Uzaklaştıkça artan,
geri çağıran kuvvet
Basit harmonik hareket, bir cismin denge noktası etrafında düzgün bir şekilde salınmasıdır. Bir salınımın basit harmonik sayılabilmesi için tek şart var: cismin denge konumundan uzaklığı, üzerine etki eden kuvvetle doğru orantılı olmalıdır.
Doğada sıkça gözlemlediğimiz ve belirli bir düzen içerisinde sürekli olarak yinelenen hareketlere salınım hareketleri denir. Bu tür hareketler genellikle bir nesnenin bir noktadan diğerine veya aşağı yukarı doğru ritmik bir şekilde hareket etmesiyle gerçekleşir. Bu tür düzenli ve tekrar eden hareketler periyodik hareketler olarak adlandırılır.
Basit harmonik hareket, bir cismin denge noktası etrafında düzgün bir şekilde salınmasıdır. Bu özellik, basit harmonik hareketin belirleyici özelliklerindendir ve yaylar, sarkaçlar ve titreşimli sistemler gibi birçok fiziksel sistemde görülebilir.
Basit harmonik hareket (BHH), ideal bir ortamda, bir cismin denge konumuna geri dönmesine neden olan geri çağırıcı bir kuvvet ile oluşur. Bu hareketin en bilinen örnekleri yay sarkacı ve basit sarkaçtır.
Rüzgâr çanı, sallanan salıncak, bungee jumping yapan sporcu, metronom, sallanan sandalye, sarkaçlı saat, yay sarkacı ve basit sarkaç salınım hareketi yapan araçlara örnektir.
Bir çocuğun sallanan bir salıncağı itmesi ileri geri düzenli bir salınım oluşturur; bir rüzgâr çanının hafif bir esintiyle sağa sola sallanması da bu hareketlerin bir örneğidir.
Bir salınım hareketinin basit harmonik hareket olarak tanımlanabilmesi için belirli koşulların sağlanması gerekmektedir. Cismin denge konumundan ne kadar uzaklaştığı, üzerine etki eden kuvvetle doğru orantılı olmalıdır.
F(yay) = k · x
Denge konumunda yaya uygulanan net kuvvet sıfırdır. Sürtünmesiz bir ortamda bir yay F kuvvetiyle x kadar sıkıştırılırsa, yaydaki kuvvetin büyüklüğü F(yay) = k · x bağıntısı ile bulunur. Görüldüğü üzere kuvvet alınan yol ile orantılı bir şekilde değişmektedir. Cisim serbest bırakıldığında denge noktası etrafında simetrik olarak gidip gelme hareketi yapacaktır; ayrıca sistemin ivmesi de kuvvetle aynı yönde ve yönü hep denge noktasına doğrudur.
Sürtünmesiz düşey ve yatay düzlemlerde, uçlarına m kütleleri bağlı yaylar bulunmaktadır. Bu cisimler, O denge konumundan bir miktar çekilerek bırakıldıklarında M ve N noktaları arasında gidip gelirler. Tam bir salınımın (titreşim) meydana gelmesi için, hareket eden kütlenin aynı noktadan aynı yönde defalarca geçmesi gereklidir. Bu süreç, kütlenin hareketini tam bir döngü olarak tamamlamasını sağlar ve bu da sistemin periyodik doğasını ortaya koyar.
Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin, yatay ve düşey düzlemlerdeki hareketlerinin gölgeleri, basit harmonik hareketin bir örneğini oluşturur. Cisim çemberin M noktasından K’ye ulaştığında, bu noktanın x ekseni üzerindeki iz düşümü K′ noktasına denk gelir. Cisim çember boyunca hareketine devam edip L noktasına vardığında ise x ekseni üzerindeki iz düşümü L′ noktasında bulunur. Bu şekilde, cismin iz düşümü belirgin bir M ve N aralığında ileri geri salınım yapar.
Bu durum, özellikle dönen nesnelerin gölgeleri üzerinden günlük yaşamda da gözlemlenebilir ve bu gözlemler, basit harmonik hareketin pratikte nasıl ortaya çıktığını anlamamıza yardımcı olur. Çemberde sürat sabittir; ama gölgenin hızı sürekli değişir — bu ünite boyunca kullanılacak bütün denklemler bu bağlantıdan çıkarılacaktır.
Denge noktası, uzanım, periyot, frekans, genlik ve geri çağırıcı kuvvet — hepsi aynı yay sarkacı üzerinde tanımlanır.
Periyot (T): basit harmonik hareket yapan bir cismin aynı noktadan aynı yönde iki kez art arda geçmesi arasında geçen süredir; SI birimi saniyedir (s). Frekans (f): bir saniye içerisinde gerçekleştirdiği salınım sayısıdır, birimi hertz (Hz) dir.
T · f = 1
Uzanım (x) her an değişen bir büyüklüktür: denge noktasından cismin bulunduğu konuma çizilen vektördür. Genlik (r) ise uzanımın alabileceği en büyük değerdir ve hareket boyunca sabit kalır. Yani genlik, uzanımın maksimum hâlidir; ikisi aynı şey değildir. Uzanımın en küçük değeri cisim denge noktasındayken sıfırdır.
Sürtünmesiz bir sistemde, K ve N noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir cisim, hareketinin doğası gereği farklı hızlara sahip olacaktır. Bu hız değişiklikleri, cismin hareket hâlindeyken denge noktasına olan uzaklığının ve geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğünün bir sonucudur.
Cisim |OM| ile |OL| arasını T/12 sürede alır.
Cisim |MN| ile |LK| arasını T/6 sürede alır.
Cisim |ON| ile |OK| arasını T/4 sürede alır.
Denge noktasına yaklaştıkça hızı artar, çünkü geri çağırıcı kuvvet en düşükken potansiyel enerji en yüksek olur ve kinetik enerjiye dönüşür. Tersine, cisim genlik noktalarına yaklaştıkça hızı azalır çünkü burada potansiyel enerji artar ve kinetik enerji azalır. Bu yüzden aynı uzunlukta iki parça eşit sürede alınmaz: denge noktasına yakın olan yarım genlik T/12’de, uçtaki yarım genlik T/6’da alınır.
Cismin tam bir salınımı tamamlaması, yani bir noktadan başlayıp aynı noktaya aynı yönde geri dönmek için geçen süre periyot T ile ifade edilir. Sürtünmesiz bir sistemde bu periyot, yayın sabiti veya sarkacın uzunluğu gibi sistem özelliklerine bağlı olarak sabit kalır. Periyodun sabit olması, hareketin frekansının da sabit olduğunu gösterir. Cismin yolda geçirdiği süre değişse de, bir tam döngüyü tamamlamak için gereken toplam süre değişmez.
Basit harmonik hareketin analizinde konum denklemleri, cismin herhangi bir andaki denge noktasına olan uzaklığını belirlemek için kullanılır. Bu tür hareketlerde, cismin konumunu açıklamak için trigonometrik fonksiyonlardan yararlanılır. Basit harmonik hareketi çözümlemek için çember içindeki dik üçgen kullanılır.
y = r · sinθ · x = r · cosθ
Açısal frekans ω, döngüsel bir hareketin ne kadar hızlı gerçekleştiğini ifade eder. Bu değer, zamanla orantılı olarak artan bir açısal değişim (θ) kadardır.
ω = θ / t → θ = ω · t
x = r · cos(ω·t) · y = r · sin(ω·t)
Dairesel hareket yapan bir cismin yataydaki iz düşümünden yararlanarak hız denklemine ulaşılabilir. Çizgisel hız bileşenlerine ayrılırsa, yataydaki iz düşümünün hızı v′ = v · sinθ bileşenidir.
sinθ = y / r → v′ = v · (y / r)
v = ω · r → v′ = ω · y
Dik üçgenden: r² = y² + x² → y = √(r² − x²)
v′ = ω · √(r² − x²)
Bulduğumuz bu ifade, basit harmonik hareket yapan bir cismin hareketinin herhangi bir konumda sahip olduğu hız büyüklüğüdür. Denge noktasında (x = 0) v = ω · r ile maksimum, uçlarda (x = ±r) v = 0 ile minimumdur.
Düzgün çembersel hareket yapan cisim üzerindeki merkezcil kuvvetin yatay bileşeni, basit harmonik hareket yapan bir cisim için geri çağırıcı kuvvet işlevi görür. Bu kuvvet her zaman denge noktasına doğru yönelir ve denge noktasından uzaklaşıldıkça artar.
F = m · ω² · r · F(x) = F · cosθ · x = r · cosθ
F(x) = − m · ω² · x
a = F/m = − ω² · x
Matematiksel modeldeki negatif işaret, geri çağırıcı kuvvet ile uzanım vektörünün zıt yönlere işaret etmesinden kaynaklanır. Uzanımın büyüklüğü ile kuvvetin büyüklüğü arasında doğru orantılı bir ilişki vardır. Cisim denge noktasından uzaklaştıkça ivmesi artar, denge noktasına yaklaştıkça ivmesi azalır. Geri çağırıcı kuvvet ivmeyle aynı yönlüdür; bu nedenle cismin ivmesi ve geri çağırıcı kuvveti daima denge noktasına doğru olur.
Rüzgâr çanı, sallanan salıncak, bungee jumping yapan sporcu, metronom, sallanan sandalye ve sarkaçlı saat — örneklerin hepsi günlük hayattan.
En yüksek noktada bir an durursun: orası genlik noktasıdır, hız sıfır, geri çağırıcı kuvvet maksimumdur. En alt noktada ise en hızlısındır, kuvvet sıfırdır.
Metronom salınım hareketi yapan araçlardan biridir. Ağırlığı kaydırmak periyodu değiştirir; “dakikada kaç vuruş” dediğin şey aslında frekanstır.
Bungee jumping yapan sporcu ipin uzamasıyla orantılı bir kuvvetle yukarı çekilir. En aşağıda hız sıfır, kuvvet maksimumdur — tam olarak genlik noktası.
Titreşim motoru saniyede onlarca salınım yapar; “saniyedeki salınım sayısı” frekanstır ve birimi hertzdir. T · f = 1 olduğu için periyodu milisaniyelerle ölçülür.
Rüzgâr çanının hafif bir esintiyle sağa sola sallanması düzenli bir salınımdır. Rüzgâr güçlenince genlik büyür, ama çubukların periyodu değişmez.
Duvara düşen gölge ileri geri gidiyorsa bu bir iz düşümtür: çemberde sürat sabit olduğu hâlde gölge ortada hızlı, uçlarda yavaştır.
“Bir tam tekrar” dediğin şey tam salınımdır: aynı noktadan aynı yönde tekrar geçmen gerekir. Yarı yolda dönmek tam salınım saymaz.
Sarkaçlı saat zamanı ölçebiliyor çünkü sürtünmesiz kabul edilen bir sistemde periyot sabittir; genlik biraz azalsa bile bir tam salınım aynı sürede tamamlanır.
Analog çubuğu ittikçe geri itme kuvvetinin artması F = k · x bağıntısıdır. Bıraktığında ortaya dönmesini sağlayan da bu geri çağırıcı kuvvettir.
50 soruluk test · basit harmonik hareketin şartı, iz düşüm ilişkisi, genlik ve uzanım ayrımı, periyot haritası ile konum, hız, kuvvet ve ivme denklemleri
Denge noktası etrafında düzgün salınım. Şartı: uzaklık ile kuvvet doğru orantılı olmalıdır (F = k·x).
Düzgün çembersel hareket yapan cismin iz düşümü (gölgesi) basit harmonik hareket yapar. Bütün denklemler buradan çıkar.
Denge noktası (net kuvvet sıfır) · uzanım x (değişken) · genlik r (uzanımın maksimumu) · periyot T (s) · frekans f (Hz) · geri çağırıcı kuvvet.
T · f = 1 · ω = 2π/T
Sürtünmesiz sistemde periyot sabittir.
|OM| ile |OL| arası T/12 · |MN| ile |LK| arası T/6 · |ON| ile |OK| arası T/4.
x = r·cos(ω·t) · y = r·sin(ω·t)
v = ω·√(r² − x²)
F = −m·ω²·x · a = −ω²·x
Denge noktasında (x = 0): hız maksimum (ω·r), ivme ve kuvvet sıfır. Uçlarda (x = ±r): hız sıfır, ivme ve kuvvet maksimum (ω²·r ve m·ω²·r).
F ve a bağıntılarındaki eksi işaret, kuvvetin uzanıma zıt yönde olduğunu anlatır. İkisi de daima denge noktasına doğrudur.