Bir sayı
dağılımı
anlatamaz.
Bir veri kümesi hakkında iki soru sorulur: merkezi nerede? ve ne kadar yayılmış? Birincinin cevabı ortalama, ortanca ve tepe değer; ikincinin cevabı açıklık, çeyrekler açıklığı, ortalama mutlak sapma ve standart sapma. Bu ünitede yedi ölçüyü de hesaplayacak, daha önemlisi hangisinin ne zaman yalan söylediğini göreceksin.
Atletlerin dereceleri “yaklaşık olarak belirleyebilmek için merkezî eğilim ölçülerinden aritmetik ortalama ve ortanca değerine bakılmalıdır” diyor. Bu üç ölçü aynı soruya — “veriler nerede toplanmış?” — üç ayrı cevap verir ve aynı veri kümesinde üçü birden farklı çıkabilir. Hangisinin doğru cevap olduğu, dağılımın biçimine bağlıdır.
Bütün verileri topla, veri sayısına böl.
ortalama = toplam ÷ n
Her veriyi hesaba katar — güçlü yanı bu.
Her veriden etkilenir — zayıf yanı da bu:
tek bir uç değer ortalamayı yerinden oynatır.
Örnek: 8, 9, 10, 11, 12 → toplam 50, ortalama
10. Son değeri 12 yerine 62 yaz: ortalama
20 olur ve hiçbir veriye benzemez.
Verileri sırala, tam ortadakini al.
· Veri sayısı tekse ortadaki değer,
· çiftse ortadaki iki değerin ortalaması.
Sıradaki yerine bakar, büyüklüğüne değil. Bu yüzden bir uç
değeri 62 yerine 620 yapsan bile ortanca kımıldamaz.
Atlet örneğinde bu ölçü seçilmiştir:
“ortancanın aykırı değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az
etkilendiği” söylenir.
En çok tekrar eden değer.
Bir veri kümesinde hiç tepe değer olmayabilir (hepsi bir
kez geçiyorsa) ya da birden çok olabilir.
Sayısal olmayan verilerde kullanılabilen tek merkezî eğilim
ölçüsüdür: “en çok satan beden”, “en sık görülen kan grubu” sorularının cevabı
ortalama değil tepe değerdir — bedenlerin ortalaması diye
bir şey yoktur.
Günlük konuşmada ikisine de “ortalama” denir; matematikte
bambaşka iki sayıdır.
Dağılımın biçimi ikisinin sırasını belirler:
· Simetrik dağılımda ortalama ≈ ortanca ≈ tepe değer.
· Sağa çarpık dağılımda (sağda uzun kuyruk)
ortalama > ortanca. Kuyruk ortalamayı kendine çeker.
· Sola çarpık dağılımda
ortalama < ortanca.
Atlet verisinde ortalama 10,299, ortanca
10,20: ortalama daha büyük, yani dağılım
sağa çarpıktır — yavaş koşan birkaç atlet sağda uzun bir
kuyruk oluşturmuştur.
Sınavda sorulan tam bu: “ortalama ortancadan büyükse
dağılım hangi yöne çarpıktır?”
Kural şöyle: “Dağılımdaki aykırı değerlerin belirlenmesi, aritmetik ortalama ve ortanca değerlerinin buna göre yorumlanması gerekmektedir. Çünkü aritmetik ortalama değeri, aykırı değerlerden etkilenmektedir.” Aşağıdaki kaydırak bu cümlenin canlı hâli: dokuz verilik küçük bir kümede yalnızca en büyük değeri hareket ettiriyorsun. Ortalamanın onunla birlikte kaydığını, ortancanın ise hiç kımıldamadığını göreceksin.
Aykırı değerler kutu grafiği üzerinde
yıldızla işaretlenmiş noktalar olarak gösteriyor ve
“teknoloji desteğiyle kutu grafiği üzerinden aykırı değerleri görmek mümkündür” diyor;
hangi kuralla işaretlendiğini yazmıyor. İstatistikte kullanılan yaygın ölçüt şudur:
alt sınır = Ç1 − 1,5 · (Ç3 − Ç1)
üst sınır = Ç3 + 1,5 · (Ç3 − Ç1)
Bu iki sınırın dışında kalan her veri aykırı sayılır.
Atlet verisinde Ç1 = 10,11 ve Ç3 = 10,31 olduğuna göre çeyrekler açıklığı 0,20’dir;
üst sınır 10,31 + 0,30 = 10,61 çıkar. Grafik 4’te
yıldızla işaretlediği 10,7 · 10,83 · 10,91 · 10,95 · 10,99 ·
11,09 · 11,31 · 11,58 değerlerinin hepsi bu sınırın üstündedir.
Bir veri aykırı çıktı diye silinmez. Atletlerdeki 11,58 saniye
gerçek bir yarışın gerçek sonucudur; o atlet gerçekten yavaş koşmuştur.
Aykırı değerin üç ayrı sebebi olabilir:
· Ölçüm ya da kayıt hatası — ancak bu ispatlanabiliyorsa ve
raporda belirtilerek çıkarılır.
· Gerçekten farklı bir birim — 100 metre koşusuna katılan ama
sakatlanan bir atlet.
· Araştırmanın asıl ilginç kısmı — aykırı değer bazen
sonucun kendisidir.
Yapılan da silmek değil: aykırı değerleri
ayrıca gösterip “bu durumda ortanca ile cevaplamak daha
doğru olacaktır” demek.
Tanım: kutu grafiği, bir dağılımın en küçük (minimum) değer, alt çeyrek değer (Ç1 veya %25’lik dilim), ortanca (Ç2 veya %50’lik dilim), üst çeyrek değer (Ç3 veya %75’lik dilim) ve en büyük (maksimum) değerden oluşan beş sayılı özetinin görselleştirilmesidir. Çeyreklikleri bulmak için veriler sıralanır ve sıralanan veriler her grupta yaklaşık aynı sayıda veri noktası olacak şekilde dört parçaya bölünür. Kutu grafiğinde üst uç değer ile alt uç değer arasındaki fark açıklığı verir; Ç3 ile Ç1 arası ise çeyrekler açıklığıdır.
açıklık = maksimum − minimum
Atlet örneğinde: birinci olan atletin derecesi
9,86 saniye, sonuncu olan atletin derecesi
11,58 saniye. Buradan
11,58 − 9,86 = 1,72 saniye. Yorum: bu değer
“atletlerin performans derecelerinin 1,72 saniyelik bir
aralıkta yer aldığını gösterir”.
Güçlü yanı: hesabı bir çıkarma işlemi.
Zayıf yanı: yalnızca
iki veriye bakar ve ikisi de dağılımın uçlarındadır —
“aykırı değerlerden etkilenmektedir”.
Aradaki 53 atletin nerede olduğu hakkında hiçbir şey söylemez.
ÇAÇ = Ç3 − Ç1
Tanım: “sıralanmış bir veri dizisinin ortanca
etrafında toplanmış %50’sini, diğer bir deyişle Ç3 ile Ç1 aralığını gösteren bir yayılım
ölçüsüdür”. Kutu grafiğinde kutunun genişliğidir.
Atlet verisinde Ç1 = 10,11 ve Ç3 =
10,31 olduğuna göre ÇAÇ =
0,20 saniye. Cevap buradan çıkıyor:
“atletlerin %50’sinin elde ettiği dereceler 10,11 saniye ile
10,32 saniye arasındadır”.
Açıklık 1,72; çeyrekler açıklığı 0,20.
Sekiz kattan fazla fark var ve ikisi de aynı veriden geliyor.
Fark, aykırı değerlerin açıklığı şişirmesinden ibarettir.
Kutu grafiğinin dört bölgesinin (min–Ç1, Ç1–ortanca, ortanca–Ç3, Ç3–maks)
her biri verilerin yaklaşık %25’ini içerir. Bölgelerin
uzunlukları farklıysa veri sayıları değişmiyor demektir —
yoğunlukları değişiyor.
Atlet verisinde sağ bıyık (Ç3 = 10,31’den maksimum 11,58’e) çok uzun, kutu ise çok dardır.
Okunuşu: en yavaş %25 birbirine hiç benzemiyor (10,31 ile
11,58 arasına yayılmışlar), ortadaki %50 ise neredeyse aynı
(0,20 saniyelik bir şeride sıkışmışlar). Yarışın gerçeği de budur: ilk sıralar santisaniyelerle
ayrılır, gerideki atletler ise dağılır.
Açıklık ve çeyrekler açıklığı sıraya bakar. Bu iki ölçü ise ortalamaya bakar. Kuralıyla: “Ortalama mutlak sapma ve standart sapma ölçüleri, verilerin yayılımına ilişkin bilgi verir ve verileri ortalama ile karşılaştırır. Ortalama mutlak sapma, bir dağılımdaki her bir verinin ortalamadan ne kadar saptığına odaklanır. Bu sapmaların mutlak değerlerinin ortalaması ortalama mutlak sapma değerini verir.”
1. Ortalamayı bul.
2. Her veri için veri −
ortalama farkını yaz.
3. Farkların
mutlak değerlerini al.
4. Bu mutlak değerlerin
ortalamasını al.
Mutlak değer neden alınıyor? Çünkü sapmaların kendisi
toplandığında her zaman 0 çıkar. Ortalamanın üstündeki
artılarla altındaki eksiler tam olarak birbirini götürür — ortalamanın tanımı bunu
zorunlu kılar. 8, 9, 10, 11, 12 kümesinde sapmalar
−2, −1, 0, +1, +2; toplamları 0. Mutlak değer alınırsa
2, 1, 0, 1, 2 olur ve ortalamaları
6 ÷ 5 = 1,2 — işte ortalama mutlak sapma.
1. Ortalamayı bul.
2. Her sapmanın
karesini al (kare de işareti yok eder).
3. Karelerin ortalamasını al —
bu sayıya varyans denir.
4. Varyansın
karekökünü al.
Aynı kümede kareler 4, 1, 0, 1, 4; toplam 10, varyans
10 ÷ 5 = 2, standart sapma
√2 ≈ 1,41.
Karekök adımı neden var? Kareler alındığında
birim de kareleniyor (saniye → saniye kare). Karekök,
sonucu verilerin kendi birimine geri döndürür; bu yüzden
standart sapma grafikte veriyle aynı eksende gösterilebilir.
Atlet verisinde ortalama mutlak sapma
±0,24 sn., standart sapmayı
±0,349 sn. olarak veriyor; memeli boylarında
±1,12 m ve ±1,55 m.
İki örnekte de standart sapma daha büyük. Bu bir tesadüf
değildir: kare alma işlemi büyük sapmaları daha ağır
tartar. 0,1’in karesi 0,01 (küçülür), 3’ün karesi 9 (büyür). Bu yüzden birkaç uzak
veri standart sapmayı ortalama mutlak sapmadan daha çok yukarı çeker.
İkisi ancak bütün sapmalar eşitse aynı çıkar.
Buradan çıkan sonuç: “Standart sapma aralığı,
ortalama mutlak sapma aralığına göre daha fazla değeri kapsar ve ortalama sapma
aralığından daha güvenilirdir.” Yani daha geniş bir aralık, verilerin daha büyük bir
kısmını içine alır.
5. örnek bir federasyonun gerçek işidir: Olimpiyat Oyunları’ndan sonraki en önemli organizasyon olarak görülen ve iki yılda bir düzenlenen Dünya Atletizm Şampiyonası’na 200’ün üzerinde ülke katılmaktadır. Bir ülkenin federasyonu, 2023 şampiyonasında erkekler 100 metre birinci tur elemelerinde yarışan 55 atletin derecelerini kaydetmiş ve beş soru sormuştur. Her sorunun cevabı başka bir araçtan gelir.
Bu grafiklerdeki veri hakkında dürüst olalım: ders kitabı 55 atletin derecelerini tek tek vermiyor; yalnızca beş sayılı özeti (9,86 · 10,11 · 10,20 · 10,31 · 11,58), aykırı değerleri ve özet ölçüleri veriyor. Yukarıdaki çizimler, bu değerleri birebir üreten örnek bir veri kümesi üzerine kuruludur. Bu kümenin ortalaması 10,29, ortalama mutlak sapması 0,23 ve standart sapması 0,35 çıkar — ders kitabının 10,299 · 0,24 · 0,349 değerlerine çok yakın, ama aynı değil. Metinde ders kitabının sayıları, çizimde örnek kümenin sayıları kullanılmıştır.
a) “En yüksek ile en düşük performans arasındaki fark kaç
saniyedir?” → açıklık. 11,58 − 9,86 = 1,72 sn.
b) “Dereceler nasıl bir eğilim göstermektedir?” →
merkezî eğilim ölçüleri. Ortalama 10,299; ortanca 10,20.
Aykırılar yüzünden ortanca ile cevaplanır:
“dereceler yaklaşık 10,2 saniyedir”.
c) “Merkeze yığılan dereceler hangi aralıkta?” →
kutu grafiği, Ç1 ile Ç3. Atletlerin %50’si 10,11 ile 10,32
saniye arasında.
ç) “0,2 saniyelik aralıklarda nasıl yoğunlaşıyor?” →
histogram. 23 atlet 10–10,2; 4 atlet 10,4–10,6 arasında.
d) “Ortalamaya göre nasıl yayılıyor?” →
ortalama mutlak sapma ve standart sapma.
10,299 ± 0,24 → 10,059–10,539 · 10,299 ± 0,349 → 9,95–10,648.
Son soru bir genelleme sorusudur: bu bulgulardan
hareketle Olimpiyat Oyunları 100 metre atletizm müsabakalarına katılan erkek atletlerin
dereceleri hakkında ne söylenebilir?
Cevap: histogram incelendiğinde
atletlerin çoğunluğunun 10–10,4 saniye aralığında yoğunlaştığı
görülmektedir; bu bulgudan hareketle Olimpiyat Oyunları’na katılan erkek atletlerin koşu
derecelerinin de benzer bir dağılım göstermesi beklenir.
Dikkat: bu bir beklentidir, kanıt değil. Bir veri
kümesinden başka bir gruba geçerken hep aynı soru sorulur:
iki grup birbirine benziyor mu? Dünya Şampiyonası ile
Olimpiyat elemeleri benzer düzeyde atletleri topladığı için bu genelleme makuldür; aynı
çıkarımı bir lise atletizm turnuvası için yapamazsın.
Sorular karışık sırayla geliyor. Kimi zaman bir ölçü hesaplayacaksın, kimi zaman “bu soruyu hangi ölçü cevaplar?” diye seçeceksin.
Bu ünitenin en kullanışlı tarafı sınav dışında: günde onlarca kez “ortalama” diye bir sayı duyuyorsun. Aşağıdaki dokuz sahne, o sayıya ne soracağını anlatıyor.
Matematik yazılısından sonra öğretmen “sınıf ortalaması 62” dedi. Sen 58 aldın; kendini
ortalamanın altında sanıp üzülüyorsun.
Ama sınıfta üç kişi 100, geri kalan çoğunluk 50-60 almış olabilir.
Ortanca 56 çıkabilir ve o zaman sen
sınıfın üst yarısındasın.
Sorulacak soru: “Ortanca kaç?” Öğretmenler genelde bunu da
bilir; sormak, aritmetik ortalamayı sorgulamak demek değil,
dağılımı sormak demektir.
Okul takımının basketbolcusu için “maç başına 12 sayı ortalaması var” deniyor.
Maç maç bakınca: 4, 6, 8, 9, 10, 11, 42.
Ortalama 12,86 · ortanca 9. 42 sayılık tek bir maç
ortalamayı yukarı çekmiş; oyuncunun
tipik performansı 9 civarında.
Antrenör “bugün kaç sayı bekleyeyim?” diye soruyorsa cevap
ortancadır; “sezon boyunca toplam kaç sayı attı?”
diye soruyorsa cevap ortalamadan gelir (ortalama × maç sayısı).
Telefonun haftalık raporu “günlük ortalama 3 sa. 20 dk.”
diyor. Hafta içi 2 saat, cumartesi 8 saat kullanıyorsan bu ortalama
hiçbir gününü anlatmaz.
Buradaki asıl bilgi yayılımdadır: günlerin standart sapması
büyükse hafta “dengesiz” geçmiştir.
Kendine kural koyacaksan ortalamaya değil
en yüksek güne (maksimum) ve
açıklığa bak — düşürülmesi gereken o gündür.
Okul kulübünde etkinlik bütçesi konuşuluyor: “kişi başı ortalama 40 lira topladık” deniyor.
On kişiden biri 300 lira, dokuzu 11’er lira vermişse ortalama gerçekten 40 çıkar ama
ortanca 11’dir.
Bu, ünitedeki tam kalıptır: sağa çarpık dağılımda ortalama,
ortancadan büyüktür ve tipik kişiyi anlatmaz.
Adil bir tartışma için sorulacak soru: “yarımız ne kadar
verdi?” Bu, ortancayı sormaktır.
Altı denemede matematik netlerin: 18, 20, 19, 21, 20, 22.
Ortalama 20, standart sapma yaklaşık
1,3.
Arkadaşının netleri: 12, 28, 14, 26, 13, 27. Onun da ortalaması
20, ama standart sapması yaklaşık
6,9.
Aynı ortalama, bambaşka iki öğrenci. Sen kararlısın; o
dalgalı. Gerçek sınavda hangi sonucun çıkacağı senin için daha öngörülebilir.
Standart sapma tam olarak bu kararlılığı ölçer.
Okul servisinin ya da belediye otobüsünün “ortalama 10 dakikada bir” gelmesi, senin ortalama
10 dakika bekleyeceğin anlamına gelmez.
Bekleme süreleri 2, 3, 4, 5, 26 dakika şeklindeyse
ortanca 4, ortalama 8,
açıklık 24’tür. Seni geç bırakan şey ortalama değil,
o 26 dakikalık kuyruktur.
Bu yüzden ulaşım planlaması yapanlar ortalamaya değil
üst çeyreğe bakar: “yolcuların %75’i en fazla kaç dakika
bekliyor?”
Bir çalma listesinin toplam süresi 42 dakika, 12 şarkı var:
şarkı başına ortalama 3,5 dakika.
Ama listede 9 dakikalık bir parça varsa geri kalan 11 şarkının ortalaması
3 dakikaya düşer.
Bu, ortalamanın toplam için doğru, tipik
şarkı için yanıltıcı olduğunun en sade örneğidir. Toplamı merak ediyorsan ortalama tam
da aradığın şey; “bir sonraki şarkı kaç dakika sürer?” diye soruyorsan ortanca daha iyi
cevap verir.
6. örnekteki veri okul projesine birebir uyar:
Dünya Bankası’na göre dünya genelinde evsel katı atık miktarı
yıllık yaklaşık 2 milyar ton, kişi başına günlük yaklaşık 0,75 kilogramdır.
Ülkelerin gelişmişlik seviyesine göre bu değer
0,1 kg ile 4,5 kg arasında değişiyor — yani
açıklık 4,4 kg, ortalamanın kendisinden çok daha büyük.
Okulunda bir hafta boyunca sınıfların çöp ağırlığını tartsan, raporunda tek bir ortalama
yazmak yerine kutu grafiği çizmelisin: hangi sınıfın aykırı
olduğu ancak orada görünür.
Turizm tablosunda 2023 yılının aylık ortalaması yaklaşık
4,53 milyar dolar, ortancası
3,85 milyar dolar. Ağustos ayı ise
7,62 milyar.
Bu fark rastgele değil, mevsimseldir. Yazın gelir katlanır,
kışın düşer. Böyle verilerde tek bir yıllık ortalama yazmak
mevsimi görünmez kılar.
Türkiye Yüzyılı projeleri kapsamındaki “Doğa Turizmi” programı
da tam bunu hedefliyor: millî park ve tabiat parklarındaki düzenlemelerle turizmi
yıla yaymak — yani ortalamayı değil,
yayılımı değiştirmek.
48 soruluk test · merkezî eğilim ölçüleri ve aralarındaki fark, aykırı değerlerin ortalama ile ortancaya etkisi, açıklık ve çeyrekler açıklığı, ortalama mutlak sapma ile standart sapmanın hesabı ve karşılaştırılması, atlet dereceleri ve katı atık verileri
Ortalama: toplam ÷ n. Her veriyi kullanır, aykırıdan etkilenir.
Ortanca: sıralı dizinin ortası. Aykırıdan etkilenmez.
Tepe değer: en çok tekrar eden. Sayısal olmayan veride de kullanılır.
Açıklık = maksimum − minimum. Aykırı değerlerden etkilenir.
Çeyrekler açıklığı = Ç3 − Ç1. Ortanca etrafındaki
%50; açıklığa göre daha güvenilir bilgi sunar.
Ortalama mutlak sapma: sapmaların mutlak değerlerinin ortalaması.
Standart sapma: karelerin ortalamasının karekökü; tüm veriyi
dikkate alan daha hassas ölçüdür ve daha geniş bir aralık verir.
Min 9,86 · Ç1 10,11 ·
ortanca 10,20 · Ç3 10,31 ·
maks 11,58
Açıklık 1,72 · ortalama
10,299 · OMS ±0,24 ·
SS ±0,349
Kutu grafiğinde ayrıca işaretlenir. Ölçüt:
Ç1 − 1,5·ÇAÇ ile Ç3 + 1,5·ÇAÇ
dışı.
Atlet verisinde aykırılar çıkarılınca ortalama
10,299 → 10,173, ortanca yalnızca
10,20 → 10,17 değişir.
Üç yıl birlikte: ortalama 1,123 · ortanca
1,07 kg/gün.
2018: 1,158 / 1,09 · 2020: 1,144 / 1,09 · 2022:
1,069 / 0,96. Dünyada kişi başı
0,1-4,5 kg arası.