İçerikten biçime
Klasik mantık günlük dili kullandığı için içeriğin etkisindedir — ve günlük dil, geçen ünitede gördüğün gibi çok anlamlı, belirsiz ve bulanıktır. Sembolik mantık bu sorunlara bir alternatif olarak geliştirildi: önermeleri harflerle, bağlantıları işaretlerle gösterip denetlemeyi amaçlar. Bu ünitede cümleyi sembole çevirmeyi öğreneceksin.
Klasik mantığın sembolleştirilmiş biçimine sembolik mantık ya da modern mantık denir. Klasik mantıktaki çok anlamlılık, belirsizlik ve bulanıklığa bir alternatif olarak geliştirilmiş, kesin çıkarımlara ulaşılması hedeflenmiştir.
Sembolik mantığın içinde barındırdığı sistemler.
Beş düğme, beş karşılaştırma noktası. Canvas solda klasik mantığın, sağda sembolik mantığın aynı soruya verdiği cevabı yan yana koyar; ortadaki ok geçişin ne kazandırdığını yazar. Sol taraf her zaman cümleyle, sağ taraf sembolle çalışır.
En yalın hâliyle bir önerme biri özne ve diğeri yüklemi karşılayan en az iki terim ve bunları birbirine bağlayan bir bağdan oluşur.
Madde yer kaplayandır.
“madde” özne · “yer kaplayan” yüklem · “-dır” bağ
Bu önermenin doğru ya da yanlış olmak üzere iki farklı doğruluk değeri olabilir.
Bu bölümün püf noktası tek bir kelimede: “değil”. Klasik mantıkta “değil” bir önerme eklemi değildir; sembolik mantıkta eklemdir ve aldığı önermeyi bileşik yapar. Aynı cümle bu yüzden iki mantıkta iki ayrı cevap alır.
Basit önerme tek yargı bildiren önermedir. Bileşik önerme ise birden fazla yargı bildiren önermedir.
Klasik mantıkta basit önermeleri birbirine bağlayarak bileşik önerme yapan “ve, veya, ise, ancak ve ancak” gibi mantıksal değişmezler olarak da adlandırılan önerme eklemleri vardır. Önermeyi olumsuz yapmak için kullanılan “değil” ifadesi önerme eklemi değildir.
Basit önerme: önerme eklemi almayan önermedir.
Bileşik önerme: önerme eklemi alan önermedir.
Sembolik mantıkta “değil” ifadesi de önerme eklemidir ve kullanıldığı önermeyi bileşik yapar.
“Bulut pembedir.” — klasik mantıkta
da sembolik mantıkta da basit önermedir.
“Bulut pembe değildir.” — klasik mantıkta tek yargı bildirdiği için basit önerme kabul
edilir; ancak sembolik mantıkta “değildir” ifadesi aldığı için bileşik önermedir.
Karşılaştırma tablosu. Her cümle için dört hücre var; her satırda iki tanesi ✓ olur (biri klasik, biri sembolik sütundan). Hücreye tıkla (boş → ✓ → ✗ → boş), sonra Denetle. Yalnız “değil” içeren satırlarda iki sütunun cevabı ayrışır.
| Önerme | Klasik mantık | Sembolik mantık |
|---|---|---|
| Yunus balıktır. | BASİT | BASİT |
| Kaplumbağa sürüngen değildir. | BASİT | BİLEŞİK |
| Kuş ve arı kanatlıdır. | BİLEŞİK | BİLEŞİK |
| Beni ancak ve ancak dinlersen anlayabilirsin. | BİLEŞİK | BİLEŞİK |
| Cam saydamdır. | BASİT | BASİT |
| Tahta iletken değildir. | BASİT | BİLEŞİK |
| Geçmişiyle barışırsa mutlu olur. | BİLEŞİK | BİLEŞİK |
İki örnek çıkarım. Canvas üç satırı yazar, altında iki ayrı hüküm kutusu açar: solda klasik mantığın, sağda sembolik mantığın kararı. İkinci örnekte iki kutu ayrışır — aynı çıkarım klasik mantıkta kabul edilmez, sembolik mantıkta denetlenebilir.
“Değil” sorusunda hangi mantığın sorulduğuna bak. “Kaplumbağa sürüngen değildir.” cümlesi klasik mantıkta basit, sembolik mantıkta bileşiktir; iki cevap da doğrudur, soru hangisini istediğini söyler. İkinci tuzak: “mantıksal değişmez” ile “önerme eklemi” aynı şeydir — “ve, veya, ise, ancak ve ancak” için ikisi de kullanılır. Üçüncü tuzak: sembolik mantığın bir çıkarımı “denetleyebilmesi”, o çıkarımın geçerli olduğu anlamına gelmez; sembolik mantık biçimi ele alır ve denetler, klasik mantık ise anlam ilişkisi yoksa çıkarımı baştan kabul etmez.
Günlük dilde ifade edilmiş olan önerme ve çıkarımları sembolik mantık diline çevirmeye “sembolleştirme” denir.
Sembolik mantıkta önerme eklemlerinin iki temel işlevi vardır:
Sembolleştirme sırası: önce basit önermeler, sonra önerme eklemleri, sonra eklemlerin sembolleri aracılığıyla basit önermelerin birbiriyle ilişkisi gösterilir; bileşik önermeleri birbirinden ayırmak ve çok anlamlılığın önüne geçmek için parantez kullanılır.
Beş eklem, beş kart. Canvas ortada sembolü büyük yazar; solunda günlük dildeki karşılığı, sağında önermenin adı; altta örnek önerme ve onun sembolik hâli durur. Değilleme eklemi tek önerme alır, ötekiler iki önermeyi birleştirir — canvas bunu kutu sayısıyla gösterir.
| Önerme eklemi | Sembolü | Günlük dilde | Örnek önerme | Sembolik | Önermenin adı |
|---|---|---|---|---|---|
| Değilleme eklemi | ~ | değil | Çocuk kötü değildir. | ~p | Değilleme önermesi |
| Tümel evetleme eklemi | ∧ | ve | Ayşe ve Ahmet avukattır. | p ∧ q | Tümel evetleme önermesi |
| Tikel evetleme eklemi | ∨ | veya | Mahmut evde oturacak veya arkadaşlarıyla görüşecektir. | p ∨ q | Tikel evetleme önermesi |
| Koşul eklemi | → | ise | Meltem sinemaya giderse mutludur. | p → q | Koşul önermesi |
| Karşılıklı koşul eklemi | ↔ | ancak ve ancak | İnsan ancak ve ancak çalışırsa başarılı olur. | p ↔ q | Karşılıklı koşul önermesi |
Karşılıklı koşul eklemi yer yer ⇔ biçiminde de gösterilir; ikisi aynı eklemdir.
Yedi çözümlü örnek. Canvas cümleyi üç katmanda çözer: üstte Türkçe cümle (basit önermeler ve eklemler renkli), ortada her parçanın hangi harfe ya da hangi sembole karşılık geldiği, altta tamamlanmış sembolik hâl. Parantez gereken örneklerde parantezin neden orada olduğu da yazar.
Bir bileşik önermede birden çok eklem olabilir, ama yalnız biri önermenin tamamını yönetir. Sembolik mantıktaki bileşik önermelerde sadece bir tane ana eklem bulunur.
Dört sembolik önerme. Canvas ifadeyi büyük yazar, ana eklemi daire içine alır ve altında ana bileşenleri köşeli parantezlerle işaretler: solda ön bileşen, sağda art bileşen. Değilleme örneklerinde tek bir ana bileşen vardır — çünkü ~ tek önerme üzerinde çalışır. Sağdaki kutuda ifadenin Türkçe karşılığı durur.
Tarife uyar ve kaliteli malzeme kullanırsa lezzetli yemek yapar.
Bu bileşik önermenin ana eklemi günlük dildeki kullanımı “ise” şeklinde olan koşul (→) eklemidir. Ana bileşenleri (p ∧ q) ve r önermeleridir. Ana eklemden önceki önerme olan (p ∧ q) ön bileşen, sonraki önerme olan r art bileşendir.
Ahmet ve Mehmet başarılıdır.
Bu bileşik önermenin ana bileşeni p ve q önermeleri, ana eklemi de günlük dilde kullanımı “ve” şeklinde olan tümel evetleme (∧) eklemidir. Ana eklemden önceki önerme olan p ön bileşen, sonraki önerme olan q art bileşendir.
Ali çalışkan değildir.
Ana eklem ~ (değilleme), ana bileşen pdir. Değilleme tek bir önerme üzerinde çalıştığı için burada ön/art bileşen ayrımı yoktur.
Hasan aşçı veya marangoz değildir.
Ana eklem yine ~dır, ana bileşen (p ∨ q)dur. Parantez burada kritiktir: değilleme parantezin tamamını kapsar. Parantez olmasaydı (~p ∨ q) değilleme yalnız pyi etkilerdi ve ana eklem ∨ olurdu — bambaşka bir önerme.
Üç çıkarım örneği. Canvas üç satırı Türkçe yazar, her satırın altına o satırın sembolik hâlini koyar; en altta üç satır birleşip tek satırlık sembolik hâl çıkar. Öncüller virgülle, sonuç ⊢ ile ayrılır; bileşik öncüller parantez içine alınır.
Kutuya “koşul”, “parantez” ya da “ancak” yaz; tablo anında süzülür.
Parantez, ana eklemin yerini değiştirir. ~(p ∨ q) ile ~p ∨ q aynı önerme değildir: birincisinin ana eklemi ~, ikincisininki ∨dur. Parantez kuralı bu yüzden vardır: bileşik önermeleri birbirinden ayırmak ve çok anlamlılığın önüne geçmek için parantez işareti kullanılır. İkinci tuzak: ana eklem, ilk yazılan eklem değildir — (p ∧ q) → r’de ilk eklem ∧dır ama ana eklem →dir; ana eklem önermenin tamamını etkileyendir. Üçüncü tuzak: “⊢” bir önerme eklemi değildir; öncülleri sonuçtan ayıran “o hâlde” işaretidir, doğruluk değeri hesaplanan bir bağlantı kurmaz.
Bir cümle gelir: hangi eklem var, sembolik hâli nedir, ana eklemi hangisidir, klasik ve sembolik mantığa göre basit mi bileşik mi?
50 soruluk test · sembolik mantığa geçiş, önermenin yapısı, klasik ve sembolik mantıkta basit-bileşik ayrımı, beş önerme eklemi, sembolleştirme kuralları, ana eklem ve çıkarımın sembolleştirilmesi
Klasik mantığın sembolleştirilmiş biçimine sembolik mantık ya da modern mantık denir. Klasik mantıktaki çok anlamlılık, belirsizlik ve bulanıklığa bir alternatif olarak geliştirilmiş, kesin çıkarımlara ulaşılması hedeflenmiştir.
Klasik mantık günlük dili ve anlamları kullandığı için içeriğin etkisindedir. Sembolik mantık sembollerle kurulmuş biçimsel ifadelerle çalışır, önermelerin biçimsel yönüyle ilgilenir; önermeleri harf, işaret ve kurallarla göstererek bu sembolik ifadeleri denetlemeyi amaçlar.
Sembolik mantık iki değerli mantık (önermeler mantığı, niceleme mantığı) ve çok değerli mantık (üç değerli mantık, bulanık mantık) gibi sistemleri içinde barındırır. İki değerli mantık, doğruluk ölçütü olarak doğru ve yanlış değerlerini kabul eden mantık sistemidir.
Önermeler doğru ya da yanlış değer alabilen yani bir doğruluk değerine sahip olan cümlelerdir. En yalın hâliyle bir önerme biri özne ve diğeri yüklemi karşılayan en az iki terim ve bunları birbirine bağlayan bir bağdan oluşur. (Madde yer kaplayandır.)
Basit önerme tek yargı bildiren, bileşik önerme birden fazla yargı bildiren önermedir. Önerme eklemleri (mantıksal değişmezler): ve, veya, ise, ancak ve ancak. “Değil” ifadesi klasik mantıkta önerme eklemi değildir.
Basit önerme: önerme eklemi almayan önermedir. Bileşik önerme: önerme eklemi alan önermedir. Sembolik mantıkta “değil” ifadesi de önerme eklemidir ve kullanıldığı önermeyi bileşik yapar. “Bulut pembe değildir.” klasikte basit, sembolikte bileşiktir.
Çıkarım, bir veya birden çok önermeden yeni önerme ya da önermeler elde etmektir. Kullanılan önermeler öncül, elde edilen sonuç önermesidir. Sembolik mantık çıkarımlarında sembollerin doğru kurulup kurulmadığı önemlidir ve öncüller “⊢” (o hâlde) eklemi ile bağlanır.
Günlük dilde ifade edilmiş olan önerme ve çıkarımları sembolik mantık diline çevirmeye “sembolleştirme” denir. Basit önermeler p, q, r, s, t gibi harflerle; önerme eklemleri ~, ∧, ∨, →, ↔ biçiminde sembolleştirilir. Önerme gruplarını ayırmak için ( ), [ ], { } kullanılır.
~ değilleme eklemi (değil) → değilleme önermesi. ∧ tümel evetleme eklemi (ve) → tümel evetleme önermesi. ∨ tikel evetleme eklemi (veya) → tikel evetleme önermesi. → koşul eklemi (ise) → koşul önermesi. ↔ karşılıklı koşul eklemi (ancak ve ancak) → karşılıklı koşul önermesi.
1) İki ya da daha fazla basit önermeyi birleştirmek suretiyle bileşik önerme elde etmeye yarar. 2) Önermelerin tutarlılık, geçerlilik, eş değerliği ile çıkarımların geçerliliğini denetlemeyi sağlar.
Ana bileşen: bileşik önermeleri oluşturan önermeler. Ön bileşen: önerme ekleminden önceki önerme. Art bileşen: önerme ekleminden sonraki önerme. Ana eklem: önermenin tamamını etkileyen, bileşenleri bağlayan temel önerme eklemi. Bileşik önermelerde sadece bir tane ana eklem bulunur.
(p ∧ q) → r — ana eklem →, ön bileşen (p ∧ q), art bileşen r.
p ∧ q — ana eklem ∧, ön bileşen p, art bileşen q.
~p — ana eklem ~, ana bileşen p.
~(p ∨ q) — ana eklem ~, ana bileşen (p ∨ q).
Brokoli ve avokado yeşildir → (p ∧ q) · Okula otobüsle veya metro ile gidecek → (p ∨ q) · Hazal müzik dinlerse huzur bulur → (p → q) · Öğretmen ancak ve ancak idealist ise başarılı olur → (p ↔ q) · Maydanoz suyu sağlıklıdır ve lezzetli değildir → (p ∧ ~q) · Derse hazırlıklı gider ve düzenli tekrar yaparsa dersi geçer → (p ∧ q) → r · İnsan bencil ve kötü ise mutlu değildir → (p ∧ q) → ~r · İnsan yardımsever ise sevilir ve mutlu olur → [p → (q ∧ r)]
Önce öncüller, bileşik olanlar parantez içinde; sonra sonuç önermesi;
“o hâlde, öyleyse” ifadeleri “⊢” ile gösterilir.
(p → q), p ⊢ q · (p ↔ q), p ⊢ q · p, q ⊢ r