10. SINIF MATEMATİK · ÜNİTE 15 · DENKLEM VE EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ · FONKSİYONLARLA KURULAN DENKLEM VE EŞİTSİZLİK PROBLEMLERİ

Topun yatayda aldığı yol x metre, yerden yüksekliği h(x) metre olmak üzere h(x) = −x² + 4x.

Sıfırlar (tamkareyle):
−x² + 4x = −(x² − 4x) = −(x² − 4x + 4 − 4) = −(x − 2)² + 4
(x − 2)² = 4 ⇒ x = 0 veya x = 4
Bunlar topun yerde olduğu iki an: atış noktası ve düşüş noktası. Aradaki mesafe 4 metre.

Maksimum (katsayılarla): a = −1, b = 4 ⇒ x = −4 / (2·(−1)) = 2. Bu noktada h(2) = −4 + 8 = 4 metre.

Yani top en yüksek noktasına yatayda 2 metre gittiğinde ulaşıyor ve o anda yerden 4 metre yüksekte.

Tamkare formu hem tepe noktasını hem sıfırları verir ama işlem uzundur.
−b / (2a) yalnız tepe noktasını verir ama tek satırda.
Grafik sıfırların orta noktasının tepe apsisi olduğunu gösterir — parabol simetrik olduğu için. Sıfırları biliyorsan tepeyi bulmanın en hızlı yolu budur: 0 ile 4’ün ortası 2.

Örnekler:
g(x) = x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 ⇒ minimum 1, x = −2’de. Katsayılarla: −4/(2·1) = −2. ✓
n(x) = x² − 6x = (x − 3)² − 9 ⇒ minimum −9, x = 3’te.
m(x) = 2x² − 4x − 30 = 2(x − 1)² − 32 ⇒ minimum −32, x = 1’de.

f(x) = 2x² − 4x − 6
= 2(x² − 2x − 3)
= 2(x² − 2x + 1 − 1 − 3)
= 2[(x − 1)² − 4]
= 2(x − 1)² − 8

Sıfırlar: (x − 1)² = 4 ⇒ x = −1 veya x = 3. Çarpanlara ayrılmış hâli: 2(x + 1)(x − 3).

f(x) < 0 ⇒ −1 < x < 3: Boru zeminin altında.
f(x) > 0 ⇒ x < −1 veya x > 3: Zeminin üstü; burada kazı yok.
f(x) ≤ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 ve f(x) ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 veya x ≥ 3.

Sıfırlar arası mesafe 4 metre; kazının yatay uzunluğu bu.

Selvi x = 0’da, zeytin x = −20’de.

Kazıya nerede başlanacak? x = −1’de. Zeytin ağacından itibaren ölçersek −1 − (−20) = 19 metre sonra.

Boru nerede yüzeye çıkacak? x = 3’te; yani selvi ağacından 3 metre sonra.

En derin nokta: Tepe noktası (1, −8). a = 2 > 0 olduğu için minimum; boru en fazla 8 metre derine iniyor ve bunu selviden 1 metre önce yapıyor. Katsayılarla kontrol: −b/(2a) = 4/4 = 1. ✓

Bir kargo şirketi “kargo lira” kullanıyor (1 kargo lira = 100 TL). 1 kg’ın üzerindeki paketler için:
A tarifesi: kütlenin karesinin bir eksiği ⇒ f(x) = x² − 1
B tarifesi: kütlenin dört katının dört eksiği ⇒ g(x) = 4x − 4

Sıfırları: f(x) = 0 ⇒ x = 1 (x > 0 olduğundan), g(x) = 0 ⇒ x = 1. İkisi de 1 kg’da sıfır — problem bağlamında “1 kg’a kadar ücretsiz” demenin matematiksel karşılığı.

Fark: f − g = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
1 < x < 3 ⇒ fark negatif ⇒ A tarifesi ucuz
x > 3 ⇒ fark pozitif ⇒ B tarifesi ucuz
x = 1 ve x = 3 ⇒ iki tarife eşit

A yumurtasının kârı maliyetle ters orantılı, B yumurtasınınki doğru orantılı. Maliyet 2 TL iken kârlar 8 TL ve 2 TL.

Ters orantı: f(x) = k/x ⇒ 8 = k/2 ⇒ k = 16 ⇒ f(x) = 16/x
Doğru orantı: g(x) = k·x ⇒ 2 = 2k ⇒ k = 1 ⇒ g(x) = x

Eşitlik: 16/x = x ⇒ x² = 16 ⇒ x = 4 veya x = −4. Maliyet pozitif olmalı, dolayısıyla x = 4 TL.
A daha kârlı: 16/x > x ⇒ 0 < x < 4. Yani düşük maliyetli üretimde A tipi yumurta, yüksek maliyetlide B tipi kazandırır.

Alt bahçenin çevresi 100 m, kısa kenarı x ⇒ uzun kenar 50 − x ⇒ alan f(x) = 50x − x²
Üst bahçenin çevresi 110 m, kısa kenarı 2x ⇒ uzun kenar 55 − 2x ⇒ alan g(x) = 110x − 4x²

Üst bahçe daha büyük olacaksa g(x) > f(x):
110x − 4x² > 50x − x² ⇒ 0 > 3x² − 60x
h(x) = 3x² − 60x = 3x(x − 20)
İşaret tablosunda kökler 0 ve 20; h(x) < 0 olduğu aralık (0, 20).

Zaten kenar uzunluğu pozitif olmalı ve 55 − 2x > 0 olmalı; ikisi de bu aralıkla uyumlu. Cevap: alt bahçenin kısa kenarı 0 ile 20 metre arasında.

Bafa Gölü: f(x) = 2x² + 5x
Gediz Nehri: g(x) = x² + 11x − 8
(x: 1 m³ suda yaşayan yılan balığı sayısını belirleyen değişken)

Nehirde daha fazla balık olması için g(x) > f(x):
x² + 11x − 8 > 2x² + 5x ⇒ 0 > x² − 6x + 8 ⇒ (x − 2)(x − 4) < 0
Çözüm aralığı (2, 4); bu aralıktaki tek tam sayı x = 3. O değerde 1 m³ suda f(3) = 33 ve g(3) = 34 balık olur — nehirde gerçekten bir fazla.

Kişi başı ücret 1200 TL, en az 60 kişi katılıyor. 60’ın üzerindeki her kişi için tüm katılımcılara 10 TL geri ödeme yapılıyor.

x katılımcı için kişi başı ücret 1200 − (x − 60)·10 olur:
f(x) = [1200 − 10x + 600]·x = [1800 − 10x]·x = 1800x − 10x²

Maksimum: a = −10, b = 1800 ⇒ x = −1800 / (2·(−10)) = 90 kişi
En yüksek gelir: f(90) = 90·(1800 − 900) = 90·900 = 81 000 TL

Grafikle kontrol: fonksiyonun sıfırları x = 0 ve x = 180; parabol simetrik olduğu için tepe tam ortada, x = 90.

Kulüp firmaya 80 000 TL ödeyecek; kâr da zarar da etmemesi için f(x) = 80 000 olmalı:
1800x − 10x² = 80 000
10x² − 1800x + 80 000 = 0
10(x² − 180x + 8000) = 0
10(x² − 180x + 8100 − 100) = 0
10[(x − 90)² − 10²] = 0
(x − 90 − 10)(x − 90 + 10) = 0
(x − 100)(x − 80) = 0 ⇒ x = 80 veya x = 100

Yani 80 kişi de 100 kişi de tam 80 000 TL toplar. Aradaki her sayı daha fazla, dışındaki her sayı daha az toplar. Soru “en fazla kaç kişi” dediği için cevap 100 kişidir.

x günlük araç üretimi olmak üzere (gelirlerin on binde biri cinsinden):
b(x) = 12x − 24 · c(x) = −6x² + 72x − 120

a) C aracının geliri maksimum: x = −72 / (2·(−6)) = 6 adet; o noktada c(6) = −216 + 432 − 120 = 96.
b) Gelirler eşit: −6x² + 72x − 120 = 12x − 24 ⇒ 6x² − 60x + 96 = 0 ⇒ x² − 10x + 16 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 8) = 0 ⇒ x = 2 veya x = 8.
c) B’nin geliri daha fazla: b(x) > c(x) ⇒ (x − 2)(x − 8) > 0 ⇒ x < 2 veya x > 8. Gelir her zaman pozitif kalmalı (b(x) > 0 için x > 2), dolayısıyla anlamlı cevap en az 9 adet üretmektir.

Kare mozaiğin kenarı x cm olsun. Maliyet alan üzerinden santimetrekare başına 4 TL: 4x². Satış fiyatı kenar üzerinden santimetre başına 12 TL: 12x.

Kâr: k(x) = 12x − 4x² = −4x² + 12x
Maksimum: x = −12 / (2·(−4)) = 1,5 cm
En yüksek kâr: k(1,5) = 18 − 9 = 9 TL

Sıfırlar 0 ve 3; yani kenar 3 cm’yi geçtiğinde maliyet satıştan büyür ve firma zarar eder. Alanın kenarın karesiyle, fiyatın kenarla artması bu sonucu doğuruyor.

A boncuğunun kârı maliyetle ters orantılı; maliyet 2 TL iken kâr 4 TL ⇒ k = 8 ⇒ f(x) = 8/x
B boncuğunun kârı daima maliyetten 2 TL fazla ⇒ g(x) = x + 2

Eşitlik: 8/x = x + 2 ⇒ 8 = x² + 2x ⇒ x² + 2x − 8 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 2) = 0 ⇒ maliyet pozitif olduğundan x = 2 TL.
B daha kârlı: x + 2 > 8/x ⇒ x > 2. Maliyet 2 TL’yi geçtiğinde B boncuğu kazandırır.

Karabatak f(x) = 3x² − 18x + 24 eğrisi boyunca dalıyor, martı g(x) = −x² + 6x + 16 eğrisi boyunca uçuyor.

a) Karabatak balığı f’nin minimum noktasında avlıyor: x = 18 / 6 = 3 ve f(3) = 27 − 54 + 24 = −3. Yani deniz yüzeyinin 3 metre altında.
b) Martının karabatağı yakaladığı C noktası iki eğrinin kesişimidir: 3x² − 18x + 24 = −x² + 6x + 16 ⇒ 4x² − 24x + 8 = 0 ⇒ x² − 6x + 2 = 0. C noktasının apsisi bu denklemin (pozitif ve grafikteki sağ) köküdür.

MÖ 2000-1000 arasında Babil ve Mısır’da, MÖ 300-200 arasında Antik Yunan’da ikinci dereceden denklemler üzerinde çalışılmış. Ama bu çalışmaların çoğu geometrik yaklaşımlarla yapılmış: denklem bir alan problemi olarak düşünülüyor, çözüm de bir kenar uzunluğu olarak aranıyordu. Cebir dili henüz yoktu.

Hintli matematikçi Brahmagupta, sıfır sayısını kullanan ve ikinci derece denklemlerin çözümü için bir formül geliştiren ilk kişidir. Bu formül, modern kök hesabının ilk adımlarını attırmıştır. Brahmagupta ayrıca negatif köklerin varlığına da değinmiştir — çağı için cesur bir adım. En önemli eseri Brahmasphutasiddhanta adlı matematik ve astronomi kitabıdır.

Ünlü İslam bilgini, matematikçi ve astronom. En önemli çalışması El-Kitab el-Muhtasar fi Hisab el-Cebr ve’l-Mukabele (Cebir ve Mukabele Hakkında Özet Kitap) adlı eseridir. Bu eserde cebirsel denklemleri sistematik biçimde ele almış ve çözüm yöntemlerini ilk defa belirgin bir biçimde formüle etmiştir.

Yaklaşımında geometrik bir yorumlama da vardır: ikinci dereceden denklemin çözümünü bir kare şeklinde görselleştirir. Terimleri ve sembolleri modern cebirin temellerini attı; “cebir” kelimesi bile onun kitabının adından türemiştir. Özbekistan’ın Hiva kentinde heykeli bulunuyor.

Türk asıllı Müslüman matematikçi; tarihte Türk lakabını taşıyan nadir bilim insanlarından biri ve Harizmi’nin çağdaşı. Cebir konusunda yazdığı Katışık Denklemlerde Mantıki Zaruretler adlı kitabın ancak küçük bir bölümü bugüne ulaşmıştır. Burada özel tipler hâlinde gruplandırılmış ikinci derece denklemlerin çözümleri, Harizmi’ninkilerden daha ayrıntılı verilmiştir. Diğer yapıtları: Kitab-ül Cami fi’l hisap (Hesap Kitabı), Kitab’ü Muamelat (İşlemler Kitabı) ve Kitab’ül Mesaha (Ölçme İşleri).

İşaret tablosunda “kökler arasında ters, dışında baş katsayının işareti” kuralı işler. a < 0 olan bir parabol kökleri arasında POZİTİF, dışında negatiftir. Gölet modelinde f(x) > 0 aralığı (8, 12) — yani yolun sular altında kaldığı yer köklerin arasıdır.

x² − 20x tamkareye tamamlanırken 100 eklenip çıkarılır: (x − 10)² − 100. Yalnız eklemek fonksiyonu değiştirir. a ≠ 1 olduğunda önce a parantezine alınır: 2x² − 4x − 6 = 2(x² − 2x − 3), sonra parantezin içi tamkareye tamamlanır.

f(x) = 1800x − 10x² için a = −10 ve b = 1800’dür. x = −1800 / (2·(−10)) = −1800 / (−20) = 90. İki eksinin birbirini götürdüğüne dikkat et; ayrıca ifadeyi genel forma sıralayıp yazmadan a ile b’yi okuma.

Denklemin iki kökü olabilir ama problemin tek cevabı olabilir. Yumurta probleminde x² = 16 ⇒ x = ±4 çıkar; maliyet negatif olamayacağı için cevap yalnız 4’tür. Bahçe probleminde kenar uzunluğu pozitif, gezi probleminde kişi sayısı tam sayı olmalıdır. Matematiksel çözümü bulduktan sonra bağlama geri dön.

16/x > x eşitsizliğinde iki tarafı doğrudan x ile çarpmak yanlıştır: x’in işaretini bilmiyorsan eşitsizliğin yönü değişebilir. Doğru yol her şeyi bir tarafa toplayıp işaret tablosu kurmaktır: (16 − x²)/x > 0. Problem bağlamında x > 0 bilgisi verilmişse o zaman çarpabilirsin.

Gezi probleminde geliri maksimum yapan kişi sayısı 90, ama 80 000 TL’yi karşılayan en fazla kişi sayısı 100’dür. İki ayrı soru, iki ayrı cevap: biri tepe noktasını, diğeri bir denklemin kökünü sorar. Soruyu okurken hangisi istendiğine dikkat et.

Kek 20 TL iken 100 kişi alıyor; her 2 TL zamda 10 kişi vazgeçiyor. Gelir (20 + 2x)(100 − 10x) — karesel bir model. Tepe noktasını bulup en yüksek gelir veren fiyatı hesaplayabilirsin. Sürekli zam yapmak geliri düşürür; parabolün tepesini geçmiş olursun.

Bir müzik uygulaması “ayda 60 TL sınırsız” diyor, diğeri “şarkı başına 1 TL”. Hangisi ucuz? Cevap ay içinde kaç şarkı dinlediğine bağlı: 60 = x denkleminin kökü sınırı verir. 60’tan fazla şarkı dinliyorsan abonelik, azsa tek tek ödemek mantıklı.

Topun izlediği yol paraboldür. “Kaç metreden atarsam potaya girer” sorusu h(x) = pota yüksekliği denklemini çözmek demektir. “En yüksek noktası nerede” sorusu ise −b/(2a). Aynı model, iki ayrı soru.

Elindeki çit uzunluğu sabitse en büyük alanı hangi şekil verir? Kısa kenara x dersen alan karesel çıkar ve tepe noktası cevabı söyler: kare. 100 metre çitle 25 × 25 seçersen 625 m², 10 × 40 seçersen yalnız 400 m² alan çevirirsin.

Günde çalışılan saat arttıkça verim önce yükselir, yorgunlukla düşer. Bu da karesel bir model. “Kaç saat çalışırsam en verimli olurum” sorusunun cevabı tepe noktasıdır; ondan sonrası harcanan zamandır.

Bazı oyunlarda saldırı gücü mesafeyle karesel değişir; belli bir mesafede en yüksek hasarı verirsin, yaklaşınca ya da uzaklaşınca düşer. Oyuncuların “sweet spot” dediği o nokta matematikte tepe noktasıdır.

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) için uç değer x = −b / (2a) noktasında ve değeri f(−b / (2a))
a > 0 → minimum · a < 0 → maksimum
Tamkare formundan: r = b/(2a), k = c − b²/(4a)
Sıfırları biliyorsan tepe apsisi ikisinin ortasıdır

Kökler arasında a’nın tersi, dışında a’nın işareti
Rasyonel ifadede paydayı sıfır yapan değer çift çizgi
f(x) = 0 → sınır noktaları · f(x) < 0 → eksen altı · f(x) > 0 → eksen üstü

f(x) = −x² + 20x − 96 = −(x − 10)² + 4
Sıfırlar 8 ve 12 · Tepe (10, 4)
f(x) > 0 → (8, 12): yol sular altında
f(x) < 0 → x < 8 veya x > 12: yol kuru
En yüksek su seviyesi: 4 cm (x = 10)

h(x) = −x² + 4x = −(x − 2)² + 4
Sıfırlar 0 ve 4 · Menzil 4 metre
Maksimum yükseklik 4 metre, x = 2’de
Kontrol: −b/(2a) = −4/(−2) = 2

f(x) = 2x² − 4x − 6 = 2(x − 1)² − 8 = 2(x + 1)(x − 3)
Sıfırlar −1 ve 3 · Tepe (1, −8)
f(x) < 0 → (−1, 3): boru zeminin altında
Zeytin x = −20, selvi x = 0 ⇒ kazı zeytinden 19 m sonra başlar, boru selviden 3 m sonra yüzeye çıkar
En derin nokta 8 metre

Yöntem: farkı al, sıfırlarını bul, işaret tablosu kur
Kargo: f = x² − 1, g = 4x − 4 ⇒ eşit x = 1 ve 3; 1 < x < 3’te A ucuz, x > 3’te B ucuz
Yumurta: f = 16/x, g = x ⇒ eşit x = 4; 0 < x < 4’te A kârlı
Bahçe: 3x(x − 20) < 0 ⇒ kısa kenar (0, 20)

f(x) = 1800x − 10x²
Sıfırlar 0 ve 180 · Maksimum x = 90’da, değeri 81 000 TL
f(x) = 80 000 ⇒ (x − 80)(x − 100) = 0 ⇒ x = 80 veya 100
“Maksimum gelir” ile “en fazla kişi” iki ayrı soru

Otomotiv: c(x) maksimum x = 6; eşitlik x = 2 ve 8; B üstün x > 8
Mozaik: k(x) = −4x² + 12x ⇒ kenar 1,5 cm, kâr 9 TL
Boncuk: f = 8/x, g = x + 2 ⇒ eşit x = 2; B kârlı x > 2
Yılan balığı: (x − 2)(x − 4) < 0 ⇒ tam sayı çözüm x = 3
Karabatak: minimum −3 ⇒ 3 metre derinde; C’nin apsisi x² − 6x + 2 = 0’ın kökü

MÖ 2000-1000 Babil ve Mısır, MÖ 300-200 Antik Yunan — geometrik yaklaşımlar
Brahmagupta (7. yy): sıfırı kullanan ilk formül, negatif köklere değindi; Brahmasphutasiddhanta
Harizmi (9. yy): Cebir ve Mukabele; “cebir” sözcüğü buradan
Abdülhamid bin Türk (9. yy): Katışık Denklemlerde Mantıki Zaruretler; çözümleri daha ayrıntılı