Bir bilgi geldi,
olasılık değişti.
Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı başkadır, “sınavı geçtiği bilinen” birinin erkek olma olasılığı başka. Yeni bir bilgi geldiğinde örneklem uzayı daralır ve payda değişir. Bu ünitede o daralmayı hesaplamayı ve bazı olayların birbirini hiç etkilemediğini öğreneceksin.
Bir kutuda renkleri dışında özdeş kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil 4 top var. Aslı bir top alır, geri atmadan bir top daha alır. İkinci topun beyaz olma olasılığı, birinci topun ne çıktığına bağlıdır — birinci top beyaz çıktıysa ikincinin beyaz olma olasılığı sıfırdır.
A ve B aynı örnek uzayda gerçekleşen iki olay olsun. B olayının
gerçekleşmiş olması hâlinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B olayına
göre koşullu olasılığı denir ve P(A|B)
şeklinde gösterilir.
P(A|B) = (B olayının içinde gerçekleşmesi
istenen A olayına ait çıktıların sayısı) / (Gerçekleşmiş B olayının tüm çıktılarının
sayısı)
Dikkat: payda artık bütün örnek uzay değil, yalnızca B
olayının çıktılarıdır. Koşullu olasılığın yaptığı tek şey budur — dünyayı küçültür.
Bir sınıfta 36 erkek, 24 kız öğrenci var (toplam 60). Yabancı dil sınavında erkeklerin
yarısı, kızların üçte
biri yeterli puanı alamamıştır.
36 · ½ = 18 erkek başarısız ⇒ 36 − 18 = 18 erkek
başarılı
24 · ⅓ = 8 kız başarısız ⇒ 24 − 8 = 16 kız başarılı
Başarılı toplam: 18 + 16 = 34. Seçilen öğrencinin
yeterli puan aldığı bilindiğine göre erkek olma
olasılığı:
P(A|B) = 18 / 34 = 9/17
Karşılaştır: hiçbir bilgi verilmeseydi erkek olma olasılığı
36/60 = 3/5 olurdu. “Sınavı geçmiş” bilgisi olasılığı 3/5’ten 9/17’ye
düşürdü — çünkü erkekler sınavda kızlardan daha çok
elendi.
Sıla, müzeyi en az iki arkadaşıyla gezecek. Asu, Buse ve
Canan’a teklif ediyor; her biri “Evet” (E) ya da “Hayır” (H) diyor. Ağaç şemasında
2³ = 8 çıktı var:
EEE · EEH · EHE · EHH · HEE · HEH · HHE · HHH
Sıla müzeyi ziyaret ettiği bilindiğine göre en az iki
“Evet” almıştır. Bu koşulu sağlayan çıktılar:
EEE, EEH, EHE, HEE — yani 4 çıktı.
Bunların içinden üçünün de evet dediği 1 durum var:
P(A|B) = 1/4
Koşul olmasaydı cevap 1/8 olurdu. “Gezinin gerçekleştiği” bilgisi,
8 çıktılık dünyayı 4 çıktıya indirdi.
Koşullu olasılık problemlerinde asıl iş sayıları doğru yere yerleştirmektir; bölme işlemi en kolay kısmı. Üç görselleştirme aynı problemi üç ayrı şekilde düzenler ve hangisini seçtiğin problemin türüne bağlıdır.
İki özelliğin kesiştiği durumlarda en hızlısı. Satırlar bir özelliği, sütunlar ötekini
gösterir; kenar toplamları kontrol için kullanılır.
Ne zaman: “kadın/erkek × başarılı/başarısız”,
“telefon/tablet × hatalı/hatasız” gibi iki ikili
özellik olduğunda.
Kural: koşullu olasılıkta payda, koşulun bulunduğu
satırın ya da sütunun toplamıdır.
Olayların sırayla gerçekleştiği durumlarda en açık
olanı. Her dal bir seçimi, her yol bir çıktıyı gösterir.
Ne zaman: “önce şu, sonra bu” tipi problemlerde —
arka arkaya top çekme, art arda atış yapma, üç arkadaşın sırayla cevap vermesi.
Kural: bir yolun olasılığı, o yol boyunca dalların
çarpımıdır; birden çok yol varsa
toplanır.
Bir dikdörtgen bütün örnek uzayı temsil eder; her parçanın
alanı, o durumun sayısıyla orantılıdır.
Ne zaman: oranlar yüzdelerle ya da kesirlerle verildiğinde
— “buğdayın ¼’ü, çavdarın ⅖’i” gibi.
Kural: koşullu olasılık, taranan alanın
ilgilenilen bölümünün taranan toplam alana oranıdır.
Sayı saymadan görsel olarak okunur.
Bir fırıncı günde 200 buğday ve
300 çavdar ekmeği üretiyor. Buğday ekmeğinin
¼’ünü, çavdar ekmeğinin ⅖’ini
B marketine, kalanlarını A marketine yolluyor.
B’ye giden buğday: 200 · ¼ = 50
B’ye giden çavdar: 300 · ⅖ = 120
B’ye giden toplam: 50 + 120 = 170
Seçilen ekmeğin B marketine yollanacağı bilindiğine göre
buğday ekmeği olma olasılığı:
P(A|B) = 50 / 170 = 5/17
Alan modelinde bu şöyle görünür: genişliği toplam ekmek sayısının
onda biri (20 + 30 = 50 birim), yüksekliği 10 birim olan bir dikdörtgen çizilir; sol 20
birimlik parça buğdayı (alan 200), sağ 30 birimlik parça çavdarı (alan 300) gösterir.
Buğday bölgesi 4 eş parçaya (her biri 50 br²), çavdar bölgesi 5 eş parçaya (her biri 60
br²) bölünür; B’ye gidenler taranır. Taralı alan 50 + 2·60 = 170, bunun buğday kısmı 50.
İki olaydan herhangi birinin olasılığı diğer olayın gerçekleşmesine bağlı olarak değişmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar, değişiyorsa bağımlı olaylar denir. Ayrımı yapmanın yolu tek soru sormaktır: birincisi olduktan sonra ikincinin şansı değişti mi?
Soruda geçen tek bir kelime çoğu zaman kararı verir:
“Geri koymamak şartıyla” ⇒ ikinci çekimde toplam sayı
azalmıştır ⇒ BAĞIMLI
“Geri koymak şartıyla” ⇒ torba ilk hâline dönmüştür ⇒
BAĞIMSIZ
İki ayrı kişi / iki ayrı zar / iki ayrı makine ⇒
birbirini etkileyecek fiziksel bir bağ yok ⇒
BAĞIMSIZ
3 kırmızı ve 4 yeşil top var (toplam 7).
Geri koymadan birinci kırmızı, ikinci yeşil:
(3/7) · (4/6) = 2/7 — ikinci kesirde payda
6, çünkü bir top gitti. Bağımlı.
Geri koyarak aynı olay:
(3/7) · (4/7) = 12/49 — payda değişmedi.
Bağımsız.
Aynı torba, aynı renkler, tek kelime fark: sonuç değişti.
Bağımsızlığın işe yaradığı yer burasıdır: iki olayın aynı anda olma olasılığını hesaplamak, tek bir çarpmaya iner.
A ve B bağımsız iki olay olmak üzere A ∩ B olayının olma
olasılığı, A olayının olma olasılığı ile B olayının olma olasılığının çarpımıdır:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Uyarı: bu kural yalnız
bağımsız olaylar için geçerlidir. Olaylar bağımlıysa çarpım yanlış sonuç verir; o
zaman ikinci olasılığı koşullu almak gerekir.
İki olaydan en az birinin olma olasılığı:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Neden çıkarma var: iki olayın ikisinin birden olduğu
durumlar hem P(A)’da hem P(B)’de sayıldı; bir kez fazla saydığımız için bir kez
çıkarıyoruz. Bu, bir önceki temada gördüğün
içerme-dışarma mantığının aynısıdır.
Hilesiz bir sayı küpü atılıyor. A: 2’den büyük gelme, B: tek sayı gelme.
A için üst yüze 3, 4, 5, 6 gelmelidir ⇒ P(A) = 4/6 = 2/3
B için üst yüze 1, 3, 5 gelmelidir ⇒ P(B) = 3/6 = 1/2
2’den büyük ve tek: P(A ∩ B) = (2/3)·(1/2) =
1/3
2’den büyük veya tek: P(A ∪ B) = 2/3 + 1/2 − 1/3 =
5/6
Buradaki ince nokta: çarpım kuralı
uygulanabildi çünkü bu iki olay gerçekten bağımsız. Doğrudan sayarak da denetleyebilirsin:
hem 2’den büyük hem tek olanlar {3, 5}, yani 2/6 = 1/3 ✔. Ama her olay çifti böyle
değildir — “2’den büyük” ile “4’ten büyük” olayları bağımlıdır ve çarpım kuralı orada
yanlış sonuç verir.
Kuş formunu 20 saniyede yapan ödül alıyor. Ferda’nın ödül alma olasılığı
1/3, Zehra’nın 2/5.
İki olay bağımsızdır.
a) İkisi birlikte ödül alır:
(1/3)·(2/5) = 2/15
b) Sadece biri ödül alır: “Ferda alır Zehra alamaz” ya da
“Zehra alır Ferda alamaz”.
Ferda alamaz: 1 − 1/3 = 2/3 · Zehra alamaz: 1 − 2/5 = 3/5
(1/3)·(3/5) + (2/3)·(2/5) = 3/15 + 4/15 = 7/15
c) Sadece biri ödül aldığı bilindiğine göre o kişinin Zehra
olması:
P(A|B) = (2/3 · 2/5) / (7/15) = (4/15)/(7/15) = 4/7
c şıkkı bu ünitenin iki fikrini birleştiriyor: önce bağımsızlıkla
bir olasılık hesaplanıyor, sonra o olasılık koşullu olasılığın
paydası oluyor.
“En az bir” ifadesi gördüğünde doğrudan saymaya kalkışma. Üç atışta “en az bir isabet” demek, “bir isabet veya iki isabet veya üç isabet” demektir — üç ayrı hesap. Oysa tümleyeni tek hesaptır: “hiç isabet yok”.
P(en az bir) = 1 − P(hiçbiri)
Çünkü bir olay ya “hiç olmaz” ya da “en az bir kez olur”; üçüncü bir seçenek yoktur ve
ikisinin olasılıkları toplamı 1’dir.
Fırat’ın her atışta hedefi vurma olasılığı 3/5; üç atış
yapıyor. Atışlar birbirinden bağımsızdır.
a) İlk iki atışta vurup üçüncüde vuramama:
(3/5)·(3/5)·(2/5) = 18/125
b) Üç atıştan en az birinde vurma:
Hiç vuramama: (2/5)³ = 8/125 ⇒ 1 − 8/125 = 117/125
Doğrudan saymayı denersen bir isabet (36/125) + iki isabet (54/125) +
üç isabet (27/125) = 117/125 — aynı sonuç, üç kat iş.
c) Sadece bir atışta vurduğu bilindiğine göre o atışın ikinci
atış olması:
Sadece bir isabet olan üç durum: (V,Ø,Ø), (Ø,V,Ø), (Ø,Ø,V), her biri
(3/5)·(2/5)·(2/5) = 12/125 ⇒ toplam 36/125
Bunlardan ikincisinin isabet olduğu tek durum var:
12/125
P(A|B) = (12/125) / (36/125) = 1/3
Sezgisel okuma: üç atış simetrik olduğuna göre tek isabet üç atıştan
herhangi birinde eşit şansla olabilir — cevabın 1/3 çıkması bu yüzden şaşırtıcı değil.
Bu ünitedeki her problem tek bir soruya iner: payda ne, pay ne? Tabloda her problemin ikisini de görebilirsin.
Otobüste İngiliz ve Alman toplam 54 yolcu var;
26’sı kadın (⇒ 28 erkek). Kadınların
18’i Alman (⇒ 8’i İngiliz), erkeklerin
16’sı İngiliz (⇒ 12’si Alman).
İki yönlü tablo:
İngiliz Alman Toplam
Kadın 8 18 26
Erkek 16 12 28
Toplam 24 30 54
İngiliz olduğu bilinen birinin kadın olması:
8/24 = 1/3
Erkek olduğu bilinen birinin Alman olması:
12/28 = 3/7
Payda her seferinde farklı: biri sütun toplamı, öteki satır
toplamı. Koşul hangi grubu belirtiyorsa payda o grubun toplamıdır.
Dernekte 120 avukat ve
80 doktor var. Ankette avukatların
%80’inin, doktorların
%90’ının çevreye duyarlı olduğu saptanıyor.
Duyarlı avukat: 120 · 0,80 = 96
Duyarlı doktor: 80 · 0,90 = 72
Duyarlı toplam: 168
Seçilen üyenin duyarlı olduğu bilindiğine göre doktor
olması:
72 / 168 = 3/7
Doktorların duyarlılık oranı daha yüksek (%90 > %80) ama
sayıları az olduğu için “duyarlı” grubu içinde yine de azınlıkta kalıyorlar. Oranın
yüksek olması, gruptaki payın yüksek olmasını garantilemez.
Bunlar farklı sayılardır. Tur otobüsünde P(kadın | İngiliz) = 8/24 = 1/3 iken P(İngiliz | kadın) = 8/26 = 4/13. Pay aynı, payda farklı. Soruda “… olduğu bilindiğine göre” ifadesinden hemen sonra gelen şey koşuldur ve paydayı o belirler.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B) yalnız bağımsız olaylarda geçerlidir. “Geri koymadan” çekilen iki topta bunu uygularsan yanlış sonuç bulursun; ikinci kesrin paydası küçülmelidir. Hesaba başlamadan önce “bu iki olay birbirini etkiliyor mu” diye bir kez sor.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) değildir; kesişimi bir kez fazla saydın. Sayı küpü örneğinde 2/3 + 1/2 = 7/6 çıkar ki bu 1’den büyük — imkânsız bir olasılık. Sonucun 1’i geçmesi, çıkarmayı unuttuğunun en hızlı işaretidir.
Sadece biri: biri olur, öteki olmaz — iki durum toplanır.
En az biri: ikisinin de olduğu durum da dâhildir.
Tangram örneğinde sadece biri 7/15 iken en az biri 7/15 + 2/15 = 9/15 = 3/5’tir.
İki kelime, iki farklı cevap.
Doktorların %90’ı duyarlı, avukatların %80’i. Yüzdesi büyük olan doktorlar ama duyarlı grubun içinde azınlıktalar (72’ye 96), çünkü sayıları az. Koşullu olasılıkta önemli olan yüzde değil, o yüzdenin kaç kişiye karşılık geldiğidir.
Üç atışta en az bir isabet için üç ayrı durumu toplamak yerine 1 − (hiç isabet yok) yaz. Atış sayısı 3’ten 5’e çıkınca doğrudan sayma yolu beş terime çıkar, tümleyen yolu ise hâlâ tek terimdir.
Soru her açılışta karışıyor, şıkların yeri de sabit değil. Yanlış cevap verdiğinde doğrusunu ve gerekçesini birlikte göreceksin.
“Şu bilindiğine göre” cümlesi kurduğun her yerde bir payda değişimi vardır — çoğu zaman farkında olmadan.
“Sınıfta 100 alan biri var” dendiğinde her arkadaşının olasılığı eşittir. Ama “çalışma grubundan biri” bilgisi eklenirse payda 30’dan 6’ya iner ve tahminin beş kat keskinleşir. Bilgi eklemek, olasılığı keskinleştirmektir.
Uygulamanın sana bir dizi önermesi koşullu olasılıktır: “bu diziyi izleyenlerin içinden şunu da izleyenlerin oranı”. Payda bütün kullanıcılar değil, yalnız senin izlediklerini izleyenlerdir. Öneri isabetliyse payda iyi seçilmiştir.
Sen ve arkadaşın ayrı ayrı yarışmaya katılıyorsunuz; kazanma şanslarınız bağımsız. “İkiniz de kazanırsınız” olasılığı çarpımdır ve ikisinden de küçüktür. “En az biriniz” olasılığı ise ikisinden de büyüktür.
Takımın kazanma olasılığı maç öncesinde bir sayıdır; ilk yarı 1-0 önde bittiğinde yeni bir sayı olur. Yayındaki “kazanma ihtimali %72” göstergesi her gol sonrası güncellenir — çünkü örneklem uzayı daralmıştır.
Kulaklığın evde olma olasılığı %60’tı; “çantada değil” bilgisi gelince yükselir. Aramayı bilinçli yapmak tam olarak budur: her baktığın yer, kalan yerlerin olasılığını değiştirir.
Bir oyunda sandıktan nadir eşya çıkma olasılığı her açılışta aynıysa olaylar bağımsızdır — “on kere çıkmadı, artık çıkmalı” cümlesi matematiksel olarak yanlıştır. Ama kazanılan eşya havuzdan çıkarılıyorsa olaylar bağımlıdır ve o zaman şans gerçekten artar.
“Tost bitmiş olabilir” endişen, teneffüsün kaçıncı dakikası olduğuna bağlıdır. Aynı olay, farklı koşullar altında farklı olasılıklara sahiptir — ve koşulu söylemeden bir olasılık paylaşmak yanıltıcıdır.
Bir sitede iki blok boyanacak; birinci boyacı %80, ikincisi %75 oranında işi zamanında bitiriyor ve iki iş bağımsız. İkisinin de zamanında bitirmesi 0,8·0,75 = 3/5; sadece birinin bitirmesi 7/20; sadece biri bitirdiyse o binanın ikinci bina olma olasılığı 3/7.
Birinci üreticiden 50 kg (1/10’u koyun), ikinciden 100 kg (1/5’i koyun) peynir alınıyor. İnek peyniri: 45 + 80 = 125 kg. İnek peyniri aldığı bilinen bir müşterinin peynirinin birinci üreticiden olma olasılığı 45/125 = 9/25.
Koşullu olasılık testi · P(A|B) tanımı ve paydanın daralması, üç görselleştirme, bağımlı ve bağımsız olay ayrımı, çarpım ve toplama kuralları, “en az bir” problemleri ve çözümlü uygulamalar
Aynı örnek uzayda gerçekleşen iki olaydan ikinci olayın gerçekleşmesi birinci olaya bağlı
ise bu olasılığa koşullu olasılık denir.
P(A|B) = (B içinde istenen A çıktıları) / (B’nin tüm
çıktıları)
Payda bütün örnek uzay değil, yalnız B’dir.
Birinin olasılığı ötekinin gerçekleşmesine bağlı olarak
değişmiyorsa bağımsız,
değişiyorsa bağımlı olaylardır.
“Geri koymamak şartıyla” ⇒ bağımlı
“Geri koymak şartıyla” ⇒ bağımsız
İki ayrı kişi / iki ayrı zar ⇒ bağımsız
A ve B bağımsız ise
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Her durumda
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(en az bir) = 1 − P(hiçbiri)
İki yönlü sıklık tablosu — iki ikili özellik kesişiyorsa;
payda satır/sütun toplamı
Ağaç şeması — olaylar sırayla oluyorsa; yol boyunca çarp,
yollar arasında topla
Alan modeli — oranlar yüzde/kesirle verilmişse; taralı
alanların oranı
Erasmus+ (geçenlerden erkek): 9/17
Müze gezisi (üç arkadaş): 1/4
Fırıncı (B’ye giden buğday): 5/17
Sayı küpü: ve → 1/3, veya → 5/6
Tangram: 2/15 · 7/15 · 4/7
Tur otobüsü: 1/3 ve 3/7 · Dernek: 3/7
Okçuluk: 18/125 · 117/125 · 1/3
Servis: 7/50 ve 1/2 · Fabrika: 1/20, 27/50, 1/50
Boyacılar: 3/5, 7/20, 3/7 · Şarküteri: 9/25
Torba (geri koymadan): 2/7 · (geri koyarak): 12/49