“Bütün” ile “bazı”yı ayırt eden mantık
Önermeler mantığında “Bütün insanlar canlıdır.” ile “Bazı varlıklar canlıdır.” aynı harfle, ikisi de sadece p diye sembolleştiriliyordu. Bu iki cümle arasındaki fark kayboluyordu. Niceleme mantığı bu eksiği kapatır: özneyi, yüklemi ve niceliği ayrı ayrı sembolleştirir. Ünitenin sonunda ise iki değerli mantığın sınırını aşacağız — üç değerli mantık ve bulanık mantık.
Önermeler mantığının önermeleri tam olarak sembolleştirememesi geçerlilik denetlemelerinde sorunlara neden olan yetersizliklerden biridir. Mantık bilimi önermeler mantığında görünen eksiklikleri ortadan kaldırmak için niceleme mantığını kullanır.
Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele alır. Yani önermeler mantığında “Bütün insanlar canlıdır.” ile “Bazı varlıklar canlıdır.” biçimindeki iki farklı önerme aynı şekilde, sayı belirtilmeden “p” olarak sembolleştirilir.
İkisi de p olunca, aralarındaki nicelik farkı sembolde görünmez olur. Oysa mantıkta bu fark her şeyi değiştirir: “bütün” doğruysa “bazı” da doğrudur, ama tersi geçerli değildir. Niceleme mantığı bu farkı sembole taşır.
Niceleme mantığının önermeleri olan basit önermeler, özne-yüklem ilişkisine dayandıkları için niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir.
Niceleme mantığında; önermeler mantığında kullanılan değilleme (~), tümel evetleme (∧), tikel evetleme (∨), koşul (→), karşılıklı koşul (↔) sembolleri kullanılır. Bunların dışında niceleme mantığına özel semboller de bulunmaktadır. Yani eski eklemler aynen geçerlidir, üstüne yeni semboller eklenir.
Dört düğme, dört sembol türü. Canvas her türde üstte Türkçe cümleyi, altında hangi kelimenin hangi sembole karşılık geldiğini ok ok gösterir: özneler alta doğru küçük harflere, yüklemler büyük harflere, niceleyiciler Ɐ ve Ǝ işaretlerine bağlanır. En altta cümlenin tam sembolik hâli yazar.
Ad Sembolleri: Önerme içinde geçen özneler a, b, c, d gibi küçük harflerle sembolleştirilir.
Seda öğretmendir. → a
Sokrates ve Platon İlk Çağ filozoflarıdır. → a, b
Yüklem sembolleri: Önerme içinde geçen yüklemler F, G, H gibi büyük harflerle sembolleştirilir.
“Sokrates filozoftur.” → Fa
“Zeynep ve Ayşe meslektaştır.” → Gab
“Elif, Barış ve Gizem lise öğrencisidir.” → Habc
Yüklem harfi önce, adlar arkasına yazılır ve kaç özne varsa o kadar küçük harf sıralanır.
Tümel Niceleyici Sembolleri: “Her, bütün, hiçbir, hepsi” vb. tümel niceleyici ifadelerin olduğu önermeler “Ɐ” sembolü ile gösterilir.
“Her canlı ölümlüdür.” önermesi tümel niceleyici önermedir. Bu önermede özne belli bir kişiyi belirtmez. Bu nedenle önerme “ⱯxFx” şeklinde sembolleştirilir.
Tikel Niceleyici Sembolleri: “Kimi, bazı, birkaç, bir bölümü” gibi tikel niceleyici ifadelerin olduğu önermeler “Ǝ” sembolü ile gösterilir.
“Bazı insanlar öğrencidir.” önermesi tikel niceleyici önermedir. Önermede özne belli bir kişiyi belirtmediği için “ƎxFx” şeklinde sembolleştirilir. (Aynı iki işaret kimi kaynaklarda ∀ ve ∃ biçiminde yazılır; anlam değişmez.)
Bir yüklem, evrendeki hangi varlıklara uyuyorsa onlardan bir küme kurar. Dört niceleme biçiminin tamamı, bu kümenin evrene ya da başka bir kümeye göre durumundan okunur. Düğmelere bas: şema her seferinde başka bir küme ilişkisi çizer — iç içe çemberler, ayrık çemberler, kısmen örtüşen çemberler, çakışık çemberler.
Niceleme mantığında çıkarımlar önermelere benzer şekilde sembolleştirilir. Aşağıdaki örnek tanıdık gelecek — 8. ünitede gördüğün kesin kıyasın ta kendisi. İki düğme: solda aynı çıkarımın klasik mantıktaki terim dizilişi (orta terim M, küçük terim S, büyük terim P), sağda niceleme mantığındaki sembolik hâli. Aynı akıl yürütme, iki ayrı dil.
Bu sekiz terim birbirinden bağımsız değil, bir zincir kurar: değişken içeren cümle açık önermedir; değişkenin yerine evrenden bir varlık konursa özelleme olur; o özelleme doğruysa gerçekleme olur; bütün özellemelerin toplamı açılımdır.
Önermelerde belirsiz olan özneyi göstermek için kullanılan x, y, z gibi sembollerdir.
Tekil önermelerin öznelerini gösteren sembollere denir.
“Özlem terzidir.” önermesinde Özlem (a) belirli bir kişiyi gösterir.
Yüklemi gösteren sembollerdir.
“Özlem terzidir.” önermesinde terzi (F) yüklemdir. Önerme “Fa” biçiminde sembolleştirilir.
İçinde x, y, z gibi değişken geçen önermelere denir. Açık önerme, belli bir kişi ya da nesneyi işaret etmediği için doğruluk değeri taşımaz.
x terzidir.
y vatanseverdir.
Belirli bir doğruluk değeri taşıyan önermelere denir. “x terzidir.” ve “y vatanseverdir.” açık önermelerinde x yerine konulan terim onu kapalı önerme yapar.
Özlem (x) terzidir.
Ahmet vatanseverdir.
Bir açık önermede değişkenin yerini alabilecek tüm varlıkların bulunduğu kümedir. E:{ } biçiminde gösterilir.
E: {Ahmet, kedi, Ayşe…}
Üstteki düğmelerle bir açık önerme seç (“x canlıdır.”, “x terzidir.”, “x kanatlıdır.”), alttaki kaydırakla evrenin kaç varlık içerdiğini ayarla. Canvas solda evren kümesini, sağda o evrenden üretilen özelleme önermelerinin tamamını yani açılımı yazar. Her özellemenin yanında değeri durur: önermeyi doğrulayan özellemeler yeşil ve yanında “gerçekleme” etiketi taşır, yanlış olanlar kırmızıdır. Kaydırağı büyüttükçe açılımın nasıl uzadığını gör.
Öznesi belirsiz olan açık önermedeki değişkenin yerine evrende bulunan değerlerin (terimlerin), bir varlığın konulmasıdır. Bu şekilde elde edilen önermeye özelleme önermesi denir.
Evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme önermesini doğrulamasıdır.
“Ahmet terzidir.” özelleme doğrudur (gerçekleme). “Kedi terzidir.” özelleme yanlıştır.
Bir açık önermenin özellenmiş önermelerinin tamamıdır.
E: {martı, serçe, kırlangıç} evreninde “x kanatlıdır.” açık önermesinin açılımı üç önermedir: martı, serçe, kırlangıç.
Yedi Türkçe cümle, dört sembolik biçim. Her satırda tek bir ✓ olacak; işaretlediğin hücre satırdaki eskisini kendiliğinden siler. Boş bıraktığın hücreler “işaretlenmedi” sayılır. Hepsini doldurup Denetle’ye bas.
Niceleme mantığında iki temel kural vardır. Bu kurallar; a) Niceleyici değilleme kuralları b) Özelleme kuralları olmak üzere ikiye ayrılır.
Tümel ve tikel önermeleri birbirine dönüştürmeyi sağlayan kurallardır. Bu kurallar ile değillenmiş tümel ya da tikel niceleme önermelerinin önündeki değil sembolü kaldırılır. Niceleyici değilleme kuralları, tümel ve tikel niceleyici değilleme kuralları olmak üzere ikiye ayrılır.
~ⱯxFx ≡ Ǝx~Fx
Tümel Niceleyicinin Değilleme Kuralı: ~ⱯxFx ≡ Ǝx~Fx biçiminde ifade edilir. Değillenmiş tümel niceleme önermesi yerine eş değeri olan tikel niceleme önermesi yazılır.
Örnek: “Bütün insanların iyimser olduğu doğru değildir.” (~ⱯxFx) → “Bazı insanlar iyimser değildir.” (Ǝx~Fx)
~ƎxFx ≡ Ɐx~Fx
Tikel Niceleyicinin Değilleme Kuralı: ~ƎxFx ≡ Ɐx~Fx biçiminde ifade edilir. Değillenmiş tikel niceleme önermesi yerine eş değeri olan tümel niceleme önermesi yazılır.
Örnek: “Bazı insanların çirkin olduğu doğru değildir.” (~ƎxFx) → “Hiçbir insan çirkin değildir.” (Ɐx~Fx)
Dört düğme, dört değilleme durumu. Canvas solda değillenmiş hâli, sağda eşdeğerini gösterir; ortadaki akan ok dönüşümün iki adımını yazar: değil işareti niceleyicinin önünden yükleme geçer ve niceleyici tipini değiştirir (Ɐ ↔ Ǝ). Altta her ikisinin Türkçe okunuşu durur — sınavda asıl zorlanılan yer sembolü değil, cümleye çevirmektir.
Özelleme kuralları da tümel ve tikel olmak üzere ikiye ayrılır.
TÜMEL ÖZELLEME (ⱯxFx)
Çözümleyici çizelgede işlem yapılırken ⱯxFx gibi bir tümel önermenin özellemesini yapmak için aynı yol üzerinde daha önce geçmiş bir ad sembolü (a, b, c gibi) varsa x bilinmeyeni yerine o ad sembolü yazılır. Eğer daha önce geçmiş bir ad sembolü yoksa herhangi bir ad sembolü kullanılır. Çözüm yapılan yol üzerinde birden fazla ad sembolü geçiyorsa bu ad sembollerinin her biri ile tümel niceleme önermesinin ayrı ayrı özellemesi yapılır. Tümel özelleme yapılırken tümel niceleyici (Ɐ) kalkar, sadece yüklem sembolü kalır.
ⱯxFx, Fb ⊢ Gb
1. ⱯxFx (öncül)
Fb (öncül)
~Gb (~sonuç)
Fb (1)
TİKEL ÖZELLEME (ƎxFx)
Çözümleyici çizelgede işlem yapılırken ƎxFx gibi bir tikel önermenin özellemesini yapmak için aynı yol üzerinde daha önce geçmiş bir ad sembolü (a, b, c gibi) varsa x bilinmeyeni yerine o ad sembolünden farklı bir ad sembolü kullanılır. Eğer daha önce geçmiş bir ad sembolü yoksa herhangi bir ad sembolü kullanılır. Tikel özelleme yapılırken tikel niceleyici (Ǝ) kalkar, sadece yüklem sembolü kalır.
ƎxFx, Gb ⊢ Ga
1. ƎxFx (Öncül)
Gb (Öncül)
~Ga (~Sonuç)
Fc (1)
İki özelleme kuralı tek bir noktada ayrılır ve sınav tam oradan sorar:
Tümel özellemede yolda geçmiş bir ad varsa o adın aynısı kullanılır — “her x için doğru” dediğine göre elindeki her ad için de doğrudur, üstelik hepsi için ayrı ayrı özelleme yapılır. Tikel özellemede ise yolda geçmiş adlardan farklı yeni bir ad kullanılır — “bazı x’ler F’dir” demek, elindeki adın F olduğu anlamına gelmez; F olan varlık tanımadığın biri olabilir, o yüzden ona yeni bir harf verilir. Örnekte a ve b zaten geçtiği için tikel özelleme Fc ile yapılmıştır.
Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken aşağıdaki sıra izlenir. Sıra keyfî değil: değillemeler önce temizlenir, sonra dallanmayan işlemler yapılır, dallandıranlar sona bırakılır. Tikel özellemenin çatal açmadan önce, tümel özellemenin ise en sonda olması özellikle önemlidir — yeni ad üreten kural erken, var olan adları kullanan kural geç çalışır.
Önermeler mantığında olduğu gibi niceleme mantığında da denetleme yapmak için çözümleyici çizelge kullanılır. İşlemlerde önermeler mantığında kullanılan denetleme kurallarının yanı sıra niceleme mantığının değilleme ve özelleme kuralları da uygulanır. Öncelikle denetleme işlemlerinin çözümleyici çizelge işlem sırasına göre yapılması gerekir.
Birden fazla önermenin birbiriyle tutarlılığını denetlemek için verilen önermeler alt alta yazılır ve çözümlenir. Çözümleme sonunda tek bir açık yol bile varsa önermeler birbiriyle tutarlıdır.
Üstteki düğmelerle çözümlü örneği, alttaki kaydırakla çözümlemenin adımını seç. Kaydırak 0 konumundayken yalnız başlangıç önermeleri görünür; sağa ittikçe ağaç bir kural birden açılır. Bu kez açılan kurallar arasında niceleyici değilleme (~Ɐx~Fx yerine ƎxFx yazmak) ve özelleme (ⱯxFx yerine Fa yazmak) da var — hangi satırın hangi kuralla geldiğini parantez içindeki kaynak numarası söyler. Kapanan yolun kutusu kırmızı çerçeve alır. Son adımda hüküm yazar.
Niceleme mantığının bütün sembolleri, kuralları ve örnekleri tek tabloda. Arama kutusuna bir sembol (“Ǝ”), bir kural adı (“özelleme”) ya da bir kavram (“açılım”) yaz.
Çok değerli mantık sistemlerinde geleneksel ikili mantığın aksine bir önermenin doğru ve yanlış dışında bir değer (yani üç, dört ya da daha fazla değer) aldığı kabul edilir. Bütün dersin dayandığı “bir önerme ya D’dir ya Y” kuralı, burada bilinçli olarak esnetilir.
Bir filmi izleyen seyircilerin film hakkındaki görüşleri üç değerli mantığın doğruluk değerleri ile ilişkilendirilebilir:
DOĞRU
Beğendim: İzleyicinin film hakkında olumlu bir görüşü var.
YANLIŞ
Beğenmedim: İzleyicinin film hakkında olumsuz bir görüşü var.
BELİRSİZ
Kararsızım: İzleyici filmin iyi mi kötü mü olduğuna karar verememiş; yani izleyicinin görüşü belirsiz.
Hava sıcaklığının çok sıcak, ılık veya soğuk gibi kategorilerle ifade edilmesi bulanık mantığın işleyişine örnek verilebilir. Sıcaklık değeri belirli bir aralıkta olduğunda, bu sıcaklık birden fazla kategoriye kısmen dahil olabilir. Örneğin, 25 derece sıcaklık hem ılık hem de sıcak kategorilerine kısmen ait olabilir.
Kaydırağı sürükleyerek hava sıcaklığını değiştir. Canvas iki şey gösterir: üstte üç kategorinin (soğuk · ılık · sıcak) üyelik eğrileri, altta o sıcaklıkta her kategoriye yüzde kaç ait olduğunu gösteren üç ölçüt çubuğu. Kaydırağı 25 dereceye getir: çubukların ikisi birden dolu kalır — “25 derece hem ılık hem de sıcak kategorilerine kısmen ait olabilir” cümlesi tam olarak budur. İki değerli mantıkta bir önerme aynı anda hem D hem Y olamazdı; bulanık mantıkta kısmi üyelik olağandır. Sol üstte, aynı sıcaklığın iki değerli ve üç değerli mantıktaki karşılığı da yazar.
Üç düğme, üç uygulama alanı. Canvas her uygulamada girdileri sol sütunda, bulanık mantık kutusunu ortada, çıktıyı sağda gösterir; akan oklar hangi girdinin karara nasıl katıldığını çizer. Girdilerin hiçbirinin “var/yok” olmadığına dikkat et: hepsi “az / orta / çok” gibi dereceli değerlerdir — sistemi bulanık yapan şey budur.
| Sistem | Kaç değer | Değerler | Örnek |
|---|---|---|---|
| İki değerli mantık | 2 | Doğru · Yanlış | “Üçgenin iç açıları toplamı 180°dir.” |
| Üç değerli mantık | 3 | Doğru · Yanlış · Belirsiz | “Yarın hava yağışlı olacak.” |
| Bulanık mantık | Sonsuz | Az doğru · az yanlış · çok doğru · çok yanlış … | “25 derece hava sıcaktır.” |
Bulanık mantık, bu tür uygulamalarda, belirsiz ve öznel kategoriler arasındaki geçişleri yöneterek daha esnek ve kullanıcı dostu çözümler sunar.
Üç değerli mantıkta üçüncü değer belirsizdir: önermenin doğruluğu bilinmez ya da henüz kararlaşmamıştır — “Yarın hava yağışlı olacak.” Değer sayısı yine sayılabilir, tam olarak üçtür.
Bulanık mantıkta ise önerme kısmen doğrudur: doğruluğu bilinmiyor değil, derecelidir. “25 derece sıcaktır.” önermesi belirsiz değildir — bir ölçüde doğrudur. Bulanık mantıkta değer sayısı sonsuzdur: az doğru, az yanlış, çok doğru, çok yanlış gibi sonsuz sayıda ara değer vardır. Sınavda ayırt edici sözcükler: “belirsiz / kararsız” → üç değerli; “derece / kısmen / ara değer” → bulanık.
Karışık sırayla bir cümle, bir kural ya da bir mantık sistemi sorusu gelir: hangi sembol, hangi kural, hangi sistem? Cevabını seç, açıklamayı anında oku.
50 soruluk test · niceleme mantığının gerekçesi ve sembolleri, temel kavramlar, niceleyici değilleme ve özelleme kuralları, çözümleyici çizelge ile denetlemeler, üç değerli mantık ve bulanık mantık
Önermeler mantığının önermeleri tam olarak sembolleştirememesi geçerlilik denetlemelerinde sorunlara neden olan yetersizliklerden biridir. Önermeler mantığında “Bütün insanlar canlıdır.” ile “Bazı varlıklar canlıdır.” aynı şekilde, sayı belirtilmeden “p” olarak sembolleştirilir.
“Tüm” ve “bazı” ile başlayan önermeleri ve önermeler mantığını içine alan mantıktır. Önermelerin ve çıkarımların daha ayrıntılı sembolleştirilmesini sağlar. Basit önermeler özne-yüklem ilişkisine dayandığı için yüklemler mantığı da denir.
a, b, c, d · ad sembolleri (özneler)
F, G, H · yüklem sembolleri
Ɐ · tümel niceleyici (her, bütün, hiçbir, hepsi)
Ǝ · tikel niceleyici (kimi, bazı, birkaç, bir bölümü)
x, y, z · değişken
~ ∧ ∨ → ↔ · önermeler mantığından aynen gelir
Fa · Gab · Habc · ⱯxFx · ƎxFx
Değişken: belirsiz özneyi gösteren x, y, z. Ad değişmezi: tekil önermelerin öznesi. Yüklem değişmezi: yüklemi gösteren sembol. Açık önerme: içinde değişken geçen, doğruluk değeri taşımayan önerme. Kapalı önerme: belirli bir doğruluk değeri taşıyan önerme. Evren: değişkenin yerini alabilecek tüm varlıkların kümesi, E:{ }.
Özelleme: açık önermedeki değişkenin yerine evrende bulunan bir varlığın konulması. Gerçekleme: evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme önermesini doğrulaması. Açılım: bir açık önermenin özellenmiş önermelerinin tamamı.
~ⱯxFx ≡ Ǝx~Fx
~ƎxFx ≡ Ɐx~Fx
Tümel ve tikel önermeleri birbirine dönüştürmeyi sağlayan kurallardır. Bu kurallar ile değillenmiş tümel ya da tikel niceleme önermelerinin önündeki değil sembolü kaldırılır. “Bütün insanların iyimser olduğu doğru değildir.” → “Bazı insanlar iyimser değildir.”
Tümel özellemede yolda geçmiş bir ad sembolü varsa o ad kullanılır; birden fazla ad varsa her biriyle ayrı ayrı özelleme yapılır. Tikel özellemede ise yolda geçmiş adlardan farklı bir ad kullanılır. İkisinde de niceleyici kalkar, yalnız yüklem sembolü kalır.
1 · Tümel niceleyici değilleme kuralı
2 · Tikel niceleyici değilleme kuralı
3 · Alt alta yazma kuralı
4 · Tikel özelleme kuralı
5 · Çatal açma kuralı
6 · Tümel özelleme kuralı
Çok değerli mantık sistemlerinde geleneksel ikili mantığın aksine bir önermenin doğru ve yanlış dışında bir değer (yani üç, dört ya da daha fazla değer) aldığı kabul edilir. Gerçek dünyanın karmaşıklığını ve belirsizliklerini modellemek için uygun bir çerçeve sağlar.
Klasik mantıktaki doğru ve yanlış değerlerine üçüncü bir değer eklenir ki bu değer “belirsiz” olarak ifade edilir. “Yarın hava yağışlı olacak.” gibi ifadeler belirsiz değer alır. Bulanık mantık, bilgi sistemleri ve programlama dilleri çalışmalarında yararlanılır; doğal dil işleme ve yapay zekâ uygulamalarında kritik rol oynar.
Bir olayın gerçekleşme durumunu daha gerçekçi yansıtmak üzere ara değerlerle ifade eden bir mantık sistemidir. Önermeler az doğru, az yanlış, çok doğru, çok yanlış gibi sonsuz sayıda ara değer alabilir. Örnek: 25 derece sıcaklık hem ılık hem de sıcak kategorilerine kısmen ait olabilir. Uygulama alanları: akıllı buzdolapları, trafik ışık kontrol sistemleri, ev otomasyon sistemleri; ayrıca kontrol sistemleri, yapay zekâ, karar verme mekanizmaları ve ekonomi.
1 · Tümel özelleme aynı adı, tikel özelleme farklı adı kullanır.
2 · Belirsiz (üç değerli) ile kısmen doğru (bulanık) aynı şey değildir:
birinde değer sayısı üçtür ve doğruluk bilinmez; ötekinde değer sayısı sonsuzdur ve
doğruluk derecelidir.