İki sarkaç,
iki ayrı periyot
Yay sarkacının periyodunu kütle ve yay sabiti belirler; çekim ivmesi hiç karışmaz. Basit sarkaçta ise tam tersi olur: periyodu uzunluk ve çekim ivmesi belirler, kütlenin hiçbir etkisi yoktur.
Denge noktasında duran m kütleli cisim M noktasına kadar sıkıştırıldığında, sıkışan yay cisme denge noktası yönünde bir F kuvveti uygular. Bu kuvvet geri çağırıcı kuvvet diye isimlendirilir.
Geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü F = m · ω² · x bağıntısı ile ifade edilir. Bir yay x kadar sıkıştırıldığında Hooke yasasına göre yayda oluşan kuvvet F = k · x ile bulunur. Denge konumundan x kadar mesafede bu iki kuvvet birbirine eşittir.
m · ω² · x = k · x → m · ω² = k
ω² = k / m → ω = √(k / m)
Burada ω açısal frekanstır ve ω = 2π / T bağıntısı ile ifade edilir.
2π / T = √(k / m)
T = 2 · π · √(m / k)
Bulunan formüle göre, yay sarkacının periyodu cismin kütlesinin karekökü ile doğru, yay sabitinin karekökü ile ters orantılıdır.
Yay sarkacının bulunduğu ortamdaki çekim ivmesindeki değişiklikler, yay sarkacının salınım periyodunu etkilemez. Aynı yay sarkacı Ay’a götürülse periyodu değişmez — çünkü T = 2π√(m/k) bağıntısında g hiç geçmez. Düşey asılı bir yayda g yalnızca denge noktasının yerini değiştirir, salınımın süresini değil.
Düşey ve yatay düzlemde yay sarkaçlarının hepsi aynı kurallara uyar: cisim O denge konumundan bir miktar çekilip bırakıldığında K ve L noktaları arasında gidip gelir.
Yay sarkacının genliği değişse de bu, periyodunu etkilemez. Ancak genlikteki değişiklik yayda depolanan potansiyel enerjiyi değiştirdiği için, cismin maksimum hızını ve ivmesini etkiler. Yani genliği iki katına çıkarmak salınımın süresini değiştirmez, sadece cismi daha hızlı ve daha büyük ivmeli hâle getirir.
Yayların seri veya paralel bağlanması, özellikle mühendislik ve fizikte sıkça kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntemlerin kullanılmasının temel nedeni, sistem dinamiklerini istenilen şekilde ayarlamaktır. Seri ve paralel bağlama şekilleri, yay sabitini ve dolayısıyla sistemin salınım periyodunu değiştirerek farklı uygulama ihtiyaçlarına uyum sağlar.
Yaylar birbirine uç uca bağlandığında bu, seri bağlama olarak adlandırılır. Seri bağlı yaylarda her bir yaya etkiyen kuvvet eşittir. Bu nedenle her bir yay, yay sabitiyle ters orantılı olarak farklı miktarlarda uzar. Yay sabiti ne kadar büyükse, o yayın birim kuvvete karşı gösterdiği uzama o kadar az olur.
Hooke yasası: x = F / k
x₁ = F/k₁ · x₂ = F/k₂ · x₁ + x₂ = F/k(eş)
1/k(eş) = 1/k₁ + 1/k₂ + … + 1/k(n)
T = 2 · π · √(m / k(eş))
Yayların paralel bağlanması, yayların yan yana konumlandırılarak tek bir kuvvet altında aynı uzama miktarına sahip olacak şekilde düzenlendiği bir sistemdir. Bu durumda sistemdeki her bir yay aynı uzunlukta uzar. Yay sistemine uygulanan kuvvet, aşağı yönlü kuvvetlerin toplamı yukarı yönlü kuvvetlerin toplamına eşittir.
F = F₁ + F₂ + F₃
k(eş)·x = k₁·x + k₂·x + k₃·x
k(eş) = k₁ + k₂ + k₃ + … + k(n)
T = 2 · π · √(m / k(eş))
Yay sabitleri eşit (k₁ = k₂ = k) iki yay için: seri bağlamada k(eş) = k/2, paralel bağlamada k(eş) = 2k olur. Periyot T = 2π√(m/k(eş)) bağıntısıyla hesaplandığından seri bağlamada periyot √2 katına çıkar, paralel bağlamada √2 katına iner. Bu iki sonuç, eş değer yay sabiti ile periyot bağıntısının birleştirilmesiyle çıkar.
Eğer bir cisim, m kütleli ve düşey eksene göre θ açısı kadar ayrılıp serbest bırakılırsa, cisim düşey eksen etrafında salınım hareketi yapar. Bu durumda O noktası salınım hareketinin denge noktasıdır. Bu sistemin basit harmonik hareket özelliği gösterebilmesi için sarkacın düşey eksenle yaptığı açı θ’nın 5°den küçük olması gerekir (θ < 5°).
m kütleli cismin K noktasındaki hızı sıfırdır. Cisim serbest bırakılınca hızlanarak O noktasına gelir. Cismi KO yolu boyunca hızlandıran, cismin ağırlığının bu doğrultudaki bileşeni m · g · sinθ dır. Bu kuvvet aynı zamanda geri çağırıcı kuvvettir ve θ açısına bağlı olarak değişir. Cisim O noktasına geldiğinde maksimum hıza ulaşır ve O noktasında geri çağırıcı kuvvet sıfırdır. OL yolu boyunca geri çağırıcı kuvvet hıza ters yönlü artarak cismi yavaşlatır ve L noktasında hızı sıfır olur.
m · ω² · x = m · g · sinθ → ω² · x = g · sinθ
sinθ = x / L → ω² · x = g · x / L
ω = √(g / L) · ω = 2π / T
T = 2 · π · √(L / g)
Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvet m · ω² · x şeklindeydi; basit sarkaçta bu kuvveti ağırlığın hareket doğrultusundaki bileşeni sağlar.
K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan basit bir sarkaca bağlı cismin hızı, denge konumuna doğru artar. Cismin hızı, K ve L noktalarında anlık olarak sıfırdır.
Sarkacın periyodu, θ < 5° şartıyla genliğe bağlı değildir. Bu durum, açının küçük olması hâlinde sinüs fonksiyonunun açının kendisine yaklaşık olarak eşit olduğunu (sinθ ≈ θ) ve bu yüzden periyodun açıdan bağımsız olduğunu gösterir.
Sarkacın periyodu, cismin kütlesine bağlı değildir. Periyot sadece sarkacın uzunluğu ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.
Sınavda en sık karışan nokta şu: yay sarkacında kütle vardır, g yoktur; basit sarkaçta g vardır, kütle yoktur. Aynı deneyi Ay’da yaparsan yay sarkacının periyodu hiç değişmez, basit sarkacınki ise uzar (g küçüldüğü için).
Yay ve sarkaç, günlük hayatta en çok karşılaştığın iki salınım sistemidir — çoğu zaman fark etmeden.
Salıncak bir basit sarkaçtır. Arkadaşınla ikiniz aynı salıncakta aynı sürede gidip gelirsiniz — çünkü periyot kütleye bağlı değildir. Zinciri kısaltmak ise periyodu kısaltır.
Metronomdaki ağırlığı yukarı kaydırınca vuruşlar yavaşlar: sarkacın etkin uzunluğu artmıştır ve T = 2π√(L/g) gereği periyot uzamıştır.
Bisikletin ya da arabanın süspansiyonu bir yay sarkacıdır. Daha sert yay (büyük k) daha kısa periyot demektir; araç zıplamayı çabuk keser.
Yaylı el kantarında kütle arttıkça uzama artar: x = F/k. Kantarın yayı sertse (k büyük) aynı ağırlık için daha az uzar.
İki spirali uç uca eklersen seri bağlamış olursun ve sistem yumuşar; yan yana koyarsan paralel bağlamış olursun ve sertleşir.
Emniyet sistemlerinde birden çok yay paralel kullanılır: k(eş) toplanır, sistem çok daha büyük kuvvete dayanır.
Saat geri kalıyorsa sarkaç çubuğu kısaltılır: L azalınca T küçülür, saat hızlanır. Sarkacın topuzunu ağırlaştırmak hiçbir işe yaramaz.
Mekanik klavyede tuşun “sert” ya da “yumuşak” olması altındaki yayın k değeriyle ilgilidir. Bırakınca tuşu geri getiren şey geri çağırıcı kuvvettir.
Ay’da bir sarkaçlı saat yavaş çalışır (g küçük olduğu için T uzar); ama yaylı bir kronometre Dünya’dakiyle aynı ölçer.
49 soruluk test · yay sarkacı ve basit sarkacın periyot bağıntıları, seri-paralel yay bağlama ve iki sarkacın karşılaştırılması
T = 2 · π · √(m / k)
Kütlenin karekökü ile doğru, yay sabitinin karekökü ile ters orantılıdır.
m·ω²·x = k·x → ω = √(k/m)
Geri çağırıcı kuvvet ile Hooke kuvveti eşitlenir, sonra ω = 2π/T yazılır.
Denge noktasına yaklaştıkça hız artar, ivme ve geri çağırıcı kuvvet azalır. Uçlarda hız sıfır, ivme ve kuvvet maksimumdur. Çekim ivmesi periyodu etkilemez.
Periyodu etkilemez; ancak yayda depolanan potansiyel enerjiyi değiştirdiği için maksimum hızı ve ivmeyi etkiler.
1/k(eş) = 1/k₁ + 1/k₂ + … + 1/k(n)
Her yaya etkiyen kuvvet eşittir, uzamalar farklıdır.
k(eş) = k₁ + k₂ + … + k(n)
Her yay aynı uzunlukta uzar, kuvvetler toplanır.
T = 2 · π · √(L / g)
Geri çağırıcı kuvvet m · g · sinθ dır. BHH şartı: θ < 5°.
Hız denge konumuna doğru artar, K ve L noktalarında sıfırdır. Periyot genliğe ve kütleye bağlı değildir; yalnız uzunluk ve çekim ivmesine bağlıdır.