Yörünge çember değil,
elips
Copernicus gezegenlerin Güneş etrafında dairesel ve sabit hızda döndüğünü öne sürmüştü. Kepler, Tycho Brahe’nin topladığı gözlem verileriyle bu teorinin eksikliklerini giderdi: yörüngeler eliptiktir ve gezegenin sürati Güneş’e olan uzaklığına göre sürekli değişir.
Tarih boyunca insanlık gezegenlerin, yıldızların ve diğer gökyüzü cisimlerinin hareketlerine büyük bir ilgi göstermiştir. Bu gözlemler, Antik Yunan’dan başlayarak farklı kültürler ve medeniyetler arasında yaygın bir merak konusu olmuştur. İnsanlar, Dünya’yı evrenin merkezi olarak kabul eden Yer merkezli bir modeli benimsemişlerdi.
Yer merkezli model genellikle Batlamyus Modeli olarak bilinir ve Batlamyus tarafından ikinci yüzyılda sistematik bir şekilde biçimlendirilmiştir. Bu model, takip eden 1400 yıl boyunca astronomik anlayışın temelini oluşturmuştur.
İsim babası olduğu Zîc-i Uluğ Bey, gökbilim tarihinde çok önemli bir yere sahiptir. Bu eser, binden fazla yıldızın konumlarını ve parlaklıklarını içerir ve dönemin en doğru astronomi tablolarından biri olarak kabul edilir. Semerkant’ta kurduğu medrese ve gözlemevi dönemin en önemli bilim merkezlerinden biri hâline geldi; Ali Kuşçu gibi zamanının değerli bilim insanlarıyla birlikte çalıştı. Ay’da onun adını taşıyan bir krater vardır.
Uluğ Bey’in Semerkant’taki çalışma arkadaşıdır; Uluğ Bey’in vefatından sonra Osmanlı Devleti’nin daveti üzerine İstanbul’a gelmiştir. Fatih Sultan Mehmet döneminde Ayasofya Medresesi’nde müderris olarak görev yapmıştır. İstanbul’un enlem ve boylamını ölçmüş, güneş saatleri yapmıştır. Fethiyye isimli eseri Fatih Sultan Mehmet’e ithaf edilmiştir. Ay’ın haritasını gerçeğe yakın çizen ilk astronomlardan biridir ve 1474 yılında İstanbul’da hayatını kaybetmiştir.
Kendi yaptığı teleskopla Ay’ın yüzeyindeki kraterleri, Güneş’teki lekeleri ve Jüpiter’in dört büyük uydusunu keşfetmiştir. Bu bulgular, Batlamyus’un Yer merkezli evren modeline karşıt olarak Güneş merkezli evren modelini destekler nitelikteydi. Mekanik alanında da sarkaçların hareketini ve cisimlerin düşme hızlarını incelemiştir.
Kepler, Nicolaus Copernicus’un Güneş merkezli evren teorisini genişletti ve gözlemlere dayanan daha doğru bir model ortaya koydu. Copernicus, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketlerinin dairesel olduğunu ve sabit hızda gerçekleştiğini öne sürmüştü. Ancak Kepler, Tycho Brahe’nin dikkatlice topladığı gözlem verilerini kullanarak bu teorinin eksikliklerini giderdi. Kepler’in buluşlarının temelinde, gezegenlerin Güneş etrafında eliptik yörüngelerde hareket ettiği ve Güneş’e yakınlıklarına göre hızlarının değiştiği yatmaktadır.
Gezegenler Güneş’in etrafında eliptik yörüngelerde dönerler. Bu yörüngelerin şekli elipstir ve elipsin iki odak noktasından birinde Güneş vardır. Bu durum, gezegenlerin Güneş’e yakın olduklarında kütle çekim kuvvetinin daha fazla olması sebebiyle hızlandıkları anlamına gelir. Buna karşılık, Güneş’ten uzaklaştıkça kütle çekim kuvveti zayıflar, hızları azalır.
Gezegen Güneş etrafında dolanırken sürat büyüklüğü ve kütle çekim kuvveti farklı değerler alır. Hız vektörü ile kuvvet vektörü arasındaki açı 90°den küçük olduğu zaman gezegen hızlanır, açı 90°den büyükse gezegen yavaşlar.
Açısal momentum, bir cismin dönme hareketinin büyüklüğünü ve yönünü tanımlayan vektörel bir niceliktir. Eğer üzerine net bir tork etkisi uygulanmazsa, açısal momentumun büyüklüğü ve yönü sabit kalır. Güneş’in gezegene uyguladığı kütle çekim kuvveti, gezegenin üzerinde tork etkisi oluşturmaz çünkü bu kuvvet gezegenin kütlesinin merkezine doğru yönelir. Bu nedenle gezegenin açısal momentumu korunur.
Bir gezegen, Güneş etrafında dolanırken eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Bu olay, Kepler’in alanlar yasası olarak tanımlanır. Bu yasaya göre K noktasından L noktasına t sürede gelen gezegenin yarıçap vektörü S₁ alanını tarar. Aynı süre içinde M noktasından N noktasına gelen gezegenin yarıçap vektörü de S₂ alanını tarar. Taranan bu alanlar birbirine eşittir.
Açısal momentum, dönen veya yörüngede hareket eden bir cismin dönme miktarını ifade eden fiziksel bir niceliktir. Açısal momentum L, cismin kütlesi m, yörünge yarıçapı r ve açısal hızı ω ile ifade edilir. Eğer üzerine dışarıdan bir tork uygulanmazsa, bir sistemin açısal momentumu zamanla değişmez.
L = m · r² · ω (sabit)
Gezegenin kütlesi (m) sabittir. Ancak gezegenin Güneş çevresindeki eliptik yörüngesi nedeniyle yörünge yarıçapı r, yani gezegenin Güneş’ten olan uzaklığı değişir. Güneş’e yaklaştıkça r değeri azalır. Açısal momentumun korunumu prensibi gereği, r azaldıkça açısal hız ω artar. Bu durum, gezegenin Güneş’e en yakın olduğu noktada en hızlı hareket ettiği anlamına gelir.
Alanlar kanunu, gezegenin eşit sürede eşit uzunlukta yay aldığını söylemez; eşit alan taradığını söyler. Güneş’e yakınken yarıçap kısadır, aynı alanı süpürebilmek için gezegen daha uzun bir yay kat etmek zorundadır — bu yüzden orada hızlıdır. Uzaktayken yarıçap uzundur, kısa bir yay bile aynı alanı verir. Bu sonuç, eşit alan kuralının doğrudan bir çıkarımıdır.
Periyotlar Kanunu, bir gezegenin Güneş etrafındaki dönme süresi ile Güneş’e olan ortalama uzaklığı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Ortalama yarıçap (R), gezegenin Güneş’e en yakın ve en uzak olduğu mesafenin ortalamasıdır. Kanun, herhangi bir gezegenin yörünge periyodunun karesinin, o gezegenin eliptik yörüngesinin ortalama yarıçapının küpüyle doğru orantılı olduğunu belirtir.
R = (Rmin + Rmax) / 2
T² / R³ = Sabit
Rmin gezegenin Güneş’e en yakın, Rmax ise en uzak olduğu mesafedir. Yörüngesi daha büyük olan gezegenin periyodu da daha uzundur.
Kütle çekim ünitesinde çembersel yörünge için T²/R³ = 4·π²/(G·M) bağıntısını türetmiştik. Kepler’in üçüncü kanunu, aynı sonucun eliptik yörüngeler için de geçerli olduğunu söyler; tek fark, R yerine ortalama yarıçapın kullanılmasıdır. Sabitin değeri yalnız merkezdeki cismin kütlesine bağlıdır, bu yüzden aynı yıldızın çevresindeki bütün gezegenler için aynıdır.
Kepler kanunları yalnız gezegenler için değil, merkezdeki bir cismin çekim etkisiyle dolanan her şey için geçerlidir: uydular, uzay istasyonu, hatta kuyruklu yıldızlar.
Gökyüzü uygulaması bir gezegeni tam yerinde gösterebiliyorsa bunun sebebi T²/R³ oranının sabit olmasıdır: yarıçap biliniyorsa periyot, periyot biliniyorsa yarıçap hesaplanabilir.
Uzay istasyonunun gökyüzünden hep aynı sürede geçmesi, yörünge yarıçapının değişmemesindendir. Yarıçap büyürse periyot da uzar — geçişi daha seyrek görürsün.
“76 yılda bir geliyor” denen kuyruklu yıldızın yörüngesi çok basık bir elipstir. Güneş’e yaklaştığında birkaç ayda ortadan kaybolacak kadar hızlanır, uzaktayken onlarca yıl çok yavaş ilerler.
Yörünge çizimi verilip “gezegen hangi noktada hızlanıyor” diye sorulduğunda tek bakman gereken şey hız ile kuvvet arasındaki açının 90°den küçük mü büyük mü olduğudur.
Kollarını içeri çekince hızlanması ile gezegenin Güneş’e yaklaşınca hızlanması aynı sebeptendir: dışarıdan tork yoksa açısal momentum korunur, yarıçap küçülünce açısal hız büyür.
Uzay oyunlarında gemiyi hızlandırınca yörüngenin bir tarafının uzaması rastgele değil: yörünge eliptiktir ve gezegen elipsin odaklarından birindedir.
Dünya’nın yörüngesi de elipstir, ama basıklığı çok küçüktür; çembere çok yakındır. Mevsimlerin sebebi bu uzaklık farkı değil, eksen eğikliğidir — Kepler’in kanunları mevsimleri açıklamaz.
Uluğ Bey ve Ali Kuşçu, Kepler’den yaklaşık iki yüzyıl önce gökyüzünü ölçüyordu. Kepler’in kanunlarını çıkarabilmesi de aynı şeye dayandı: iyi toplanmış gözlem verisi (Tycho Brahe).
Bir şarkının tekrar başa dönmesi gibi, gezegenin aynı noktadan aynı yönde geçmesine kadar geçen süre de periyottur. Fark şu: gezegenin süratinin döngü boyunca sabit olması gerekmez.
48 soruluk test · Kepler’in üç kanunu, eliptik yörüngede hız değişimi, açısal momentumun korunumu ve T²/R³ bağıntısı
Gezegenler Güneş etrafında eliptik yörüngelerde döner ve Güneş, elipsin iki odağından birindedir.
S₁ = S₂
Gezegen eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar.
R = (Rmin + Rmax)/2
T²/R³ = Sabit
Periyodun karesi, ortalama yarıçapın küpüyle doğru orantılıdır.
Hız ile kuvvet arasındaki açı 90°den küçükse gezegen hızlanır, 90°den büyükse yavaşlar.
L = m · r² · ω
Çekim kuvveti kütle merkezine yöneldiği için tork oluşturmaz; L sabit kalır. r azalınca ω artar.
Güneş’e en yakın olduğu noktada. Orada çekim kuvveti en büyük, yarıçap en küçük, açısal hız en büyüktür.
Copernicus’un Güneş merkezli modeli + Tycho Brahe’nin gözlem verileri. Copernicus yörüngeleri dairesel ve sabit hızlı sanıyordu.
Batlamyus (Yer merkezli model, 1400 yıl), Uluğ Bey (Zîc-i Uluğ Bey, Semerkant gözlemevi), Ali Kuşçu (Fethiyye, İstanbul’un enlem-boylamı), Galileo (teleskop, Jüpiter’in dört uydusu).