğimi, o yolun ne kadar dik olduğunun ölçüsüdür. Matematiksel olarak eğim, dikey eksendeki değişimin yatay eksendeki değişime oranıdır. Bir rampanın yan yüzeyi bir dik üçgense, eğim o üçgenin dik kenarlarının oranıdır.
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi m olmak üzere
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Okunuşu: yatayda 1 birim ilerlediğinde dikeyde m birim
yükselirsin (m negatifse alçalırsın). Bu yüzden eğim 3/4 olan bir yolda dört adım
ilerlediğinde üç birim çıkmış olursun.
Noktaların hangisini “birinci” aldığın önemli değildir: hem pay hem payda işaret değiştirir,
oran aynı kalır.
Sabit hızla giden bir araç, eğimi fazla olan yolda eğimi az olan yola göre
daha çok yakıt harcar. Bir programda aracın geçtiği
noktalar A(−8, −5), B(12, 10) ve C(19, 34).
|AB| = √(20² + 15²) = 25 birim
|BC| = √(7² + 24²) = 25 birim
İki yol aynı uzunlukta ve hız sabit; öyleyse yakıt farkını
yalnızca eğim yaratır.
[AB]’nin eğimi = (10 − (−5)) / (12 − (−8)) = 15/20 = 3/4
[BC]’nin eğimi = (34 − 10) / (19 − 12) = 24/7
24/7 ≈ 3,43 > 0,75 olduğundan [BC] boyunca harcanan yakıt,
[AB] boyunca harcanandan fazla olur.
Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersi yönde) yaptığı açıya o doğrunun eğim açısı denir. Eğim açısı ile eğim arasındaki bağ tek bir eşitliktir ve bu ünitenin en çok işe yarayan bilgisidir.
Eğim açısının ölçüsü α ve eğimi m olan bir doğru için
m = tan α
Bunu bir önceki üniteden hatırlayabilirsin: dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu
dik kenara oranıydı. Basamak üçgeninde karşı kenar “dikeydeki değişim”, komşu kenar
“yataydaki değişim”. İkisi aynı şey.
α = 0° ⇒ m = 0 — doğru x eksenine paraleldir, hiç
yükselmez.
α < 90° ⇒ m > 0 — soldan sağa
yükselen doğru.
α = 90° ⇒ m tanımsızdır
— yatayda hiç ilerlemeden dikeyde ilerlemek, yani sıfıra bölmek demektir.
α > 90° ⇒ m < 0 — soldan sağa
alçalan doğru.
Eğimi 0 olan doğru yataydır: y = 5 gibi. Yatayda
ilerlersin, dikeyde hiç değişmez.
Eğimi tanımsız olan doğru düşeydir: x = 3 gibi. Dikeyde
ilerlersin, yatayda hiç değişmez ve payda sıfır olur.
Bu ikisini karıştırmak, sınav sorusunda doğrudan yanlış cevaba gider. Kısa hatırlatıcı:
y = sabit yatay, x = sabit dikey.
Eğimi m ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı n olan bir doğrunun denklemi y = mx + n biçiminde ifade edilir. İki harf, iki soruya cevap verir: doğru nereden başlıyor (n) ve ne hızla değişiyor (m).
Bir noktanın koordinatları, üzerinde bulunduğu doğrunun
denklemini sağlar. Test etmenin yolu bu tek cümlede: koordinatları yerine koy,
eşitlik tutuyor mu bak.
Eğimi 2 olan ve y eksenini A(0, 4)’te kesen doğru: y = 2x + 4
K(3, 10) için: 2 · 3 + 4 = 10 ✔ doğru üzerindedir
M(4, y) için: y = 2 · 4 + 4 = 12
N(x, −2) için: −2 = 2x + 4 ⇒ x = −3
Doğrunun x eksenini kestiği C noktası (y = 0): 0 = 2x + 4 ⇒
C(−2, 0)
A(x₁, y₁) noktasından geçen ve
x eksenine dik doğrunun denklemi
x = x₁
y eksenine dik doğrunun denklemi
y = y₁
Örnek: A(−1, 2) noktasından geçen ve eğim açısı
0° olan doğru: y = 2
45° olan doğru: m = tan45° = 1 ⇒ y = x + 3
90° olan doğru: x = −1 (eğim tanımsız olduğu için
y = mx + n biçimi kullanılamaz)
Bir doğrunun denklemini yazabilmek için iki bilgi yeter. Bu iki bilgi iki nokta olabilir, bir nokta ve eğim olabilir, ya da bir nokta ve eğim açısı olabilir. Üçü de aynı yere çıkar.
Önce eğimi hesapla, sonra iki noktadan birini kullan:
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
(y − y₁)/(x − x₁) = m
veya
(y − y₂)/(x − x₂) = m
İkisi de aynı doğruyu verir; hangisini seçtiğin önemli değil.
A(2, 3), B(4, 7): m = 4/2 = 2 ⇒ (y − 3)/(x − 2) = 2 ⇒
y = 2x − 1
Denetle: 3 = 4 − 1 ✔, 7 = 8 − 1 ✔
A(x₁, y₁) noktasından geçen ve eğim açısının ölçüsü α olan doğru için
tan α = (y − y₁) / (x − x₁)
Yani önce açının tanjantını alıp eğimi bulur, sonra aynı bağıntıya yazarsın.
Uyarı: α = 90° için tanjant tanımsızdır, bu biçim
kullanılamaz; denklem doğrudan x = x₁ yazılır.
y = mx + n biçiminde iki bilinmeyen var: m ve n. İki noktanın koordinatlarını yerine
koyarsan iki denklem elde edersin:
y₁ = m·x₁ + n
y₂ = m·x₂ + n
Bu iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek m ve n bulunur. Uzun ama garantili yol;
eğim bağıntısını hatırlamadığın anda buraya dön.
Dünya genelinde çoğu ülkede sıcaklık birimi Celsius (°C),
bazı ülkelerde Fahrenheit (°F) kullanılır. İki birim
arasında doğrusal bir ilişki vardır: −5 °C iken 23 °F, 10 °C iken 50 °F.
Noktalar A(−5, 23) ve B(10, 50). Eğim:
m = (50 − 23) / (10 − (−5)) = 27/15 = 9/5
Denklem: (y − 23) / (x + 5) = 9/5 ⇒ 5y − 115 = 9x + 45 ⇒
y = (9/5)x + 32
Eğim ne söylüyor: 9/5 = 1,8 olduğuna göre Celsius
değerindeki 1 birimlik artışa karşılık Fahrenheit değeri 1,8
birim artar. İki birim farklı ölçüm aralıkları kullanır ama doğrusal ilerler.
Grafiği çizmek için iki nokta yeter; eksen kesimleri
kullanılabilir: x = 0 için y = 32 (suyun donma noktası),
y = 0 için x = −160/9.
Suyun kaynama noktası: x = 100 ⇒
y = (9/5)·100 + 32 = 212 °F.
İki doğrunun birbirine göre konumu, eğim açılarına bakılarak anlaşılır. Dört durum var ve dördü de tek bir sayıdan okunur.
Paralel: eğim açılarının ölçüleri eşit olan
farklı iki doğru paraleldir. Yani m₁ = m₂ ama n₁ ≠ n₂.
Örnek: y = 2x + 6 ile y = 2x − 4.
Kesişen: eğim açılarının ölçüleri farklı olan iki doğru
kesişir. m₁ ≠ m₂ ise tek bir ortak nokta vardır.
Çakışık: aynı iki noktadan geçen doğrular çakışıktır.
Örnek: y = x + 1 ile 2y = 2x + 2. İkinci denklemi 2’ye böl — birincinin aynısı çıkar.
İki denklem farklı görünür ama aynı doğrudur: üzerlerinde
apsisi aynı olan noktaların ordinatları da aynı çıkar.
Eksenlere paralel olmayan ve dik kesişen
doğruların eğimlerinin çarpımı −1’dir.
m₁ · m₂ = −1 ⇒ m₂ = −1 / m₁
Yani eğimlerden biri 2 ise öteki −1/2’dir: hem
ters çevrilir hem işareti
değişir.
Neden “eksenlere paralel olmayan”
deniyor: yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi tanımsızdır. Bu ikisi
birbirine diktir ama çarpımları −1 olamaz; 0 ile tanımsız çarpılmaz. Kural bu çifti
bilerek dışarıda bırakır.
A(3, −1) noktasındaki bir hareketli doğrultusunu değiştirmeden
doğu yönünde ilerleyip B(5, 3)’e ulaşıyor, orada
güneye dönüp C(x, 2)’ye varıyor. Doğu-batı ile
kuzey-güney doğrultuları birbirine dik olduğundan AB ⊥ BC.
AB’nin eğimi = (3 − (−1)) / (5 − 3) = 2
BC’nin eğimi = (2 − 3) / (x − 5) = −1 / (x − 5)
Dik kesiştiklerine göre çarpım −1:
2 · (−1/(x − 5)) = −1 ⇒ x − 5 = 2 ⇒ x = 7
|AC| = √((7 − 3)² + (2 − (−1))²) = √(16 + 9) =
5 birim.
Bir uçangöz, birbirine paralel uzanan iki yolda trafik
yoğunluğu tespit ediyor. Yoğun bölümlerden biri A(2, −4) ile B(7, 6), öteki C(0, −1) ile
D(3, y) arasında.
Yollar paralel olduğuna göre eğimler eşittir:
m(AB) = (6 − (−4)) / (7 − 2) = 10/5 = 2
m(CD) = (y − (−1)) / (3 − 0) = (y + 1)/3 = 2 ⇒ y + 1 = 6 ⇒
y = 5
Paralellik, iki noktanın da tek denklemle bağlanmasını sağlar —
uzunluk hesabına hiç girmeden bilinmeyen bulunur.
Bir tablonun ipi A(2, 3) ve B(8, 7) noktalarına bağlı; çivi ipin denge noktasında olmalı.
Denge, çivinin iki noktadan eşit uzaklıkta olmasıyla
sağlanır — yani çivi [AB]’nın orta dikmesi üzerindedir.
[AB]’nın orta noktası: ((2+8)/2 ; (3+7)/2) = (5, 5)
[AB]’nın eğimi: (7 − 3)/(8 − 2) = 2/3
Orta dikmenin eğimi: −1 / (2/3) = −3/2
Denklem: (y − 5)/(x − 5) = −3/2 ⇒ 2y − 10 = −3x + 15 ⇒
3x + 2y = 25
Bu ünitede öğrendiğin iki şeyin (orta nokta + dik eğim) tek soruda birleştiği tipik bir
örnektir.
Bir durumda sabit bir başlangıç değeri ve her birimde değişmeyen bir artış varsa, o durum bir doğrudur. Denklemi kurmanın yolu hep aynı: n başlangıç, m birim başına değişim.
Sabit aylık ücret 60 TL, konuşulan her dakika için 0,50 TL ek ücret.
x = 0 dakikada y = 60 TL olduğu için grafik y eksenini A(0, 60)’ta keser; her dakikalık
artış ücrette 0,50 TL artışa sebep olduğu için eğim 0,50’dir:
y = 0,50x + 60
100 dakika: y = 0,50 · 100 + 60 = 110 TL
80 TL ödeyen kişi: 80 = 0,50x + 60 ⇒ 40 dakika
Değer çifti tablosu: (0 ; 60) · (10 ; 65) · (20 ; 70) · (100 ; 110)
Her ürün 200 TL’den satılıyor, aylık sabit gider 3000 TL.
Gelir = 200x · Gider = 3000 sabit
Kâr/zarar = 200x − 3000
5 ürün → 1000 TL gelir, −2000 TL zarar
10 ürün → 2000 TL, −1000 TL · 25 ürün → 5000 TL,
+2000 TL kâr
50 ürün → +7000 · 80 ürün → +13 000 · 100 ürün → +17 000
Grafiğin x eksenini kestiği nokta: 200x − 3000 = 0 ⇒
x = 15. Bu noktada ne kâr ne zarar vardır; işletme
16. üründen itibaren kâr etmeye başlar.
Eğim dikeydeki değişim bölü yataydaki değişimdir; ters yazarsan 3/4 yerine 4/3 bulursun ve dört şıkkın ikisi de o tuzağı bekliyordur. Payda hep x farkı: “y önce” diye ezberle.
y = 4 yatay doğrudur, eğimi 0. x = 4 düşey doğrudur, eğimi tanımsız. Soru “eğimi olmayan doğru” derse düşeyi, “eğimi sıfır olan” derse yatayı kastediyordur.
m₁ = 2/3 ise dik doğrunun eğimi −3/2’dir; −2/3 değil. Hem ters çevir hem işaret değiştir. Denetleme yolu basit: çarpımları −1 mi? (2/3)·(−3/2) = −1 ✔
y = x + 1 ile 2y = 2x + 2 farklı denklemler gibi görünür ama ikincisi birincinin iki katıdır — aynı doğru. Denklemleri karşılaştırmadan önce ikisini de y = mx + n biçimine indir.
4y = 3x − 1 denkleminde eğim 3 değil, 3/4’tür. y yalnız bırakılmadan m okunamaz: y = (3/4)x − 1/4. Aynısı 2x + 3y = 6 için de geçerli — eğimi −2/3.
Soru çoğu zaman sayıyı değil yorumunu ister. Celsius – Fahrenheit doğrusunda 9/5, “Celsius 1 artınca Fahrenheit 1,8 artar” demektir. Kalori doğrusunda 12, “her dakika 12 kalori” demektir. Eğimin birimi vardır: y’nin birimi bölü x’in birimi.
Soru her açılışta karışıyor, şıkların yeri de sabit değil. Yanlış cevap verdiğinde doğrusunu ve gerekçesini birlikte göreceksin.
“Ne kadar hızlı değişiyor” diye sorduğun her yerde bir eğim vardır; “nereden başlıyor” diye sorduğun her yerde bir n.
Tam şarj 5 saat aktif kullanım veriyorsa ve şarj birim zamanda eşit azalıyorsa kalan pil yüzdesi y = 100 − 20x (x saat). Eğim −20, yani her saat %20 düşüş. Pil ekranındaki düz iniş çizgisi tam olarak bu doğrudur.
Dakikada 12 kalori yakan bir sporcunun başlangıçta metabolik faaliyetlerle 30 kalori harcadığı kabul ediliyor: y = 12x + 30. 45 dakika sonunda 570 kalori; 150 kaloriye ulaşmak için 10 dakika. Spor uygulamandaki sayaç bu doğruyu izler.
100 km’de 6 litre tüketen bir araç için tüketim y = 0,06x (x km). Bu doğrunun n’si sıfırdır — araç hareket etmezse yakıt harcanmaz. Gösterge paneli “ortalama tüketim” derken tam olarak bu eğimi gösterir.
Sabit ücret + dakika başına ücret: y = 0,50x + 60. İki tarife karşılaştırırken kesişme noktasını bul — o dakikadan sonra ucuz olan tarife değişir. “Hangi tarifeyi almalıyım” sorusunun matematiksel karşılığı iki doğrunun kesişimidir.
Pistin “mavi” mi “siyah” mı olduğuna eğimiyle karar verilir. Teleferik kabinleri de düz bir hat üzerindedir: A(16, −5) ve B(10, −3) kabinlerinden eğim −1/3 çıkar ve üçüncü kabinin apsisi x = −2 bulunur. Hattın denklemi x + 3y = 1.
Ekvator’da panel eğim açısı 3°, enlemdeki her 1 birimlik artış açıda 0,9°’lik artış yapıyorsa y = 0,9x + 3. Türkiye 36-42 kuzey enlemleri arasında olduğuna göre panel açısı 35,4° ile 40,8° arasında ayarlanmalıdır.
0 °C’ta ses hızı 331,3 m/sn; her 1 °C artışta 0,6 m/sn artıyor: y = 0,6x + 331,3. Deniz seviyesinde 15 °C olan bir bölgede 5000 metrede sıcaklık −17,5 °C, ses hızı ise 320,8 m/sn. Uçakta sesin daha yavaş gitmesinin sebebi budur.
Tekerlekli sandalye rampalarının eğimi standartlarla sınırlıdır — çok dik bir rampa kullanılamaz hâle gelir. “%8 eğim” ifadesi m = 0,08 demektir: yatayda 100 cm gidince dikeyde 8 cm çıkılır. Okulundaki rampayı ölçüp hesaplayabilirsin.
Ayın başında 800 TL’n var ve günde ortalama 40 TL harcıyorsan y = 800 − 40x. Doğrunun x eksenini kestiği yer x = 20: paran 20. günde biter. Ay 30 gün sürdüğüne göre eğimi −27’ye çekmen gerekir, yani günlük harcamayı 27 TL’ye.
Doğrunun analitik incelenmesi testi · eğim ve eğim açısı, eğimin işareti, doğru denkleminin bütün biçimleri, paralellik ve diklik koşulları, eksenlere dik doğrular ve doğrusal modeller
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Dikeydeki değişimin yataydakine oranı.
Eğim açısı: doğrunun x ekseniyle
pozitif yönde yaptığı açı.
m = tan α
α = 0° ⇒ m = 0 (yatay)
α < 90° ⇒ m > 0 (yükselen)
α = 90° ⇒ m tanımsız (düşey)
α > 90° ⇒ m < 0 (alçalan)
y = mx + n (n: y eksenini kestiği ordinat)
(y − y₁)/(x − x₁) = m
tan α = (y − y₁)/(x − x₁)
x eksenine dik: x = x₁
y eksenine dik: y = y₁
Eğim açıları eşit ve doğrular farklı ⇒ paralel
Eğim açıları farklı ⇒ kesişen
Aynı iki noktadan geçiyorlar ⇒ çakışık
Eksenlere paralel değil ve dik ⇒
m₁ · m₂ = −1
Telefon tarifesi y = 0,50x + 60 · 100 dk → 110 TL · 80 TL → 40 dk
Celsius–Fahrenheit y = (9/5)x + 32 · 100 °C → 212 °F
Ses hızı y = 0,6x + 331,3
Kalori y = 12x + 30 · 45 dk → 570
Panel açısı y = 0,9x + 3
[AB] eğimi 3/4, [BC] eğimi 24/7 → BC daha çok yakıt
Doğu-güney: x = 7, |AC| = 5 birim
Paralel yollar: y = 5 · Araç 4y = 3x − 1: 12 dakika
Teleferik: x = −2, x + 3y = 1, dikeyde 16 m
Çivi doğrusu: 3x + 2y = 25 · İşletme başabaş: 15 ürün
5000 m’de −17,5 °C ve 320,8 m/sn