Kollarını kapat,
hızlan
Buz patencisinin kollarını gövdesine çekince hızlanması bir numara değil, bir korunum yasasıdır. Dışarıdan net tork yoksa L = I · ω sabit kalır; eylemsizlik momenti küçülünce açısal hız büyümek zorundadır. Bu ünitede aynı yasayı dalgıçta, Dünya’nın yörüngesinde ve dönen sandalyede göreceğiz.
Açısal momentum, dönen cisimlerin temel bir fiziksel özelliğidir ve hem makro hem de mikro ölçekte önemli uygulamalara sahiptir. Makroskopik olarak CD’ler, bisiklet tekerlekleri, topaçlar, buz pateni yapan sporcular ve yörüngede dönen gezegenler gibi sistemlerde gözlemlenebilir. Bu sistemlerde açısal momentum, nesnelerin dönme hızını ve stabilitesini belirler.
Bir cismin çizgisel momentumu, kütlesi ile hızının vektörel çarpımı olarak tanımlanır: P = m · v. Çizgisel momentum vektörel bir büyüklüktür ve yönü hız vektörüyle aynıdır. Çizgisel momentum cismin şekline bağlı değildir.
Açısal momentum, bir nokta etrafında dönen cisimler için kullanılan bir momentum türüdür. L sembolü ile gösterilir ve vektörel bir büyüklüktür.
L = r × P
Burada r konum vektörüdür ve çizgisel momentum P ile vektörel çarpım yapılır. Büyüklük olarak:
L = P · r bağıntısında P = m · v yazılırsa
L = m · v · r
Aynı büyüklüğün I ve ω cinsinden yazılışı: v = ω·r konulursa L = m·ω·r·r = m·ω·r², buradaki m·r² parçacığın eylemsizlik momentidir:
L = I · ω
Bağıntıya göre açısal momentum ve açısal hızın yönleri aynıdır. Açısal momentumun SI’da birimi kg·m²/s = N·m·s = J·s dir.
Açısal momentumun yönü P ve r vektörlerinin bulunduğu düzleme dik olur. Bu yön, sağ el kuralı kullanılarak belirlenir. Dönme veya dairesel hareket yapan bir cismin açısal momentumunun yönünü belirlemek için sağ el kuralı uygulanır: sağ el açılır ve dört parmak cismin dönme yönünde kıvrılır, başparmak dört parmağa dik olacak şekilde açılır. Başparmağın yönü açısal momentumun yönünü gösterecektir.
L = I · ω bağıntısında I skaler ve pozitif bir büyüklüktür. Bir vektörü pozitif bir sayıyla çarpmak yönünü değiştirmez; bu yüzden açısal momentum ve açısal hızın yönleri aynıdır. 25. ünitede açısal hız için öğrenilen sağ el kuralı burada olduğu gibi geçerlidir.
Açısal momentum vektörü dönme yönünü göstermez; dönme düzlemine diktir. Yatay bir disk saat yönünün tersine dönüyorsa L yukarı, saat yönünde dönüyorsa L aşağı bakar. Çizgisel momentumda P ile v aynı yöndeydi; burada L ile v aynı yönde değildir — L, r ve P nin düzlemine diktir.
Tork, kuvvetin dönme etkisi yaratan bir ölçüsüdür. Temel olarak, bir kuvvetin bir eksen etrafında bir cismi nasıl döndürebileceğinin bir göstergesidir. Vektörel bir büyüklük olan tork τ (tau) ile gösterilir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur. SI’da birimi N·m dir.
τ = d × F · τ = F · r · sinθ
F uygulanan kuvvetin büyüklüğü, θ açı, d ise kuvvetin dönme noktasına olan dik uzaklığıdır. 12. ünitede olduğu gibi burada da belirleyici olan, kuvvetin doğrultusunun dönme noktasına olan dik uzaklığıdır: kuvvetin doğrultusu dönme noktasından geçiyorsa (sinθ = 0) tork sıfır olur.
m kütleli cisme çembersel yörüngede teğetsel bir kuvvet F(t) etki ederse, bu kuvvet etkisiyle cisim ivme kazanır. Kazanılan bu ivmeye teğetsel ivme (a(t)) denir. Açısal ivme (α) ise birim zamanda açısal hızdaki değişimdir. Merkezcil kuvvet cisme merkez yönünde ivme kazandırırken, teğetsel kuvvet çizgisel hız yönünde ivme kazandırır.
Δv = Δω · r — iki taraf Δt ye bölünürse
a(t) = α · r
Teğetsel kuvvet çemberin merkezindeki O noktasına göre tork etkisi oluşturur. Adım adım:
τ = F(t) · r · F(t) = m · a(t)
τ = m · a(t) · r · a(t) = α · r
τ = m · α · r² · m · r² = I
τ = I · α
Bir cisim bir eksen etrafında dönüyorsa ve üzerine hiçbir net dış tork uygulanmıyorsa, cismin açısal momentumu sabit kalır. Buna açısal momentumun korunumu denir. Eğer bir sisteme net bir dış tork uygulanırsa, bu torkun büyüklüğü sistemin açısal momentumundaki zamanla değişimin oranına eşit olacaktır.
τ = ΔL / Δt = (L(son) − L(ilk)) / Δt
Sisteme etki eden net tork sıfır ise açısal momentum değişimi sıfır olur:
ΔL = 0 → 0 = L(son) − L(ilk)
L(son) = L(ilk) → I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂
Sporcu kollarını açık tuttuğunda, eylemsizlik momenti büyük olduğu için açısal hızı daha düşüktür. Ancak kollarını kapattığında eylemsizlik momenti azalır ve açısal hızı artar; bu da sporcunun dönüşlerini daha hızlı yapmasını sağlar.
L₁ = L₂ · I₁·ω₁ = I₂·ω₂ · I₁ > I₂ ⇒ ω₂ > ω₁
Yüzücüler havada takla atarken açısal momentumları korunur. Dizlerini vücutlarına çekerler çünkü bu hareket eylemsizlik momentlerini azaltır. Açısal momentum korunduğu için, eylemsizlik momenti azaldığında dönüş hızı (açısal hız) artar — böylece daha fazla takla atabilir ve daha estetik bir dalış gerçekleştirebilirler.
Dünya Güneş’e daha yaklaştığında r değeri azalır, bu da I değerinin azalmasına neden olur; L sabit kaldığından açısal hız artar. Sonuç olarak Dünya Güneş’e daha yaklaştığında yörüngesel hızı artar, uzaklaştığında azalır. Aynı deney döner sandalyede elde ağırlıklarla de yapılabilir: kollar açılınca sandalye yavaşlar, gövdeye çekilince hızlanır.
Presesyon, bir topacın kendi ekseni etrafında dönmesi sırasında, ayrıca dönme eksenine dik bir eksende yavaşça dönmesi olayıdır. Bu hareket, topacın ağırlık kuvveti nedeniyle oluşan bir tork tarafından tetiklenir.
Ağırlık kuvveti, topacı yatırmaya çalışan bir tork oluştururken, topacın yüzeyi ile temas noktasında oluşan tepki kuvvetinin torku sıfırdır. Topaç döndükçe bir açısal momentum oluşturur ve bu, dönüş yönüyle paralel bir vektördür. Ağırlık kuvvetinden kaynaklanan tork, topacın açısal momentum vektörünün yönünü değiştirir, fakat büyüklüğünü değiştirmez. Bu yön değişikliği, topacın presesyon adı verilen yavaş dönüş hareketine yol açar. Hareket hâlindeyken topaç dik dururken, hareketsizken yana yatar çünkü dönüş tarafından sağlanan stabilizasyon kaybolur.
Bisikletten oyun kumandasına, dalış yarışmasından telefondaki jiroskopa kadar aynı yasa çalışıyor.
Bir bisiklet tekerleği döndüğünde kazandığı açısal momentum tekerleğin sabit bir şekilde dönmesini sağlar, bu da bisikletin daha stabil bir şekilde ilerlemesine yardımcı olur. Dururken devrilen bisikletin hareket hâlindeyken durması bu yüzdendir.
Atlama tahtasından atlarken dizlerini karnına çekmen eylemsizlik momentini düşürür, açısal hızın artar ve suya girmeden önce daha çok dönebilirsin. Açılınca yavaşlarsın — giriş anında düzgün durabilmenin sırrı budur.
Bir kişi döner sandalyeye oturur, sandalye döndürülünce ellerinde ağırlıklarla kollarını açar; bu, eylemsizlik momentini artırır ve sandalye daha yavaş döner. Kollarını ve ağırlıkları gövdesine çektiğinde eylemsizlik momenti azalır ve sandalye daha hızlı döner.
Hareket hâlindeyken topaç dik durur, hareketsizken yana yatar; çünkü dönüş tarafından sağlanan stabilizasyon kaybolur. Yavaşladıkça ucunun çizdiği o geniş halka da presesyondur.
Bir bilgisayar CD’si dönme hareketi yaptığında açısal momentum kazanır. CD’nin dönüş hızı ve kütlesi, bu açısal momentumun büyüklüğünü etkiler.
Kapıyı menteşeye yakın iterken zorlanman, torkun kuvvetin dönme noktasına dik uzaklığına bağlı olmasındandır. Aynı kuvvetle kolun ucundan itersen tork büyür, kapı daha çabuk açısal ivme kazanır.
Gezegenler Güneş etrafındaki yörüngelerde dönerken açısal momentum kazanırlar; bu momentum, gezegenlerin yörüngelerinin sabit kalmasını sağlar. Dünya Güneş’e yaklaştığında yörüngesel hızı artar.
Buz pistindeki dönüşün hızlanma anı, sporcunun kollarını kapattığı andır. Kimse onu itmez; dışarıdan net tork uygulanmadığı için L sabit kalır ve I düşünce ω yükselir.
Mikroskobik düzeyde atomlar, moleküller ve atom çekirdekleri açısal momentum sayesinde belirli yörüngelerde dönme eğilimindedir. Bu, kuantum mekaniği, moleküler yapı analizi ve çekirdek fiziği gibi alanlarda açısal momentumun kritik bir rol oynadığını gösterir.
50 soruluk test · açısal momentumun tanımı ve bağıntıları, sağ el kuralı, tork-açısal ivme ilişkisi, korunum ve presesyon
Bir nokta etrafında dönen cisimler için kullanılan momentum türüdür. Vektörel bir büyüklüktür, L ile gösterilir.
L = r × P · L = m·v·r · L = I·ω
kg·m²/s = N·m·s = J·s
r ve P vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir, sağ el kuralıyla bulunur ve açısal hız ile aynı yöndedir.
τ = F·r·sinθ · τ = I·α · birimi N·m
Kuvvetin dönme etkisi yaratan ölçüsüdür.
a(t) = α · r
Merkezcil kuvvet merkez yönünde, teğetsel kuvvet çizgisel hız yönünde ivme kazandırır.
τ = ΔL/Δt · net tork = 0 ⇒ L(son) = L(ilk)
I₁·ω₁ = I₂·ω₂: I küçülürse ω büyür.
Topacın kendi ekseni etrafında dönerken dönme eksenine dik bir eksende yavaşça dönmesidir; ağırlık kuvvetinin torku L nin yönünü değiştirir, büyüklüğünü değiştirmez.