Aynı veri,
üç ayrı
resim.
Veriyi topladın; şimdi bakılabilir hâle getireceksin. Nokta grafiği her veriyi tek tek gösterir, histogram onları aralıklara toplar, kutu grafiği ise dağılımı beş sayıya indirir. Üçü de doğrudur ve üçü de başka bir şeyi gösterir. Bu ünitenin sonunda bir grafiğe bakıp “neyi saklıyor?” diye sorabileceksin.
4. Uygulama gerçek bir araştırmadan geliyor: Türkiye İç Sularını Balıklandırma Projesi kapsamında 1981 yılında T.C. Tarım ve Orman Bakanlığı Akdeniz Su Ürünleri Araştırma, Üretme ve Eğitim Enstitüsü Müdürlüğünce başlatılan çalışmalar sazan balığı üretimiyle başlamış ve tatlı su kaynaklarına özgü farklı tür balıkların üretimiyle devam etmiştir. Enstitüde üretilen sazanların yaklaşık %90’ı yaklaşık 50 il, 500 göl ve göletin balıklandırılmasında kullanılmaktadır. Bir su ürünleri mühendisi, 2022 yılında 71 ilde avlanan sazan balığı miktarlarına TÜİK verilerinden ulaşmış ve bunlarla bir nokta grafiği oluşturmuştur.
Soru şu: bu dağılıma bakarak 2022 yılında Türkiye’nin
71 ilinde avlanan sazan balığı miktarı ile ilgili ne gibi bilgilere ulaşılabilir?
Nokta grafiğinden okunabilecekler:
· Yığılma nerede? Noktaların büyük çoğunluğu
düşük değerlerde toplanmış: 71 ilin
46’sında avlanan miktar 50 tonun altında.
· Uçta ne var? Sağ tarafta, ötekilerden çok uzakta
tek bir il duruyor (200-250 ton aralığı).
· Dağılımın biçimi: sola yığılmış, sağa doğru uzun bir
kuyruk. Bu biçime sağa çarpık denir.
Nokta grafiğinin üstünlüğü: hiçbir veriyi gizlemez. Kaç veri
varsa o kadar nokta vardır ve hepsinin yeri görülür. Zayıflığı da aynı yerden gelir: veri
sayısı yüzlere çıkınca noktalar üst üste biner ve grafik okunmaz hâle gelir.
Lise öğrencisi Meltem’in protein araştırmasından:
proteinler insan vücudu için oldukça önemlidir; dengeli bir
şekilde tüketilen proteinin kaslar için olduğu kadar sinir sistemi için de önemi
büyüktür. Protein kaynakları bitkisel ve hayvansal olmak üzere ikiye ayrılır;
özellikle Omega-3 yağı bakımından zengin olan balıklar başta cilt,
kalp ve sinir sistemi olmak üzere vücut için oldukça faydalıdır.
Görsel 6.2’deki kişi başı tüketilen yıllık ortalama balık
miktarı (kg):
· İzlanda 90 · Japonya 75 ·
AB Ülkeleri 26 · Mısır 24 ·
Suudi Arabistan 16 ·
Türkiye 10 · ABD 8
Meltem’in sorusu (“bu bilgiler nasıl elde edilmiş olabilir?”) aslında bir önceki ünitenin
sorusudur: bu sayılar kişi kişi ölçülerek değil, ülkelerin toplam
tüketiminin nüfusa bölünmesiyle bulunur — yani
ikincil veriden hesaplanan bir ortalamadır. Hiç balık yemeyen
birinin de, günde balık yiyen birinin de bu ortalamanın içinde olduğunu unutma.
Veri görselleştirmede kullanılan araçlardan biri histogramdır. Histogram, verilerin belli aralıklardaki sıklığını sütunlarla gösteren bir grafiktir. Grafiğin Grafik 6.3’ünde bir grup öğrencinin matematik notları yirmişer puanlık aralıklarda gösterilmiştir: yatay eksende aralıklar, dikey eksende her aralıkta gözlenen veri sayısı (frekans) yer alır. 4. Uygulamada aynı sazan verisi iki farklı aralık genişliğiyle (Grafik 4 ve Grafik 5) çizdirip farkı sorduruyor. Aşağıdaki kaydırak tam olarak bunu yapıyor.
Grafik 4 ile Grafik 5’in karşılaştırılma sebebi bu:
veri hiç değişmediği hâlde grafiğin görünüşü değişiyor.
· Aralık çok geniş olursa (mesela tek bir sütun) dağılımın
biçimi kaybolur; her şey tek bir bloğa yığılır ve
hiçbir ayrıntı görünmez.
· Aralık çok dar olursa her sütunda bir iki veri kalır;
grafik dişli ve dağınık çıkar,
rastgele dalgalanmalar gerçek bir desen gibi görünür.
Doğru genişlik diye tek bir cevap yoktur ama iyi bir alışkanlık vardır:
birkaç genişlik dene, hepsinde de görünen özellikler gerçektir;
yalnız birinde görünen özelliklere şüpheyle yaklaş.
Yukarıdaki kaydırakla dene: “çoğunluk düşük değerlerde”
gözlemi bütün genişliklerde ayakta kalır — bu gerçektir.
Ama 25 tonluk aralıkta görünen küçük ikinci tepe her genişlikte yoktur —
buna güvenilmez.
Dağılımları karşılaştırmak için kullanılan farklı bir görselleştirme aracı da kutu grafiğidir. Kutu grafiği; bir dağılımın en küçük (minimum) değer, alt çeyrek değer (Ç1 veya %25’lik dilim), ortanca (Ç2 veya %50’lik dilim), üst çeyrek değer (Ç3 veya %75’lik dilim) ve en büyük (maksimum) değerden oluşan beş sayılı özetinin görselleştirilmesidir. Ders kitabının cümlesiyle: beş sayılı özet verileri ile çeyrekler oluşturulur (her grup verilerin yaklaşık %25’ini içerir) ve ardından bu değerler kutu grafiği çizmek için kullanılır.
Tarif: çeyreklikleri bulmak için veriler sıralanır ve
sıralanan veriler her grupta yaklaşık aynı sayıda veri noktası olacak şekilde dört parçaya
bölünür. Bunu somut adımlara dökelim (sayfada kullanılan yöntem budur):
1. Verileri küçükten büyüğe
sırala.
2. Ortancayı (Ç2) bul: veri
sayısı tekse tam ortadaki değer, çiftse ortadaki iki değerin ortalaması.
3. Veriyi ortancadan iki yarıya
ayır. (Veri sayısı tekse ortanca hiçbir yarıya dâhil
edilmez.)
4. Alt yarının ortancası Ç1,
üst yarının ortancası Ç3’tür.
Kural: verilerin yaklaşık %25’i Ç1 değerinin, yaklaşık
%50’si ikinci çeyreklik (Ç2, aynı zamanda ortanca) değerinin ve yaklaşık %75’i üst çeyreklik
(Ç3) değerinin altındadır.
Dikkat: “yaklaşık” deniyor. Veri sayısı 4’ün katı
değilse dilimler tam olarak eşit olmaz; bu bir hata değil, tanımın kendisidir.
Kutu grafiği beş çizgiden oluşur ve her biri bir şey söyler:
· Sol bıyığın ucu: en küçük değer (minimum, alt uç değer)
· Kutunun sol kenarı: Ç1
· Kutunun içindeki çizgi: Ç2, yani
ortanca
· Kutunun sağ kenarı: Ç3
· Sağ bıyığın ucu: en büyük değer (maksimum, üst uç değer)
Dört bölgenin her biri verilerin yaklaşık %25’ini içerir. Bu
yüzden bir bölge uzunsa orada veriler
seyrek, kısaysa sıkışıktır.
Kutu grafiğinin en çok yanlış okunan yeri burasıdır:
geniş bölge “çok veri” demek değildir, tam tersine “dağınık veri”
demektir.
5. Uygulamanda 24 memeli türünün günlük uyku
süreleri önce nokta grafiğiyle, sonra aynı veri kutu grafiğiyle gösterilir ve
“bu araç dağılımın hangi değerlerini temsil ediyor olabilir?”
diye sorulur. Cevap: beş sayılı özeti.
6. Uygulamanda araştırmacılar 27 memeli türünün
boyunu kaydediyor ve grafiğin altında şu değerler yazılı:
0,1 · 0,7 · 1,2 · 2 · 3,5 · 4 · 5 · 6,5 (metre). Ders kitabının
sorusu: bu değerler dağılımın hangi değerlerini temsil ediyor
olabilir?
Kutu grafiğini okumayı öğrendiğine göre cevabı sen verebilirsin.
Beş sayılı özet beş değer içerir, burada
sekiz sayı var. Yani bu sayıların
beşi kutu grafiğinin çizgilerine, geri kalanı
kutunun dışında ayrı ayrı işaretlenmiş uç noktalara
aittir.
Küçükten büyüğe okursak beş sayılı özet
en küçük 0,1 m · Ç1 = 0,7 m · ortanca 1,2 m · Ç3 = 2 m · en büyük
6,5 m biçiminde okunur; aradaki 3,5 · 4 · 5 değerleri ise
kutudan uzakta duran, tek tek işaretlenmiş büyük türlerdir.
Bu okumadan çıkan sonuç şaşırtıcı derecede zengin:
27 memeli türünün yarısı 1,2 metreden kısa, dörtte üçü
2 metreden kısa, ama en büyüğü
6,5 metre. Dağılım keskin biçimde
sağa çarpıktır — tıpkı sazan verisi gibi. Kutunun (0,7 – 2 m)
dar, sağ bıyığın (2 – 6,5 m) çok uzun olması bunu tek bakışta anlatır.
Kutu grafiğinde üst uç değer (maksimum) ile alt uç değer (minimum) arasındaki fark, açıklığı vermektedir. Açıklık, verilerin yayılımı hakkında fikir veren ve yaygın olarak kullanılan bir yayılım ölçüsü olsa da aykırı değerlerden etkilenmektedir. Bu nedenle aykırı değerlerden daha az etkilenen çeyrekler açıklığının kullanılması açıklığa göre daha güvenilir bilgi sunmaktadır. Çeyrekler açıklığı, sıralanmış bir veri dizisinin ortanca etrafında toplanmış %50’sini diğer bir deyişle Ç3 ile Ç1 aralığını (Ç3 − Ç1) gösteren bir yayılım ölçüsüdür.
Çeyrekler açıklığının aykırı değerlerden az etkilenmesi,
aykırı değerin önemsiz olduğu anlamına gelmez. Tam
tersi: çoğu zaman en ilginç bilgi orada saklıdır.
Sazan verisinde 200 tonun üzerinde avlanma yapan tek il,
“dağılımı bozan bir sayı” değil; araştırılması gereken bir
sorudur: orada büyük bir göl mü var, farklı bir balıklandırma programı mı uygulanmış?
Doğru tutum şudur:
· Yayılımı özetlerken çeyrekler açıklığını kullan (daha
güvenilir).
· Aykırı değeri grafikte ayrıca göster ve
sebebini sor.
· Yalnızca ölçüm ya da kayıt hatası olduğunu ispatlayabiliyorsan
veriden çıkar — ve bunu raporunda yaz.
Bir önceki ünitenin etik maddesini hatırla:
araştırmacı veriler üzerinde oynama yapmamalı ve beklentisi
doğrultusunda verileri değiştirmemelidir. Rahatsız edici olduğu için bir veriyi silmek,
tam olarak budur.
Grafik 4 ile Grafik 5 karşılaştırılırken şu sorulur: “Bu farklılıklar, grafiklerin sunduğu bilgileri nasıl farklılaştırmaktadır?” Aralık genişliğini gördün. Şimdi aynı sorunun daha keskin bir hâline bakalım: eksen nereden başlıyor?
1. Dikey eksen sıfırdan mı başlıyor? Sütun grafiğinde eksen
kesilirse sütun boyları arasındaki oran bozulur; küçük farklar
dev gibi görünür. Yukarıdaki kaydırakla bunu kendin ürettin:
Türkiye ile ABD arasındaki 2 kg’lık fark, eksen 8’den
başlayınca sonsuz kat gibi görünüyor.
2. Aralık genişliği kaç? Histogramda genişlik değişince
dağılımın biçimi değişir. Farklı genişliklerde hep görünen özellikler gerçektir.
3. Ortalama mı, ortanca mı verilmiş? Sağa çarpık bir dağılımda
(sazan verisi gibi) ortalama, ortancadan büyük çıkar; hangisinin
seçildiği tabloyu değiştirir. Bir sonraki ünitenin ana konusu budur.
4. Kaç veriden hesaplanmış? Beş kişiye sorulan bir anketin
yüzdesiyle beş yüz kişiye sorulanınki aynı grafikte aynı görünür. Grafikte
veri sayısı yazmıyorsa sor.
5. Örneklem nasıl seçilmiş? Bir önceki ünitenin konusu: yanlı
bir örneklemden çizilen kusursuz bir grafik, kusursuz biçimde
yanlıştır.
Bu beş soru, “grafikleri karşılaştırınız, farkları belirleyiniz” yönergesinin
günlük hayattaki karşılığıdır. Haberdeki, reklamdaki, sosyal medya paylaşımındaki her grafiğe
bu beş soruyu sorabilirsin.
Sorular karışık sırayla geliyor. Beş sayılı özeti çıkar, açıklığı hesapla, doğru grafiği seç.
Bu ünitenin en kullanışlı tarafı sınav dışında: elindeki telefonda günde onlarca grafik görüyorsun. Aşağıdaki dokuz sahne, onlara nasıl bakacağını anlatıyor.
Öğretmen tahtaya sınav notlarının histogramını çizdi. Sen kendi notunu biliyorsun; grafikten
kendi yerini okuyabilirsin.
Notun Ç3’ün üstündeyse sınıfın en yüksek %25’indesin;
ortancanın altındaysa yarıdan fazlası senden yüksek almış.
Kutu grafiği bunun için biçilmiş kaftandır ve tek bir sayıdan
(“sınıf ortalaması 62”) çok daha fazlasını söyler:
ortalama, sınıfın ikiye ayrıldığını gizleyebilir, kutu
grafiği gizleyemez.
Telefonun haftalık ekran süresi ekranı, yedi günün sütun
grafiğini ve bir ortalama verir. Ama hafta sonu 6 saat, hafta içi 2 saat kullandıysan
ortalama 3 saat çıkar ve
hiçbir günü doğru anlatmaz.
Aynı yedi sayının kutu grafiği çizilse hemen görünürdü:
kutu geniş, yani günler arası fark büyük.
Ders: tek bir sayı, dağılımın yerini tutmaz. Ünitenin bütün
bu bölümü tam olarak bunu öğretiyor.
Bir basketbolcunun sezon boyunca attığı sayılar: çoğu maç 8-14, bir maç 42.
Açıklık 42 − 4 = 38 gibi büyük bir sayı verir ama bu
oyuncunun tipik performansını anlatmaz.
Çeyrekler açıklığı (mesela 14 − 9 = 5) çok daha dürüst bir
özet olur: maçların yarısında 9 ile 14 sayı arasında
oynuyor.
Spor yorumcularının “ortalama şu kadar” demesi bu yüzden çoğu zaman eksiktir; iyi analizciler
dağılıma bakar.
Bir ürünün 4,2 puanı iki çok farklı şeyden gelmiş olabilir: herkes 4 vermiş olabilir, ya da
yarısı 5 yarısı 3 vermiş olabilir. Ortalama ikisini de 4,2
gösterir.
Bu yüzden alışveriş siteleri puanların dağılımını
(5 yıldız kaç kişi, 4 yıldız kaç kişi…) ayrıca verir — o bir
histogramdır.
Bakman gereken şey ortalama değil, dağılımın biçimidir: iki
uçta yığılma varsa ürün “bazılarına çok uyuyor, bazılarına hiç uymuyor” demektir.
Televizyonda ya da paylaşımlarda gördüğün sütun grafiklerinin dikey eksenine bak:
sıfırdan mı başlıyor?
Eksen kesilmişse iki sütun arasındaki fark olduğundan çok daha
büyük görünür. Bu, teknik olarak “yanlış” bir grafik değildir — sayılar doğrudur — ama
gözü yanıltır.
Yukarıdaki kaydırakla ürettiğin şeyin aynısı: Türkiye 10 kg, ABD 8 kg. Eksen 8’den
başlarsa ABD sütunu yok olur. Sayı aynı, resim başka.
Sınıfın boylarını ölçüp bir kutu grafiği çizmek 20 dakika sürer ve şaşırtıcı derecede
öğreticidir. Beş sayıyı bulmak için tek yapman gereken
sıralamak.
30 kişilik bir sınıfta ortanca = 15. ve 16. değerin ortalaması; alt yarının ortancası
Ç1, üst yarınınki Ç3.
Sonra aynı grafiği yan sınıf için de çizersen
cümlesindeki işi yapmış olursun:
kutu grafiği, dağılımları karşılaştırmak için kullanılır.
Bir ay boyunca günlük harcamanı yazarsan 30 sayın olur. Çoğu gün 20-40 TL, bir gün doğum
günü hediyesi için 300 TL.
Ortalama bu tek günden ciddi biçimde etkilenir;
ortanca neredeyse hiç etkilenmez. Aynı şekilde
açıklık 300’e fırlar,
çeyrekler açıklığı yerinde durur.
Bütçe yaparken hangisine bakmalısın? İkisine birden: tipik
gününü çeyrekler açıklığı, ay sonunu ise o 300 TL belirler.
5. Uygulamanda 24 memeli türünün günlük uyku
süreleri inceleniyor. Türler arasındaki fark çok büyük: bazıları günün büyük kısmını
uyuyor, bazıları birkaç saat.
Kendi verinle dene: bir hafta boyunca kaç saat uyuduğunu yaz. Yedi sayının
ortancası senin tipik uykun,
çeyrekler açıklığı ise düzenli olup olmadığındır.
Kutu darsa düzenli uyuyorsun;
genişse uyku saatlerin günden güne çok değişiyor demektir.
Görsel 6.2’deki yedi ülke, aslında küçük bir veri kümesidir ve beş sayılı özetini
çıkarabilirsin: sıralı hâli
8, 10, 16, 24, 26, 75, 90.
Ortanca 24; alt yarı 8, 10, 16 ⇒
Ç1 = 10; üst yarı 26, 75, 90 ⇒
Ç3 = 75. Açıklık
90 − 8 = 82, çeyrekler açıklığı
75 − 10 = 65.
Kutunun bu kadar geniş olması şunu söyler: ülkeler arasında
devasa fark var. Türkiye’nin 10 kg’ı, ortancanın epey altında ve
Ç1 değerine eşit.
48 soruluk test · nokta grafiği, histogram ve aralık genişliğinin etkisi, kutu grafiği ve beş sayılı özet, çeyrekliklerin bulunması, açıklık ile çeyrekler açıklığının karşılaştırılması, aykırı değerler ve yanıltıcı grafikler
Her veri bir nokta.
Hiçbir şeyi gizlemez; yığılmayı ve uç değerleri gösterir.
Veri çoğalınca okunmaz hâle gelir.
Verilerin belli aralıklardaki sıklığını sütunlarla gösteren
grafiktir.
Yatay eksen: aralıklar · dikey eksen:
frekans.
71 il, 2022, TÜİK:
[0,50) → 46 · [50,100) → 13 · [100,150) → 9 ·
[150,200) → 2 · [200,250) → 1
Dağılım sağa çarpık.
Aynı veri, farklı genişlik ⇒ farklı görünüm.
Çok geniş: ayrıntı kaybolur · çok dar: gürültü desen gibi görünür.
Her genişlikte görünen özellik gerçektir.
minimum · Ç1 (%25) · ortanca Ç2 (%50) · Ç3 (%75) ·
maksimum
Her dilim verilerin yaklaşık %25’ini içerir.
Sırala → ortancayı bul → ikiye ayır
Ç1 = alt yarının ortancası
Ç3 = üst yarının ortancası
maksimum − minimum
Yalnız iki uç veriye bakar; aykırı değerden çok
etkilenir.
Ç3 − Ç1, yani kutunun
genişliği.
Ortanca etrafında toplanmış %50’yi gösterir;
açıklığa göre daha güvenilirdir.
Dikey eksen sıfırdan başlamazsa küçük farklar dev görünür.
Sor: eksen · aralık · ortalama mı ortanca mı · veri sayısı · örneklem.