16 satır yerine bir ağaç
Geçen ünitede her denetlemeyi doğruluk çizelgesiyle yaptın. Ama bileşen sayısı dörde çıkınca çizelge 16 satır oluyor, beşe çıkınca 32. Bu ünitede çözümleyici çizelgeyi öğreneceksin: önermeyi parçalarına ayırıp yalnız gerekli yolları açan, çelişki gördüğü yolu anında kapatan daha kısa ve güvenli bir yöntem. Aynı dört soruyu (tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik, çıkarım) bu kez ağaçla cevaplayacaksın.
Önermenin veya çıkarımın bileşen sayısı ve önerme eklemi sembolleri arttıkça doğruluk tablosuyla denetleme zorlaşır ve çözümlemede uzun ve karmaşık bir yol olarak karşımıza çıkar. Mantıkta bu uygulamadaki zorluğu ortadan kaldırmak için çözümleyici çizelge adı verilen daha kısa ve güvenli bir denetleme yöntemi geliştirilmiştir. Bu denetleme yöntemine çözümleyici çizelge ile denetleme denir. Yöntemin ikinci adı ağaç yöntemidir.
Çözümleyici çizelgede temel çözümleme kurallarının yanı sıra türetilmiş çözümleme kuralları da vardır. Çözümleme kurallarının büyük bölümü, çözümlenen önermelerin kendilerine eşdeğer başka önermelere dönüştürülmesi yoluyla elde edilmiştir. Çözümleme kurallarının elde edilmesinde ortaya çıkan bu eşdeğerliklere De Morgan Kuralları denir.
Yani ağacın her kuralı, aslında bir eşdeğerliğin şekle dökülmüş hâlidir. Kuralı ezberlemek yerine dayandığı eşdeğerliği hatırlarsan ağacı kendin kurabilirsin. Not: literatürde “De Morgan kuralları” dar anlamda yalnız ~(p ∧ q) ve ~(p ∨ q) eşdeğerliklerini adlandırır; aşağıdaki tablonun tamamı bu adla anılmaz. Sınavda bu geniş adlandırma esas alınır.
Yedi eşdeğerlik. Arama kutusuna bir eklem (“↔”), bir sözcük (“değil”) ya da bir kural adı yaz; tablo süzülür. Sağdaki sütun her eşdeğerliğin ağaçta hangi şekle dönüştüğünü söyler — çengel mi çatal mı.
Çözümleyici çizelge kurallarında önermenin bileşenleri ya alt alta ya da ayrık yazılır. Alt alta yazma çengele gitme olarak adlandırılır.
p
q
Anlamı: ikisi birden doğru olmalı. Yol dallanmaz, tek yol üzerinde iki önerme birden bulunur.
Ayrık yazma ise çatal açma olarak adlandırılır.
p q
Anlamı: ya biri ya öteki doğru olabilir. Yol ikiye ayrılır; bundan sonra her dal ayrı bir olasılıktır ve ayrı ayrı denetlenir.
Sekiz önerme biçimi, üç şekil. Her satırda tek bir ✓ olacak — bir önerme aynı anda hem yalnız çengel hem yalnız çatal olamaz. İşaretlediğin hücre satırdaki eski işareti kendiliğinden siler; boş bıraktığın hücreler “işaretlenmedi” sayılır. Sekizini de doldurup Denetle’ye bas.
Tümel evetleme, tikel evetleme, koşul ve karşılıklı koşul önermeleri ile birlikte bunların değillerinin kuralları olmak üzere toplam sekiz (8) çözümleyici çizelge kuralı vardır. Sekizini de aynı üç parça kurar: adım sayısı (sol), (Ö) harfi (sağ) ve kaynak numarası (çözümün yanında).
Sekiz düğme, sekiz kural. Canvas o kuralın tam şeklini çizer: en üstte 1. adım sayısı ve sağında (Ö) harfi ile başlangıç önermesi; altında ya alt alta iki önerme + çengel işareti “]” ya da ikiye ayrılan çatal. Kaynak numarası (1), çengelde işaretin sağına, çatalda çatalın ortasına konur — canvas ikisini de doğru yere yazar. Üstteki şeritte kuralın dayandığı eşdeğerlik görünür; ok, önermenin hangi eşdeğere çevrildiğini gösterir.
Ortak yön: eşdeğeri “∧” taşıyan her önerme çengele gider.
Ortak yön: eşdeğeri “∨” taşıyan her önerme çatal açar.
p → q çözümlenirken sola p değil, ~p yazılır. Sebebi kuralın dayandığı eşdeğerlik: (p → q) ≡ (~p ∨ q). Sola ön bileşenin değili, sağa art bileşenin kendisi gelir.
Değillenmiş koşulda ise tam tersi bir şaşırtma var: ~(p → q) ≡ (p ∧ ~q) olduğu için çatal açılmaz, ön bileşenin kendisi ile art bileşenin değili alt alta yazılır. Yani “koşul” çatal açar, “değillenmiş koşul” çengele gider — ikisi birbirinin aynası değil, tersi.
| İşaret | Adı | Nereye yazılır |
|---|---|---|
| 1. | Adım sayısı | Çözümlenen önermenin sol tarafına |
| (Ö) | Başlangıç önermesi işareti | Önermenin sağ tarafına |
| (1) | Kaynak numarası | Çengelin sağına · çatalın ortasına |
| ] | Çengel işareti | Alt alta yazılan iki bileşeni birleştirir |
| X | Kapalı yol işareti | Çelişkili yolun en altına |
Adım numarasının aynısı önermenin çözümüne de verilir. Çözüme verilen bu sayı kaynağı belirlediği için kaynak numarasıdır. Yani (1) yazısı “bu satırlar 1. adımdaki önermeden çıktı” demektir; uzun bir ağaçta hangi satırın nereden geldiğini bu numara söyler.
Ağaç istediğin sırayla kurulmaz. Dokuz maddelik işlem sırası, ağacın gereksiz yere şişmesini engeller: çatal açmayı olabildiğince geciktirmek ağacı küçük tutar.
Çelişki, aynı yol üzerinde bir önermenin hem kendisinin hem de değilinin bulunması durumudur.
Dikkat edilecek iki nokta: çelişki aynı yol üzerinde aranır — bir dalda p, öteki dalda ~p bulunması çelişki değildir, çünkü o ikisi zaten iki ayrı olasılıktır. İkincisi, çelişkiyi kuran önermeler çekirdek olmak zorunda değildir: yolda (p ∧ q) ile ~(p ∧ q) de yan yana gelirse yol kapanır.
Çözümleme bittikten sonra yolda çelişiklik varsa yol kapatılır. Çelişiklik yok ise yol ok işaretiyle gösterilir.
Açık kalan bir yol, başlangıç önermelerini aynı anda doğru kılan bir yorumdur: o yol üzerindeki çekirdek önermelere D değerini verirsen çelişki çıkmaz. Bu yüzden “açık yol var mı?” sorusu, aslında “doğrulayıcı yorum var mı?” sorusudur — geçen ünitede çizelgede D satırı aramanın ağaçtaki karşılığıdır.
Altı yol, her biri bir dizi önerme. Düğmelerle yolu seç; canvas o yolun önermelerini tepeden aşağı tek sütun hâlinde dizer ve çelişkiyi kuran iki önermeyi kırmızı çerçeveyle eşleştirip aralarına bir bağ çizer. Çelişki yoksa yolun altına açık yol oku konur. Dikkat et: bazı yollarda çelişki çekirdek olmayan iki önerme arasındadır.
Doğruluk çizelgesinde “bir D yeter” diyorduk; ağaçta karşılığı “bir açık yol yeter”. İkisi aynı şeyi söylüyor, biri satır sayarak, öteki dal keserek.
Bu ünitenin ana tezgâhı. Üstteki düğmelerle çözümlü örneği, alttaki kaydırakla çözümlemenin adımını seç. Kaydırak 0 konumundayken yalnız başlangıç önermeleri görünür; sağa ittikçe ağaç bir kural birden açılır — çengele giden kurallar dallanmadan alta ekler, çatal açanlar yolu ikiye böler. Kapanan yolun kutusu kırmızı çerçeve alır ve altına kısa bir çizgi (X yerine) konur. Son adımda alttaki satır kaç yol açık kaldığını ve hükmü yazar. Aynı örneği geri sarıp tekrar izleyebilirsin.
Ana eklem ∨ olduğu için çatal açılır. Sol dala (p ∧ ~p) düşer; o da çengele gidip p ve ~p’yi alt alta yazar — aynı yolda hem p hem ~p bulunduğu için sol yol kapanır. Sağ dalda yalnız q var, çelişki yok.
Bir açık yol yani önermenin en az bir doğru yorumu olduğu için önerme tutarlıdır.
Ana eklem ∧, çengele gidilir: ~(p → q) ve (~p ∧ q) alt alta. İkisi de yeniden çengele gider: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q → p ve ~q; (~p ∧ q) → ~p ve q. Tek yolda p ile ~p, ayrıca ~q ile q bulunur — iki ayrı çelişki.
Hiç açık yol kalmadığı için önerme tutarsızdır.
Geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarım denetlemelerinin ortak sırrı şu: hiçbirinde önermeyi olduğu gibi çözümlemezsin. Üçünde de bir değilleme araya girer ve aranan sonuç “tüm yollar kapalı” olur.
Tüm yorumlamalarında doğru değerini alan, yani hiçbir yanlış yorumu olmayan önerme geçerlidir. Önermenin değilinin tutarsız olması o önermenin geçerli olması demektir.
Aynı işaret, denetlemeye göre ters anlam taşır. Tutarlılıkta açık yol aranır; geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarımda kapalı yol aranır. Karışıklığı önleyen tek soru şudur: “Ben neyin çözümlemesini yapıyorum?”
Tutarlılıkta önermenin kendisini çözümlersin, açık yol = doğrulayıcı yorum = tutarlı. Geçerlilikte önermenin değilini çözümlersin, açık yol = önermeyi yanlışlayan yorum = geçersiz. Yani ikisinde de açık yol “bir yorum bulundu” demektir; o yorumun işine yarayıp yaramadığı neyi çözümlediğine bağlıdır.
| Denetleme | Ağaca ne yazılır | İşaret | Olumlu hüküm |
|---|---|---|---|
| Tutarlılık | Önermenin kendisi | (Ö) | Açık yol varsa tutarlı |
| Bir arada tutarlılık | Önermeler alt alta, hepsi kendisi | her birine (Ö) | Tek bir açık yol bile yeterli |
| Geçerlilik | Önermenin değili | (~Ö) | Tüm yollar kapalıysa geçerli |
| Eşdeğerlik | İki önerme ↔ ile birleşir, tamamının değili | (~Ö) | Tüm yollar kapalıysa eşdeğer (≡) |
| Çıkarım | Öncüller kendisi, sonucun değili | (Ön) ve (~Sn) | Tüm yollar kapalıysa geçerli |
Düğmelere bas: canvas aynı denetleme sorusunu solda doğruluk çizelgesiyle (geçen ünitenin yolu), sağda çözümleyici çizelgeyle (bu ünitenin yolu) gösterir. Ortadaki ok, iki yöntemin aynı hükme vardığını çizer. Sol tarafta satır sayısı, sağ tarafta yol sayısı yazar — bileşen sayısı arttıkça aradaki farkın nasıl açıldığını gör.
Bütün ağaç örnekleri tek tabloda: hangi önerme, hangi denetleme, ağaca ne yazıldı, sonuç ne çıktı. Arama kutusuna “geçersiz”, “eşdeğer” ya da bir eklem yaz.
Karışık sırayla bir önerme biçimi, bir işlem sırası sorusu ya da bir hüküm sorusu gelir. Şıkkı seç, açıklamayı anında oku.
50 soruluk test · çözümleyici çizelgenin gerekçesi, eşdeğerlik tablosu, sekiz çözümleme kuralı, işlem sırası ve çelişki, tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarım denetlemeleri
Bileşen sayısı ve önerme eklemi sembolleri arttıkça doğruluk tablosuyla denetleme zorlaşır. Bu zorluğu ortadan kaldırmak için çözümleyici çizelge adı verilen daha kısa ve güvenli bir denetleme yöntemi geliştirilmiştir. Öteki adı ağaç yöntemidir.
~~p ≡ p
~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q)
~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q)
(p → q) ≡ (~p ∨ q)
~(p → q) ≡ (p ∧ ~q)
(p ↔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
Çözümleme kurallarının elde edilmesinde ortaya çıkan bu eşdeğerliklere De Morgan Kuralları denir.
Alt alta yazma çengele gitme (ikisi birden doğru), ayrık yazma çatal açma (ya biri ya öteki) olarak adlandırılır. Eşdeğeri ∧ taşıyanlar çengele gider, eşdeğeri ∨ taşıyanlar çatal açar. p ↔ q ve ~(p ↔ q) önce çatal açar, her dalda çengele gider.
1 · p ∧ q → çengel: p, q
2 · p ∨ q → çatal: p | q
3 · p → q → çatal: ~p | q
4 · p ↔ q → çatal: (p,q) | (~p,~q)
5 · ~(p ∧ q) → çatal: ~p | ~q
6 · ~(p ∨ q) → çengel: ~p, ~q
7 · ~(p → q) → çengel: p, ~q
8 · ~(p ↔ q) → çatal: (p,~q) | (~p,q)
Adım sayısı önermenin soluna, (Ö) sağına yazılır. Kaynak numarası çengelin sağına, çatalın ortasına konur ve o satırların hangi adımdan geldiğini gösterir. Kapanan yolun altına X konur; açık yol ok işaretiyle gösterilir.
Önce alt alta yazma kuralı, sonra çatal açma kuralı uygulanır. Aynı kuralla çözümlenecek birden fazla önerme varsa en üsttekinden başlanır. Çatal açıldıktan sonra sol daldan devam edilir. Çekirdek önermelere (~p, ~q, p, q) ulaşılana kadar sürdürülür.
Çelişki, aynı yol üzerinde bir önermenin hem kendisinin hem de değilinin bulunması durumudur. Aynı yol üzerinde çelişik önerme varsa o yol kapatılır ve “X” işareti konur. Kapatılan yol üzerinde çözümlenmeyen önerme olsa bile artık işlem yapılmaz. Farklı dallardaki p ve ~p çelişki değildir.
En az bir doğru yorumu olan önermeler tutarlı, hiç doğrulayıcı yorumu olmayan önermeler ise tutarsızdır. Birden fazla önermede: Çözümleme sonunda tek bir açık yol bile varsa önermeler birbiriyle tutarlıdır. Hiçbir açık yol yoksa önermeler birbiriyle tutarsızdır.
Önermenin geçerliliği denetlenirken önermenin değillenmiş hâli çözümlenir; tüm yollar kapalıysa önerme geçerlidir, açık yol varsa geçersizdir. Eşdeğerlikte iki önerme ↔ ile birleştirilir, tamamının değili alınır; yollar kapalıysa önermeler eşdeğerdir.
Öncüllerin kendisi ve sonucun değillemesi alt alta yazılır; öncüllerin ardına (Ön), sonucun değillemesinin ardına (~Sn) işaretleri konur. Çözümleme sonunda açık yol varsa çıkarım geçersizdir. Hiçbir açık yol yoksa yani bütün yollar kapalı ise çıkarım geçerlidir.
1 · p → q çatal açar ve sola ~p yazılır; ~(p → q) çengele gider ve
p ile ~q alt alta yazılır.
2 · Açık yol tutarlılıkta iyi haberdir, geçerlilik–eşdeğerlik–çıkarımda kötü.
Ölçü: neyin çözümlemesini yaptığın.