Sembolü sınama zamanı
Geçen ünitede cümleyi sembole çevirdin. Şimdi o sembolün doğru mu yanlış mı olduğunu sınayacaksın. Yol tek: bileşenlere bütün olası değerleri tek tek verip sonucun ne olduğuna bakmak. Bu tabloya doğruluk çizelgesi deniyor ve bir önermenin tutarlı, geçerli mi olduğunu, iki önermenin eşdeğer olup olmadığını, bir çıkarımın geçerli olup olmadığını hep bu tabloyla denetleyeceksin.
Sembolik mantıkta iki farklı doğruluk değeri alabilen sembolleştirilmiş önermelere doğru ya da yanlış değer verilmesine yorumlama denir. Bileşik önermelerin doğruluk değerini gösteren çizelgeler doğruluk çizelgesi ya da doğruluk tablosu olarak isimlendirilir.
Doğruluk çizelgesinde doğru değer için “D”, yanlış değer için “Y” sembolü kullanılır.
Başka bir değer yok. İki değerli mantıkta bir önerme ya D’dir ya Y — arası yoktur. (Ünite sonunda göreceğin çok değerli mantık tam da bu kuralı esnetir.)
Önermelerin yorumlama satır sayısı “2ⁿ” formülü ile hesaplanır. Bu formülde kullanılan “n” bileşen sayısını ifade eder.
n, önermede geçen farklı harf sayısıdır — harfin kaç kez tekrarlandığı değil. “p ∧ (p → q)” önermesinde iki farklı harf var, satır sayısı 4’tür.
Değerler rastgele yazılmaz. En soldaki bileşen yarı yarıya bölünür (üst yarı D, alt yarı Y), sağa gidildikçe blok boyu yarıya iner. Böylece hiçbir olasılık atlanmaz ve hiçbiri iki kez yazılmaz.
Kaydırağı sürükleyerek bileşen sayısını (n) değiştir. Canvas, o bileşen sayısı için bütün yorumlamaları yani 2ⁿ satırın tamamını çizer; solda 2ⁿ hesabı, sağda tablonun kendisi görünür. Sütun başlıkları kaydırakla birlikte p, q, r, s diye artar; her sütundaki D–Y bloğunun boyunun nasıl yarıya indiğini gör.
n = 1 → 2¹ = 2 satır
“Ekler tatlıdır.” (p)
p
D
Y
n = 2 → 2² = 4 satır
“Köpek sevimlidir.” (p) · “Sincap kemirgendir.” (q)
p q
D D
D Y
Y D
Y Y
n = 3 → 2³ = 8 satır
“Kuş kanatlıdır.” (p) · “Geyik boynuzludur.” (q) · “Ayı kürklüdür.” (r)
D D D · D D Y · D Y D · D Y Y · Y D D · Y D Y · Y Y D · Y Y Y
Her eklemin kendi kuralı var ve bu kurallar ezberlenmez — biri hariç hepsi tek cümlelik bir mantıkla akılda kalır. Zor olan tek eklem koşul (→); onu ayrıca ele alacağız.
Beş düğme, beş eklem. Canvas o eklemin dört satırlık doğruluk çizelgesini çizer: sol iki sütun bileşenlerin değeri, sağdaki geniş sütun sonucun değeri. Sonucu D olan satırlar yeşil, Y olan satırlar kırmızı çerçeveyle işaretlenir — böylece “kaç satırda doğru?” sorusunun cevabını saymadan görürsün. Üstteki şeritte o eklemin günlük dildeki karşılıkları yazar.
Değilleme eklemleri önüne geldiği önermenin doğruluk değerini değiştirir. Doğru değeri alan bir önermeyi yanlış; yanlış değeri alan bir önermeyi doğru yapar.
Çifte değilleme kuralına göre bir
önermenin değilinin değili yine kendisidir.
Şeyma sarışındır. (p) · Şeyma sarışın değildir. (~p) ·
Şeyma sarışın olmayan değildir. (~~p)
Günlük dilde “ve”, “hem … hem”, “da … da”, “ile” gibi sözcüklerle ifade edilen “∧” eklemiyle kurulan tümel evetleme önermesinin doğru olması için bütün bileşenlerinin aynı anda doğru olması gerekir.
Kadir çalışkan ve disiplinlidir. (p ∧ q) — tek bir Y bütün önermeyi Y yapar.
Günlük dilde “veya”, “ya da”, “ya … ya”, “yahut” gibi sözcüklerle ifade edilen “∨” eklemiyle kurulan tikel evetleme önermesinin doğru olması için bileşenlerinden bir tanesinin doğru olması gerekir. Tikel evetleme önermesinin tüm bileşenleri yanlış ise sonuç yanlış olur.
Bu saatte kursta ya da evdedir. (p ∨ q) — ikisi birden doğruysa da sonuç D’dir.
Günlük dilde “ise”, “yeter ki”, “için … gereklidir”, “koşuldur” gibi sözcüklerle ifade edilen “→” eklemiyle kurulan koşul önermesinde ön bileşen doğru art bileşen yanlış ise sonuç yanlış, diğer bütün durumlarda doğru olur.
Uykusunu alır ise keyifli olur. (p → q) — tek Y satırı D → Y satırıdır, kalan üç satır D’dir.
Günlük dilde “ancak ve ancak”, “gerekli ve yeterli koşul”, “tek koşulu”, “birbirini gerektiren” gibi sözcüklerle ifade edilen “↔” eklemiyle kurulan karşılıklı koşul önermesinde, ön ve art bileşen olmak üzere her iki önermenin aynı doğruluk değerine sahip olduğu durumlarda sonuç doğru, farklı değer aldığı durumda sonuç yanlış olur.
Toplumlar ancak ve ancak bilimi rehber edinirse ilerler. (p ↔ q) — “aynı mı?” diye sor, cevabı D/Y olarak yaz.
İkisi de dört satırın üçünde D verir gibi görünür ama farklı satırlarda. ∨ yalnız Y Y satırında Y verir; ↔ ise D Y ve Y D satırlarında Y verir ve Y Y satırında D verir.
Kısası: “ikisi de yanlış” durumunda ∨ yanlış, ↔ doğrudur. Sınavda en çok karışan iki satır bunlar.
Aşağıdaki çizelgede p ve q sütunları hazır, kalan altı sütun boş. Her hücreye tıkla: nokta → D → Y → nokta diye döner. Hepsini doldurunca Denetle düğmesine bas; doğru hücreler yeşil, yanlışlar kırmızı, boş bıraktıkların kesikli kırmızı çerçeve alır. Genel çizelgenin aynısıdır — ezberlemeden önce bir kez kendin kurmalısın.
Tutarlılık sorusu şudur: “Bu önermenin doğru olabileceği hiç mi bir durum yok?” Cevabı sütunun tamamına bakarak verirsin, tek satıra bakarak değil.
Bileşik bir önermenin tutarlılığı denetlenirken:
Denetlenen bileşik önermenin doğruluk tablosundaki yorumunda en az bir satırda doğru (D) değeri bulunuyorsa bu önermeye tutarlı önerme denir.
Hiçbir satırda doğru (D) değeri bulunmuyorsa, tüm satırlarda yanlış (Y) değeri alıyorsa bu önermeye tutarsız önerme denir.
Denetlenen önerme tüm yorumlarında doğru (D) değeri alıyorsa bu önermeye totoloji denir.
İkinci çözümlü örnek: (~p → q) ∧ ~q önermesinin tutarlılığı. Ara sütunları (~p, ~q, ~p → q) ve son sütunu kendin doldur, sonra Denetle’ye bas. Son sütunda tek bir D bulman yeter: önerme tutarlıdır. (Hangi satırda çıktığına da bak — cevap 2. satır.)
Birden fazla önermenin bir arada tutarlılığını denetlemek için: Önermeler yan yana yazılıp aralarına virgül konulur. Sonra önermelerin doğruluk değerleri bulunur.
Verilen önermeleri aynı anda doğru kılan ortak doğrulayıcı bir satır bulunuyorsa önermeler birbiriyle tutarlıdır. Bu tutarlılık, doğruluk çizelgesinde aynı doğruluk değerini gösteren yatay dizilişin altının çizilmesi ile gösterilir.
Dikkat: burada aranan şey her önermenin ayrı ayrı tutarlı olması değil, hepsinin aynı satırda birden D olmasıdır. Üç önerme tek tek tutarlı olabilir, yine de bir arada tutarsız olabilirler.
Sekiz düğme, sekiz çözümlü örnek. Canvas her örneğin tam doğruluk çizelgesini çizer: üstte sütun başlıkları, altta dört satır. Karar sütunu (ya da birden fazla önerme varsa hepsi birden) kalın çerçeveyle ayrılır; ortak doğrulayıcı satırın altı çizilir — “yatay dizilişin altının çizilmesi” dediği gösterim budur. Sağ altta hükmü yazar: tutarlı · tutarsız · totoloji · geçerli · geçersiz · eşdeğer · eşdeğer değil.
Bir önermenin doğrulayıcı yorumları (D aldığı satırlar) bir küme oluşturur. Dört denetleme kavramının tamamı, bu iki kümenin birbirine göre durumundan okunur. Düğmelere bas: Venn şeması her seferinde başka bir ilişki çizer — eşit çemberler, ayrık çemberler, kısmen örtüşen çemberler, iç içe çemberler.
Tutarlılıkta bir D arıyorduk; geçerlilikte tam tersi, bir Y arıyoruz. Bulursak önerme geçersizdir. Bulamazsak geçerlidir — ve aynı zamanda totolojidir.
Her geçerli önerme tutarlıdır ancak her tutarlı önerme geçerli değildir.
Birbirinden bağımsız birden fazla önermenin bir arada geçerliliğinin denetlenmesi mümkün değildir.
İkincisi sınavda tuzak olarak kullanılır: “Şu üç önermenin bir arada geçerliliğini denetleyiniz” diyen bir soru kökü baştan hatalıdır. Bir arada denetlenebilen tek şey tutarlılıktır.
Verilen iki önermenin doğruluk değerleri her satırda aynı ise yani her iki önerme de aynı anda aynı doğruluk değerini alıyorsa bu iki önerme eş değerdir. Eş değerlik “≡” sembolüyle gösterilir.
Örnek: (p ∨ ~q) ile (q → p) her satırda aynı değeri alır, bu yüzden (p ∨ ~q) ≡ (q → p) yazılır. Buna karşılık ~(~p ∧ q) ile (p → ~q) 2. ve 4. satırda aynı, 1. ve 3. satırda farklı değer aldığı için eşdeğer değildir — “bazı satırlarda tutuyor” yetmez, hepsinde tutmalıdır.
Yedi önerme, üç hüküm. Her önerme için doğru kutuya tek bir ✓ koy — bir önerme aynı anda hem tutarsız hem totoloji olamaz, bu yüzden satır başına yalnız bir işaret kabul edilir. İşaretlediğin hücre satırdaki eski işareti kendiliğinden siler. Sonunda Denetle’ye bas.
Bütün çözümlü örnekler tek tabloda. Arama kutusuna bir eklem (“↔”), bir hüküm (“totoloji”) ya da bir denetleme türü (“eşdeğerlik”) yaz; tablo anında süzülür. Sınav öncesi tekrarda “hangi örnek hangi hükmü veriyordu” sorusunu saniyede cevaplar.
Bir çıkarım, sembolik olarak “p, q ⊢ r” şeklinde gösterilir. Bir çıkarımın geçerliliği iki yolla denetlenebilir. İkisi de aynı cevabı verir; sınavda hangisi soruluyorsa o kullanılır.
Öncüller ve sonuç koşul önermesi hâline getirilip geçerlilik denetlenebilir. Bunun için:
p, q ⊢ r ⟶ (p ∧ q) → r
Öncül ve sonuç önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığı denetlenir. Bunun için:
p, q ⊢ r ⟶ p , q , ~r bir arada tutarsız mı?
Dört çıkarım. Üstteki düğmelerle çıkarımı, alttaki kaydırakla dönüşümün adımını seç. Kaydırağı sağa ittikçe canvas çıkarımı adım adım denetlenecek biçime çevirir: 0 ham çıkarım (virgüllü hâli), 1 öncüller ∧ ile bağlanmış, 2 sonuç → ile eklenmiş, 3 doğruluk çizelgesi kurulmuş ve karar sütunu işaretlenmiş. 2. yolu kullanan örneklerde adım 1 sonucun değilini alır, adım 2 üç önermeyi alt alta dizer, adım 3 ortak doğrulayıcı satır arar. Son adımda hükmü belirleyen satır vurgulanır.
| Denetleme | Neye bakılır | Olumlu hüküm | Kaç önerme? |
|---|---|---|---|
| Tutarlılık | Son sütunda en az bir D | tutarlı | bir ya da birden fazla |
| Geçerlilik | Son sütunda hiç Y yok | geçerli (= totoloji) | yalnız bir önerme |
| Eşdeğerlik | İki sütun her satırda aynı | eşdeğer (≡) | tam iki önerme |
| Çıkarımın geçerliliği | 1. yol: hepsi D · 2. yol: ortak D satırı yok | geçerli | öncüller + sonuç |
2. yolda “tutarsız” iyi haberdir: öncüller ve sonucun değili bir arada tutarsızsa çıkarım geçerlidir. Oysa 3. bölümde “tutarsız” olumsuz bir hükümdü. Aynı kelime, ters yön.
Nedeni basit: sonucun değilinin öncüllerle birlikte doğru olabildiği bir satır bulmak, öncüller doğruyken sonucun yanlış olduğu bir durum bulmak demektir — bu da çıkarımı devirir. Böyle bir satır bulunamıyorsa çıkarım ayakta kalır.
Karışık sırayla bir çizelge sütunu ya da bir denetleme sorusu gelir: tutarlı mı, tutarsız mı, totoloji mi? Eşdeğer mi? Çıkarım geçerli mi? Cevabını seç, açıklamayı anında oku.
50 soruluk test · yorumlama ve satır sayısı, beş eklemin doğruluk çizelgesi, tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarımların iki yolla denetlenmesi
Sembolik mantıkta iki farklı doğruluk değeri alabilen sembolleştirilmiş önermelere doğru ya da yanlış değer verilmesine yorumlama denir. Bileşik önermelerin doğruluk değerini gösteren çizelgeler doğruluk çizelgesi ya da doğruluk tablosu olarak isimlendirilir. Doğru değer için “D”, yanlış değer için “Y” sembolü kullanılır.
Önermelerin yorumlama satır sayısı “2ⁿ” formülü ile hesaplanır. Bu formülde kullanılan “n” bileşen sayısını ifade eder. n = 1 → 2 satır · n = 2 → 4 satır · n = 3 → 8 satır · n = 4 → 16 satır.
~p · değeri ters çevirir, ~~p ≡ p
p ∧ q · yalnız D D satırında D
p ∨ q · yalnız Y Y satırında Y
p → q · yalnız D Y satırında Y
p ↔ q · aynı değerlerde D, farklıda Y
En az bir satırda D varsa tutarlı; hiçbir satırda D yoksa tutarsız; tüm yorumlarında D alıyorsa totoloji. Birden fazla önermede aranan şey ortak doğrulayıcı satırdır; bulunursa önermeler bir arada tutarlıdır ve o yatay dizilişin altı çizilir.
Bütün yorumlamaları doğru değerini alıyorsa, yani yanlışlayıcı yorumu yoksa önerme geçerlidir. Geçerli önermeler totolojidir. Bir tek yanlışlayıcı yorum var ise önerme geçersizdir. Her geçerli önerme tutarlıdır ancak her tutarlı önerme geçerli değildir. Birbirinden bağımsız birden fazla önermenin bir arada geçerliliğinin denetlenmesi mümkün değildir.
Verilen iki önermenin doğruluk değerleri her satırda aynı ise bu iki önerme eş değerdir. Eş değerlik “≡” sembolüyle gösterilir. Örnek: (p ∨ ~q) ≡ (q → p). ~(~p ∧ q) ile (p → ~q) ise 1. ve 3. satırda ayrıştığı için eşdeğer değildir.
Öncüller arasındaki virgül “∧” eklemine dönüştürülür, sonuç önermesi öncüllere “→”
eklemiyle bağlanır ve elde edilen koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. Tüm
satırlarda D alıyorsa çıkarım geçerlidir.
[(p → q) ∧ ~p] → q son satırda Y aldığı için o çıkarım
geçersizdir.
Öncüller olduğu gibi, sonuç önermesinin değili alınır; her biri ayrı önerme gibi düşünülür. Geçerli bir çıkarımda öncüllerin ve sonucun değillemesinin bir arada tutarsız olması gerekir. Ortak doğrulayıcı satır bulunursa çıkarım geçersizdir.
1 · ∨ ile ↔: “Y Y” satırında ∨ yanlış, ↔ doğrudur.
2 · “tutarsız” kelimesi: tek önermede olumsuz hüküm, çıkarımın 2. yolunda ise
geçerlilik kanıtıdır.