Deneme
çoğalınca
gerçek çıkar.
Bir önceki ünitede gözledin ve göreli sıklık hesapladın. Şimdi sayacaksın: olası bütün çıktıları ağaç şeması, tablo ya da sistematik listeyle çıkarıp teorik olasılığı bulacaksın. Ünitenin kalbi ise ikisinin buluştuğu yer: “Bir olayın deneyine ait tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşma eğilimindedir.” Çok sayıda denemeden genellemeye gitmek — buna tümevarımsal akıl yürütme denir.
Ünitenin açılış sorusu Ersan’ın seyahatidir: Ankara’dan İstanbul’a otobüs, tren veya uçak ile gitmekte; İstanbul içinde ise dolmuş veya metro kullanmaktadır. Olası tüm çıktılar nasıl görselleştirilir? Üç araç var ve 3. Örnekte hangisinin ne zaman seçileceğini tek tek açıklıyor. Aşağıdaki panelde üçü de aynı deney üzerinde yan yana.
Her adım için bir dal kümesi çizilir; bir yapraktan köke
giden yol bir çıktıdır.
Ne zaman? 3. örnekteki cevap:
“3 torbadan topların çekilmesi bağlamında
3 olay olduğundan her olay için bir dalın çizilebileceği ağaç
şeması kolaylık sağlayabilir”.
Yani ikiden çok adım varsa ağaç şeması seçilir; tablo iki
boyuta sıkışır, üçüncü adımı gösteremez.
Bir adım satırlara, öteki
sütunlara yazılır; her hücre bir çıktıdır.
Ne zaman? Cevap:
“yalnızca 2 olay ve bu olayların çıktı sayılarının az olması
nedeniyle tablo yapılması kolaylık sağlayabilir”.
Üstünlüğü: istenen çıktıları boyayınca
sayı doğrudan görülür. İki sayı küpünün 36 çıktısı bu
yüzden hep tabloyla gösterilir.
Çıktılar belli bir düzene göre alt alta yazılır; düzen,
hiçbirinin atlanmadığını garanti eder.
Ne zaman? Cevap:
“çıktı sayısı fazla olduğu fakat genelde çıktılar tekrar ettiği
için sistematik liste kolaylık sağlayabilir” (12 ve 8 bölmeli iki çark).
2. örnekte de kullanılır: iki torbadan birer top çekilirken
4 × 4 = 16 çizgi çekilip istenen çıktılar çerçevelenir.
Ağaç şeması çizilip sayılıyor. Bunu yaparken ortaya
çıkan kural şudur: adımlar birbirinden bağımsızsa
olası tüm çıktı sayısı, her adımdaki seçenek sayılarının
çarpımıdır.
· Ersan: 3 (şehirlerarası) × 2 (şehir içi) =
6 çıktı.
· Üç madenî para: 2 × 2 × 2 =
8 çıktı.
· İki sayı küpü: 6 × 6 =
36 çıktı.
· İki torba (4’er top): 4 × 4 =
16 çıktı — deyimiyle “16 çizgi”.
Şema çizmek yine de değerlidir: kaç tane olduğunu çarpma
kuralı söyler, hangileri olduğunu ise şema gösterir.
İstenen çıktıları belirlemek için ikincisi gerekir.
MS 801 yılında babasının vali olduğu Kûfe’de doğan Kindi,
eğitimini Bağdat’ta almıştır. Felsefe, tıp, astronomi, matematik, dil bilimi, müzik gibi
birçok alanda başarı göstermiştir.
Farklı alanlarda zengin bir bilgi birikimine sahip olan Kindi,
şifrelenmiş metinlerin çözümlenmesini konu alan el yazması bir
eser bırakmıştır. Günümüzde İstanbul’daki Süleymaniye Yazma
Eser Kütüphanesinde yer alan bu eserde Kindi, başlıca şifreleme sistemi türlerini
ağaç şeması kullanarak sınıflandırmıştır. Bu yönüyle Kindi,
ağaç şemalarını ilk kullanan bilim insanı olmuştur.
Tanım, üç cümlede bir yöntemdir: “Olayların teorik olasılık değeri hesaplanırken olası tüm çıktılar görselleştirilir. Görselleştirilen olası tüm çıktılar içinden istenen çıktılar belirlenir. İstenen çıktıların sayısının olası tüm çıktıların sayısına oranı, incelenen olayın teorik olasılık değerini verir.”
Havaya atılan hilesiz iki sayı küpünün üst yüzeyine gelen
sayıların çarpımının 6’ya kalansız bölünebilme olayının teorik olasılık değerini
bulunuz.
Çözüm: olası tüm çıktılar tabloda görselleştirilir, istenen çıktılar boyanır.
Olası tüm çıktı sayısı 36, istenen çıktı sayısı 15.
P = 15/36 = 5/12
Yukarıdaki panelde “çarpım 6’ya bölünür” düğmesine basınca aynı 15 hücreyi göreceksin.
Şu ayrıntı önemlidir: (2, 3) ile (3, 2) ayrı çıktılardır.
Tabloda ayrı hücrelerdir ve ikisi de sayılır — sayı küpleri
ayırt edilebilir kabul edilir.
“İstenen ÷ tüm” oranı, ancak
bütün çıktılar eşit olasıysa doğru sonuç verir. Ders kitabı bu
yüzden hep “hilesiz sayı küpü”, “eş
parçalara ayrılmış çark”, “renkleri dışında özdeş
toplar” diyor. Bu kelimeler süs değil, şarttır.
Klasik hata: iki sayı küpünün toplamı 2 ile 12 arasında
11 değer alıyor diye “toplamın 7 olma olasılığı 1/11” demek.
Yanlış — çünkü bu 11 toplam eşit olası değildir. Doğru cevap
6/36 = 1/6’dır ve bunu ancak
36 eşit olası çıktıyı sayarak bulursun.
Bir önceki ünitedeki deneysel sonuçların 7’de tepe yapmasının sebebi de buydu.
Tanım: “Aynı örnek uzaya ait iki olayın ortak çıktısı yoksa bunlar ayrık olaylar, ortak çıktısı varsa ayrık olmayan olaylar olur.” Bu ayrım, “veya” sorularının cevabını doğrudan belirler: ortak çıktı varsa onu iki kez saymamak için çıkarmak gerekir.
A ile B ayrık olmayan olaylar ve E olası tüm çıktıların
kümesi olmak üzere:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Neden çıkarma var? Çünkü A’yı sayarken ortak çıktıları bir kez,
B’yi sayarken bir kez daha saydın. Fazladan sayılan kısmı
geri almazsan sonuç şişer.
5. örnek: halk eğitim merkezinde
9 kurs var. Pazartesi günü 3 kurs → P(A) = 3/9; spor
kursları 3 → P(B) = 3/9; ortak olan tek kurs
futboldur → P(A∩B) = 1/9.
3/9 + 3/9 − 1/9 = 5/9
A ile B ayrık olaylar ise ortak çıktı yoktur, yani
P(A∩B) = 0 olur ve formül kısalır:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Dikkat: bu ayrı bir kural değil, aynı kuralın özel hâlidir.
Tek formül ezberlemek yeterlidir.
6. örnek: teknoloji mağazasında toplam
146 cihaz satılmış. K: B marka olma
(54 ürün), L: televizyon olma
(19 ürün). Mağazada
B marka televizyon satılmadığı için K ve L ayrık
olaylardır.
54/146 + 19/146 = 73/146 = 1/2
Sınavda en çok kaybettiren hata: “veya” görünce iki olasılığı
doğrudan toplamak. Kurs örneğinde bu 3/9 + 3/9 = 6/9 verirdi;
doğrusu 5/9’dur. Aradaki fark tek bir kurstur:
futbol iki kez sayıldı.
5. örnekteki 2. Yol bu hatayı imkânsız kılar:
tabloda pazartesi sütunu ve spor satırı
boyanır ve boyalı hücreler sayılır —
5 hücre. Bir hücre iki kez boyansa da bir kez sayılır.
Kural: emin değilsen formülü kullanma, tabloyu boya. Ders kitabı
da her iki yolu birden gösteriyor ve ikisinin aynı sonucu verdiğini söylüyor.
7. Uygulama, iki üniteyi tek deneyde birleştiriyor: havaya atılan hilesiz üç madenî paranın üst yüzlerine 2 yazı, 1 tura gelme olayı. Önce ağaç şemasıyla teorik değer bulunuyor (8 çıktının 3’ü → 3/8 = 0,375), sonra 50, 150, 500, 1500 ve 5000 tekrarda deneysel değer ölçülüp aradaki fark tabloya yazılıyor. Soru: “Tekrar sayısı arttıkça deneysel ve teorik olasılık değerleri arasındaki fark, beklediğiniz değere yaklaştı mı?”
“Bir olayın deneyine ait tekrar sayısı arttıkça olaya ait
deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşma eğilimindedir.”
Bu cümle, bu ünitenin adının açıklamasıdır.
Tümevarımsal akıl yürütme, tek tek gözlemlerden genel bir
sonuca gitmektir: çok sayıda deneme yaparsın, göreli sıklığın hep aynı sayının etrafında
toplandığını görürsün ve “bu olayın olasılığı o sayıdır”
dersin.
Dikkat edilecek kelime: “yaklaşma eğilimindedir”.
“Eşit olur” denmiyor. Fark hiçbir zaman tam olarak
0 olmayabilir; ama tekrar sayısı büyüdükçe
0’a yaklaşır. Yukarıdaki ikinci kaydırakla farklı denemeler
arasında gezinip bunu kendin görebilirsin.
50 tekrarda deneysel değer 0,30 da çıkabilir,
0,44 da. Teorik değer 0,375 olduğuna göre fark
0,07’ye kadar çıkabilir — bu
paranın hileli olduğunu göstermez.
Aynı deney 5000 tekrara çıkarıldığında fark genelde
0,01’in altına iner. Bir önceki ünitenin cümlesi burada da
geçerlidir: “Az sayıda denemenin sonuçları, uzun vadede görülen
sonuçlardan oldukça farklı olabilir.”
Bunun tersi de yanlıştır: “İlk 50 atışta az geldi, sonraki
50’de fazla gelerek dengeler” denmez. Denge, geçmişin telafi edilmesinden değil,
yeni denemelerin sayıca eskileri bastırmasından gelir.
Paranın hafızası yoktur.
Görev şu: yüzeylerinde 1, 1, 2, 3, 3, 4 yazan hilesiz iki
sayı küpü ile toplamın 5 olma olayı inceleniyor;
50, 150, 300, 900, 1800 ve 3000 tekrarda deneysel olasılık, teorik olasılık ve aradaki fark
tabloya yazılıyor.
Teorik değeri kendin bulabilirsin: her küpün yüzleri
1, 1, 2, 3, 3, 4 olduğuna göre olası tüm çıktı sayısı yine
36’dır (yüzler tekrar etse de ayrı yüzlerdir). Toplamın 5
olması için gereken çiftler (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)
biçimindedir; 1 yazan yüz iki tane, 3 yazan yüz
iki tane olduğu için sayılar şöyle çıkar:
(1,4) → 2×1 = 2 · (4,1) → 1×2 = 2 · (2,3) → 1×2 = 2 · (3,2) → 2×1 = 2.
Toplam 8 istenen çıktı →
8/36 = 2/9 ≈ 0,222
Bu, istenen hesabın tamamıdır; benzetimle karşılaştırıldığında tekrar sayısı
arttıkça deneysel değerin 0,222’ye yaklaştığı görülür.
Bu bölümde sekiz ayrı bağlam var: sınıf, kurs, mağaza, araç, yatırım, hava durumu, çanta, bezelye. Hepsinde yöntem aynıdır: olası tüm çıktıları say, istenenleri say, oranla. “Veya” geçiyorsa ortak çıktıyı çıkarmayı unutma.
Bir sınıftaki 48 öğrenciden 28’i kızdır. Kızların 8’i, erkeklerin
6’sı gözlüklüdür. Tabloyu doldurman isteniyor:
· Erkek sayısı: 48 − 28 = 20
· Gözlüklü: 8 + 6 = 14 · Gözlüksüz:
48 − 14 = 34
· Gözlüksüz kız: 28 − 8 = 20 · Gözlüksüz erkek:
20 − 6 = 14
Gözlüklü veya erkek olma (ayrık değil, ortak çıktı gözlüklü
erkekler):
14/48 + 20/48 − 6/48 = 28/48 = 7/12
Gözlüksüz ve erkek olma (kesişim, doğrudan hücre):
14/48 = 7/24
Biyolojiyle kesişen örnek:
bezelyelerde sarı tohum rengi aleli (S), yeşil tohum rengi aleline
(s); düzgün tohum şekli aleli (D), buruşuk tohum şekli aleline (d) tam baskındır.
Verilen: SsDd × ssDd çaprazlamasında sarı ve düzgün fenotipte
olma olasılığı 5/16.
İstenen: SSDd × Ssdd çaprazlaması. Tabloda
16 hücrenin 8’i sarı ve düzgün fenotiptedir:
8/16 = 1/2
Buradaki 16 hücrelik tablo, bu ünitenin
tablo ile görselleştirme yönteminin ta kendisidir — biyoloji
derslerinde aynı tabloya çaprazlama karesi denir.
En zor alıştırma iki üniteyi birleştiriyor:
x, y ∈ {0, 1, 2, 3, 4} olmak üzere rastgele seçilen (x, y)
noktasının y = 5x veya 2y = x doğrusu üzerinde olması.
Olası tüm çıktı: 5 × 5 = 25
nokta.
y = 5x üzerinde: yalnız (0, 0)
(x = 1 için y = 5 olurdu, kümede yok).
2y = x üzerinde: (0, 0), (2, 1), (4, 2).
Birleşim: ortak nokta (0, 0) bir kez sayılır →
3 nokta.
P = 3/25 = 0,12
Tablodaki deneysel değerler: 50’de 7/50 =
0,14; 500’de 57/500 =
0,114; 1000’de 121/1000 =
0,121. Fark
0’a yaklaşıyor — sorulan da budur.
A Rh+ (A0Rr) kan grubuna ait bir anne ile B Rh+ (B0Rr) kan grubuna
ait bir babanın çocuğunun AB Rh+ olma olasılığı soruluyor (R geni r’ye, A geni 0’a, B geni
0’a baskındır).
İki bağımsız özellik var, ikisi ayrı ayrı hesaplanıp
çarpılır:
· Kan grubu: anne A ya da 0, baba B ya da 0 verir → dört
eşit olası çıktı: AB, A0, 0B, 00. AB olan
1 tanedir → 1/4.
· Rh: Rr × Rr → RR, Rr, rR, rr. R baskın olduğu için
Rh+ olanlar 3 tanedir → 3/4.
1/4 × 3/4 = 3/16
Bu, ünitedeki tablo yöntemiyle de bulunabilir: 4 × 4 = 16
hücreli bir tablo çizilir ve AB Rh+ olan hücreler sayılır — 3
hücre.
Sorular karışık geliyor: kimi zaman bir teorik olasılık hesaplayacak, kimi zaman iki olayın ayrık olup olmadığına karar vereceksin.
Aşağıdaki dokuz sahnede de yapılacak iş aynı: olası tüm çıktıları çıkar, istenenleri say, oranla. Zor olan hesap değil, hiçbir çıktıyı atlamamak.
1. alıştırma birebir bu:
2 gömlek, 3 kazak (üst) ve
2 kot, 1 kumaş pantolon (alt).
Toplam kombinasyon 5 × 3 = 15.
“Gömlek veya kumaş pantolon giyme” olayı:
gömlekli 2×3 = 6, kumaş pantolonlu 5×1 = 5, ikisi birden 2×1 = 2 →
6 + 5 − 2 = 9 → 9/15 = 3/5.
Dolabındaki parçaları sayıp çarparak kaç farklı kombinin olduğunu bulmak, bu ünitenin
en zahmetsiz uygulamasıdır.
Kantinde 4 çeşit tost, 3 çeşit içecek var. Kaç farklı öğle seçeneğin var?
4 × 3 = 12.
“Peynirli tost veya ayran” diye sorulursa dikkat:
peynirli tostlu 3 seçenek, ayranlı 4 seçenek, ikisi birden
1 → 3 + 4 − 1 =
6, yani 6/12 = 1/2.
Doğrudan toplasaydın 7/12 çıkardı ve
peynirli tost + ayran ikilisini iki kez saymış olurdun.
4. Sıra Sizde sorusu sınıfının kendisi olabilir. Sınıf listesini
iki değişkenli bir tabloya döktüğünde (kız/erkek ×
gözlüklü/gözlüksüz) her soru bir hücre sayımına döner.
Bu iki yönlü tablo, olasılık sorularının en kullanışlı
aracıdır: “veya” sorusunda boyalı hücreleri sayarsın ve
ortak hücreyi iki kez sayma riski kalmaz.
6. Tema’daki veri tabloları ile 7. Tema’daki olasılık tabloları
aynı tablolardır — biri sıklık, öteki çıktı sayar.
Okul turnuvasında 8 takım var ve kura çekiliyor. Senin takımının
belli bir takımla eşleşme olasılığı nedir?
Kalan 7 takımdan biri seninle eşleşecek, hepsi eşit olası →
1/7.
Dikkat edilecek nokta, örnek uzayın ne olduğudur: “8 takım var, 1/8” demek
yanlıştır — kendinle eşleşemezsin. Olasılık sorularının
yarısı, örnek uzayı doğru kurmakla çözülür.
Dört haneli bir PIN’de her hane 0-9 arasıysa olası tüm çıktı sayısı
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Rastgele bir denemenin tutma
olasılığı 1/10 000.
Kindi’nin ağaç şemasıyla şifreleme türlerini sınıflandırması boşuna değil:
şifre biliminin çekirdeği saymadır.
Bir hane daha eklersen olası çıktı 10 katına çıkar. Şifreyi
uzatmanın neden bu kadar işe yaradığını çarpma kuralı tek satırda anlatır.
8. Sıra Sizde sorusu bir çiftçinin işidir: Esma Hanım’ın tarlası
salıdan sonraki 10 günün herhangi birinde gübrelenecek ve
o günün yağmursuz veya 17 °C’tan sıcak olma olasılığı
soruluyor.
Bu tam bir “veya” sorusudur: yağmursuz günleri say, sıcak
günleri say, hem yağmursuz hem sıcak olanları bir kez
çıkar.
Kamp, piknik ya da maç planlarken de aynı hesabı yaparsın — çoğu zaman farkında olmadan.
Bir oyunda iki farklı sandıktan eşya çıkıyor: birincisinde 5 eşyadan biri, ikincisinde
4 eşyadan biri. Kaç farklı ikili gelebilir?
5 × 4 = 20.
“İkisinden de aynı eşya çıkması” gibi bir soru gelirse
artık tabloyu çizmek gerekir; çarpma kuralı yalnız toplam
sayıyı verir.
2. örnekteki iki torba problemi tam olarak bu yapıdadır:
4 × 4 = 16 çıktı, istenen çıktılar çerçevelenerek sayılır.
9. Sıra Sizde sorusu bir mağaza sahibinin kararıdır: beş markanın
arz ve talep durumu verilmiş; alınan çantanın
arzının talepten az olmaması ve kırmızı olması soruluyor.
Arzı talebinden az olmayan markalar A (eşit), C ve D →
3/5. Üç renk eşit olası →
1/3. İki koşul birlikte istendiği için
3/5 × 1/3 = 1/5.
“Ve” sorularında çarpılır, “veya”
sorularında toplanıp ortak çıkarılır — bu ünitenin tek cümlelik özeti.
Bu, kitabın son konusu ve aynı zamanda en kolay denenebileni. Üç madenî para bul, 100 kez at,
2 yazı 1 tura gelme sıklığını say.
Bulduğun oranı 0,375 ile karşılaştır. Arada 0,05’lik bir fark
çıkması tamamen normaldir.
Sonra sayfadaki benzetimi 5000’e çıkar ve farkın nasıl kapandığını gör. Bir yıl boyunca
öğrendiğin iki şey — veriyi okumak ve
olasılığı hesaplamak — burada tek bir deneyde birleşiyor.
48 soruluk test · ağaç şeması, tablo ve sistematik listeyle olası tüm çıktıları çıkarma, çarpma kuralı, teorik olasılık hesabı, ayrık ve ayrık olmayan olaylarda toplama kuralı, deneysel olasılığın tekrar sayısı arttıkça teorik olasılığa yaklaşması
Ağaç şeması: ikiden çok adım varsa.
Tablo: iki olay ve az çıktı varsa.
Sistematik liste: çıktı çok ama tekrarlıysa.
İstenen çıktı sayısı ÷ olası tüm çıktı sayısı.
Şart: çıktılar eşit olası olmalı (hilesiz küp, eş bölmeli
çark, özdeş toplar).
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Ayrık olaylarda P(A∩B) = 0 olduğu için
P(A∪B) = P(A) + P(B).
Tümleyen: P(A’) = 1 − P(A).
Bağımsız adımlarda olası tüm çıktı sayısı, seçeneklerin
çarpımıdır.
Ersan 3 × 2 = 6 · üç para 2 × 2 × 2 = 8 · iki küp 6 × 6 = 36 · iki torba 4 × 4 = 16.
“Bir olayın deneyine ait tekrar sayısı arttıkça olaya ait
deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşma eğilimindedir.”
Üç parada 2 yazı 1 tura → 3/8 = 0,375.
Çarpım 6’ya bölünür → 15/36 = 5/12
Pazartesi veya spor kursu → 5/9
B marka veya televizyon → 73/146 = 1/2
SSDd × Ssdd, sarı ve düzgün → 8/16 = 1/2