Denedikçe
sayı
yerine oturur.
Bir olayın olasılığını bazen hesaplayamazsın: bir penaltının gole dönme, yarın yağmur yağma, bir makinenin hatalı basma olasılığını saymakla bulamazsın. O zaman tek yol gözlemektir: deneyi çok kez tekrarla, göreli sıklığı hesapla. “göreli sıklıklar, deneysel olasılık olarak adlandırılır” — ve tekrar sayısı arttıkça bu sayı kararlı hâle gelir.
Olasılık konuşmanın dört kelimesi var ve dördü de birbirinin üstüne kuruluyor. Bir deney yapılır, ondan bir çıktı gelir; olabilecek bütün çıktıların kümesine örnek uzay, bu uzayın herhangi bir alt kümesine ise olay denir. Bu terimler bölüm boyunca kullanılıyor (“deneydeki olay sayısı”, “olası tüm çıktılar”); burada dördünü de tek şemada göreceksin.
Sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen, tekrarlanabilen
işlem.
Bir madenî parayı atmak, bir sayı küpü atmak, bir çarkı çevirmek, bir torbadan top çekmek.
Deneyin tek bir sonucu.
Sayı küpünde 4 gelmesi; parada
tura gelmesi; iki küp atıldığında
(3, 5) gelmesi.
Bütün çıktıların kümesi. Genelde
E ile gösterilir.
Bir sayı küpünde E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; iki sayı küpünde
36 elemanlıdır.
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi.
“Çift gelmesi” = {2, 4, 6}. “7 gelmesi” = { } —
imkânsız olay. “6’dan küçük ya da eşit gelmesi” = E —
kesin olay.
Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:
0 ≤ P(A) ≤ 1
· P(A) = 0 ise A imkânsız
olaydır (bir sayı küpünde 7 gelmesi).
· P(A) = 1 ise A kesin
olaydır (1 ile 6 arasında bir sayı gelmesi).
· Aradaki değerler belirsizliğin derecesini gösterir.
Aynı sayı kesir, ondalık ya da yüzde olarak yazılabilir:
1/6 ≈ 0,167 ≈ %16,7. Deneysel olasılıklar
ondalık yazıyor (0,06 · 0,09 · 0,11).
Bir sayı küpü atıldığında “4 gelmesi” bir çıktıdır ve aynı
zamanda tek elemanlı bir olaydır. Ama
“çift gelmesi” bir çıktı değildir —
üç çıktıdan oluşan bir olaydır.
Bu ayrım sınavda şurada işe yarar: “Bu deneyde kaç farklı çıktı vardır?” ile “Bu olayın kaç
istenen çıktısı vardır?” bambaşka iki sorudur.
İki sayı küpü atıldığında çıktı sayısı 36’dır; “toplamın 5
olması” olayının istenen çıktı sayısı ise
4’tür: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
Ünitenin açılış cümlesi: “Günlük hayatta karşılaşılan belirsiz durumlar her zaman tek bir olay içermeyebilir. Genelde birden çok olay içeren durumlarla karşılaşılır.” Bunu bir tatil kararıyla anlatıyor: “toplu taşıma ile gitme” tek bir olaydır; “arkadaşlar ile birlikte ve toplu taşıma ile gitme” ise iki olayı birden içerir. Ayırt etmenin yolu cümlenin içindeki bağlaçlara bakmaktır.
Bir sayı küpünde “çift gelmesi” olayının
üç çıktısı vardır ama bu
tek bir olaydır — tek bir deneyin tek bir özelliğine
bakılıyor.
Buna karşılık “iki sayı küpünün üst yüzeylerine çift ve asal
sayı gelmesi” (1. Sıra Sizde deneylerinden biri)
birden çok olay içerir: iki ayrı küpe, iki ayrı koşul
konuyor.
Ölçüt tek cümle: kaç ayrı seçim/atış/çekim yapılıyor ve kaç ayrı
koşul konuyor? çark alıştırmasında “çark iki kez çevrildiğinde mavi ve sarı
gelme” birden çok olaydır; “çark bir kez çevrildiğinde 200 puan gelme” tek olaydır.
2. Uygulama bir işletmecinin gerçek kararıdır: menüsüne
yeni bir tost çeşidi eklemek ve bu ürünün satılma olasılığını
belirlemek istiyor. Sorular: hangi özellikleri göz önünde bulundurmalı, bu
özelliklere ait hangi verilere ihtiyacı var ve
ekmek, peynir ya da sucuğun yalnızca birinin satış verisiyle
karar verebilir mi?
Cevabın çekirdeği bu ünitenin konusudur: bir tost
birden çok olayın birlikte gerçekleşmesidir — ekmek
ve peynir ve sucuk
ve fiyat ve saat. Tek bir
malzemenin satış verisi, ancak tek bir olay hakkında bilgi
verir; birleşik ürünün satılma olasılığını tahmin etmek için
birlikte gözlenmiş veriye ihtiyaç vardır. İşletmeci bunu ancak
yeni tostu bir süre satarak, yani deneysel olasılıkla
öğrenebilir — teorik olarak hesaplanabilecek bir sayı değildir.
Tanım: “Günlük hayatta hava durumu, sporcu başarıları (penaltıyı gole çevirme, üç sayılık basket atışı vb.) gibi olaylarda tekrarlar sonucu elde edilen veriler olasılık tahmini için oldukça önemlidir. Böyle durumlarda söz konusu olayın olasılık değerini tahmin edebilmek için eldeki verilerle göreli sıklıklar hesaplanır. Göreli sıklıklar, deneysel olasılık olarak adlandırılır.”
Deney yapılırken çıktıların tek tek işaretlenmesi.
çark uygulamasında gruptaki bir kişinin görevi budur.
Beşerli gruplar hâlinde tutulur; amacı sayarken kaybolmamaktır.
Bir çıktının kaç kez gözlendiği. Tam sayıdır ve tekrar sayısı
büyüdükçe büyür.
Tabloda 1000 tekrarda toplamın 7 gelme sıklığı
151’dir.
göreli sıklık = sıklık ÷ tekrar sayısı
Her zaman 0 ile 1 arasındadır ve bütün çıktıların göreli
sıklıkları toplandığında 1 eder.
Bu sayı deneysel olasılıktır.
“Bir olayın aynı tekrar sayısına ait sıklık ve göreli sıklık
grafiklerinin şekli, eksenlerdeki değerler hariç aynıdır. Deneme sayısı ne kadar çok olursa
ortaya çıkan olasılık değeri o kadar kararlı olur (büyük sayılar yasası). Az sayıda denemenin
sonuçları, uzun vadede (tekrar sayısının artmasıyla) görülen sonuçlardan oldukça farklı
olabilir.”
İlk cümle önemli bir ayrıntı: sıklık grafiğinin her sütununu
aynı sayıya (tekrar sayısına) böldüğün için şekil
hiç değişmez, yalnızca dikey eksenin ölçeği değişir. Bu yüzden
iki grafik yan yana konduğunda birbirinin aynısı görünür —
aşağıdaki çark panelinde ikisini birlikte göreceksin.
Bir sayı küpünde 4 gelme olasılığını saymakla bulabilirsin:
altı eşit çıktıdan biri. Ama örneklerde bu mümkün değildir:
· Hava durumu: yarının “eşit olası çıktıları” diye bir liste
yoktur.
· Penaltıyı gole çevirme: sonucu belirleyen onlarca etken
var; sayılamaz.
· Üç sayılık basket atışı: her oyuncu için farklıdır ve
ancak geçmiş atışlardan tahmin edilir.
Bu üç durumda da tek yöntem gözlemek ve göreli sıklığı
hesaplamaktır. Deneysel olasılık, teorik olasılığın “kolay yolu” değil;
çoğu gerçek durumda tek yoldur.
1. örnekte toplamın 5 olma deneysel olasılığı
50 tekrarda 0,06 çıkıyor;
1000 tekrarda 0,11. Aradaki fark neredeyse
iki kat.
Bu, deneyin bozuk olduğunu göstermez. Kural:
“Az sayıda denemenin sonuçları, uzun vadede görülen
sonuçlardan oldukça farklı olabilir.”
Sık yapılan hata bunun tersini düşünmektir: “üç kez yazı geldi, sıra turada.” Madenî paranın
hafızası yoktur; bir sonraki atışta yazı olasılığı yine
aynıdır. Kararlılık, geçmiş atışların telafi edilmesinden değil,
yeni atışların eskilerin yanında küçük kalmasından gelir.
3. Uygulama iki çarkla yapılıyor: birincisi sarı (S), yeşil (Y) ve mor (M); ikincisi turuncu (T) ve mavi (V) olmak üzere kendi içinde eş parçalara ayrılmıştır. İki ok aynı anda çevriliyor ve 1. çarkın yeşil, 2. çarkın mavi alanı göstererek durmasının deneysel olasılığı inceleniyor. Tekrar sayısı 25 → 50 → 100 → 500 diye büyütüp her seferinde sıklık ve göreli sıklık grafiklerini çizdiriyor. Aşağıdaki benzetim tam bunu yapıyor.
Uygulamanın sonunda on bir soru sorulur. En önemli üçü ve
benzetimin verdiği cevaplar:
“Tekrar sayısı 50’ye çıkarılırsa dağılımda nasıl bir değişim
beklersiniz?” → Sütunların yükseklikleri büyür, ama
göreli sıklıklar birbirine yaklaşmaya başlar.
“Olasılık değerinin daha kararlı hâle gelmesi için kaç tekrar
yeterlidir?” → 1. örnekteki cevap:
“tekrar sayısının mümkün olduğunca fazla olması
gerekmektedir.” Kesin bir sayı yoktur; kaydırağı büyüttükçe dalgalanmanın küçüldüğünü
göreceksin.
“Tekrar sayısı arttıkça neler değişti?” → Sıklıklar büyüdü,
göreli sıklıklar oturdu ve iki grafiğin
şekli hiç değişmedi.
Uygulamanın 6. adımında ilginç bir şey isteniyor:
“Tekrar sayısının 50’ye çıkarılması durumunda oluşturduğunuz
çıktıların üzerine başka bir grubun 50 tekrara ait çıktılarını ekleyiniz.”
Yani aynı deneyi yapan iki ayrı grubun sonuçları
birbirinden farklı çıkar. İkinci kaydırak (“başka bir grup”) bunu gösteriyor: tekrar sayısı
küçükken denemeler arasında büyük farklar var, tekrar sayısı
büyüdükçe hepsi aynı yere yaklaşıyor.
Bu, ünite 30’un tam olarak başladığı yerdir:
deneysel olasılık, tekrar sayısı arttıkça bir sayıya yaklaşır
ve o sayı teorik olasılıktır — bu deneyde
1/3 × 1/2 = 1/6 ≈ 0,167.
1. örnek, hilesiz iki sayı küpünün havaya atılması deneyinde üst yüzeye gelen sayıların toplamının sıklığını dört ayrı tekrar sayısında veriyor: 50, 100, 500 ve 1000. Sorulan olay: toplamın 5 olması. Aşağıdaki düğmelerle dört tabloyu da görebilir, dağılımın nasıl “oturduğunu” izleyebilirsin.
Toplamın 5 olma olayının deneysel olasılığı:
· 50 tekrarda 3 ÷ 50 = 0,06
· 100 tekrarda 9 ÷ 100 = 0,09
· 500 tekrarda 55 ÷ 500 = 0,11
· 1000 tekrarda 110 ÷ 1000 = 0,11
Sonuç: “Tekrar sayısı arttıkça dağılımda ve ele alınan
olayın deneysel olasılık değerinde oluşan değişebilirlik azalmıştır. Sıklığa ait grafik,
kararlı hâle gelmiştir. Toplamın 5 olma olayının deneysel olasılık değeri 0,11’e yaklaşma
eğilimindedir.”
Ve “kaç tekrar yeterlidir?” sorusunun cevabı:
“o deneye ait tekrar sayısının mümkün olduğunca fazla olması
gerekmektedir.”
Dört tabloda da en yüksek sütun 7 toplamındadır.
Sebebi tesadüf değil, saymadır: iki sayı küpüyle
36 çıktı vardır ve toplamlar bu 36 çıktıya
eşit dağılmaz.
· Toplamın 2 olması yalnız (1,1) ile —
1 çıktı.
· Toplamın 5 olması (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) —
4 çıktı.
· Toplamın 7 olması (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) —
6 çıktı, en fazlası.
Aşağıdaki ızgarada 36 çıktının tamamı var; düğmelerle hangi toplamın kaç çıktıdan geldiğini
görebilirsin. Bu sayma işi, ünite 30’un konusudur; burada
yalnızca deneysel sonucun neden o şekli aldığını açıklıyor.
Sorular karışık geliyor: kimi zaman göreli sıklık hesaplayacak, kimi zaman bir durumun tek olay mı birden çok olay mı içerdiğini seçeceksin.
Aşağıdaki dokuz sahnede de teorik olasılık hesaplanamaz; hepsinde tek yol gözlemek ve göreli sıklık hesaplamaktır.
Beden dersinde 20 serbest atış yaptın, 11’i girdi. Deneysel olasılığın
11 ÷ 20 = 0,55.
Ertesi hafta 20 atış daha yaptın, 9’u girdi. Şimdi toplam
20 ÷ 40 = 0,50.
Sayı oynadı ama panik yok: 40 atış hâlâ az. Gerçek
isabetini görmek için yüzlerce atış gerekir — “tekrar sayısı mümkün olduğunca fazla
olmalı” cümlesi tam bunun için.
“Yarın %70 yağmurlu” ne demek? Bir günün iki kez
yaşanamayacağına göre bu sayı sayımla bulunamaz.
Anlamı şudur: geçmişte bugüne benzer koşulların gözlendiği
günlerin yaklaşık %70’inde yağmur yağmış.
Yani hava tahmini tam olarak deneysel olasılıktır ve
ünitenin ilk örneği de budur. “Yağmadı, demek ki yanlıştı” demek doğru değildir;
%70, %100 demek değildir.
Okul turnuvasında penaltıyı kim atsın? Cevap
geçmiş atışlardan gelir: 12 atışta 9 gol atan
(0,75) mı, 4 atışta 4 gol atan
(1,00) mı?
İkincisinin oranı daha yüksek görünse de 4 tekrar çok az.
Az denemede 1,00 çıkması olağandır; bu, hiç kaçırmayacağı anlamına gelmez.
Uyarı burada birebir işler:
az sayıda denemenin sonucu, uzun vadedekinden çok farklı
olabilir.
Teneffüste kantine gidince sıra bulma olasılığını hiçbir formül vermez. Ama
bir hafta boyunca not tutarsan:
10 teneffüsün 3’ünde kuyruk yoktu → 0,3.
Bu, kafe işletmecisi örneğiyle aynı mantıktır: karar vermek için
gözlenmiş veriye ihtiyaç var.
Bir de birden çok olay hâli var: “kuyruk yok
ve istediğim ürün kalmış”. İkisi birden isteniyorsa oran
düşer.
Bir oyunda sandıktan nadir eşya çıkma oranı “%2” diye yazıyor. 50 sandık açtın, hiç
çıkmadı. Oyun bozuk mu?
Hayır. %2, “her 50 sandıkta bir tane” demek değildir;
uzun vadede yüzde ikisi demektir. 50 denemede hiç çıkmaması
tamamen olağandır.
Bu, ünitedeki en yaygın yanlış anlamadır:
olasılık bir garanti değil, uzun vadeli bir orandır.
Sabah 7.40’ta çıkarsan servise yetişiyor musun? Bir ay boyunca işaretle: 20 günün
16’sında yetiştiysen deneysel olasılık
0,8.
7.35’te çıktığın günlerde oran 0,95 çıkıyorsa, beş dakikanın
ne kadar değerli olduğunu veriyle göstermiş olursun.
Bu, tam olarak bir karşılaştıran araştırma sorusudur ve
cevabı iki göreli sıklığın karşılaştırılmasıdır.
Bir fabrika ürettiği her parçanın hatalı olma olasılığını hesaplayamaz; makine, malzeme ve
insan etkileri sayılamaz.
Yapılan şey örneklemedir: her 1000 üründen rastgele 50’si
denetlenir, hatalı sayısı kaydedilir ve
göreli sıklık hesaplanır.
Oran beklenenin üstüne çıkarsa üretim durdurulur. Bu, bu ünitedeki bilgiyle çalışan
gerçek bir meslek işidir ve adı kalite kontroldür.
Bir çekilişte üst üste üç kez tek sayı çıktı; “sıra çift sayıda” demek
yanlıştır.
Her çekiliş bağımsızdır ve çarkın
hafızası yoktur. Geçmiş sonuçlar bir sonrakini
değiştirmez.
Uzun vadede oranların eşitlenmesi, geçmişin telafi edilmesinden değil,
yeni denemelerin sayıca eskileri bastırmasından kaynaklanır.
İki cümle kulağa benzer gelir ama biri doğru, biri yanlıştır.
Araştırma Ödevi ev şartlarında yapılabilir:
hilesiz bir madenî para ve hilesiz bir sayı küpü aynı anda
atılır; yazı ve 4 gelme olayının deneysel olasılığı
hesaplanır.
100, 200, 500, 1000 ve 10 000 tekrarda göreli sıklık grafikleri karşılaştırılır. Elle 10 000
atış mümkün olmadığı için şu geçerlidir:
“gözleme dayalı tahmin edebilmede gerçek yaşamda sınırlılık
olduğu için istatistik yazılımı yardımıyla tekrar sayısı istendiği kadar
artırılabilir.”
Bu sayfadaki çark benzetimi de tam olarak bunun için var.
48 soruluk test · deney ve olay terimleri, bir olay ile birden çok olay içeren durumların ayrımı, göreli sıklık ve deneysel olasılık hesabı, çark ve iki sayı küpü deneyleri, tekrar sayısı arttıkça olasılığın kararlı hâle gelmesi
Deney: sonucu önceden bilinemeyen, tekrarlanabilen işlem.
Çıktı: tek bir sonuç.
Örnek uzay (E): bütün çıktıların kümesi.
Olay: örnek uzayın bir alt kümesi.
Kural: belirsiz durumlar her zaman tek bir olay içermez.
ve → kesişim · veya →
birleşim · değil → tümleyen.
Ortak çıktısı olmayan olaylar ayrıktır.
göreli sıklık = sıklık ÷ tekrar sayısı
Kural: “Göreli sıklıklar, deneysel olasılık olarak
adlandırılır.”
0 ile 1 arasındadır; hepsinin toplamı 1’dir.
Sıklık ve göreli sıklık grafiklerinin şekli, eksen değerleri hariç
aynıdır.
Deneme sayısı arttıkça olasılık değeri kararlı olur
(büyük sayılar yasası).
Toplamın 5 olma deneysel olasılığı:
50’de 0,06 · 100’de 0,09 ·
500’de 0,11 · 1000’de 0,11
0,11’e yaklaşma eğiliminde.
“Üç kez yazı geldi, sıra turada.” Yanlış. Paranın hafızası
yoktur.
Kararlılık, geçmişin telafisinden değil,
yeni denemelerin sayıca baskın gelmesinden doğar.