Tek uzunluk,
tüm cisim
Silindirde iki ölçü (r ve h), konide üç ölçü (r, h, l) vardı. Kürede tek bir ölçü var: yarıçap. Alan 4πr², hacim 4/3·πr³ — ikisi de yalnız r’ye bağlı. Bu ünitenin açılamayan bir açınımı da yok: küre yüzeyi düzleme yayılamaz, bu yüzden dünya haritaları hep bozuk çıkar.
Tanım, çemberin tanımının uzaydaki karşılığıdır: uzayda sabit bir O noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların birleşim kümesine küre yüzeyi ve bu yüzeyle sınırlanan katı cisme küre denir. Düzlemdeki tanımda “düzlemde” yazıyordu, burada “uzayda” yazıyor; sonuç, çizgi yerine bir yüzey oluyor. Adlandırmalar da aynı mantıkla geliyor: sabit olan O noktasına kürenin merkezi, O noktası ile küre yüzeyi arasındaki sabit olan uzaklığa ise kürenin yarıçap uzunluğu denir. Şekildeki gösterimle kürenin yarıçapı [OA], yarıçap uzunluğu ise |OA| = r olur. Küre de silindir ve koni gibi bir dönel cisimdir: bir yarım daire, çapı etrafında 360° döndürüldüğünde taradığı bölge küre şeklinde olur.
Küre yüzeyi, O’dan eşit uzaklıktaki noktaların birleşimidir — yalnız kabuk. Küre ise bu yüzeyle sınırlanan katı cisimdir — içi de dâhil. Çember ile daire arasındaki ayrımın aynısıdır.
Sabit O noktası kürenin merkezi, O ile küre yüzeyi arasındaki sabit uzaklık kürenin yarıçap uzunluğudur. Kürenin bütün ölçüleri yalnız bu tek uzunluktan hesaplanır.
Döndürülen şey bir yarım dairedir (bölge), yarım çember değil. Yalnız yarım çemberi (çizgiyi) döndürseydin ortaya küre yüzeyi çıkardı, katı küre değil. Ayrıca dönme ekseni çaptır; başka bir doğru etrafında döndürüldüğünde küre elde edilmez.
Küre yüzeyinin düzlemle olan ara kesiti bir çemberdir. Bu çembere küre çemberi denir. Eğer küre çemberi, kürenin merkezinden geçiyorsa buna kürenin büyük çemberi denir. Silindirde kesit düzlemin yönüne göre daire ya da dikdörtgen oluyordu; kürede hangi yönden keserseniz kesin sonuç hep çemberdir — çünkü kürenin ayrıcalıklı bir yönü yoktur. Değişen tek şey çemberin büyüklüğüdür. Kesen düzlemin merkeze uzaklığı d ve kürenin yarıçapı r olsun; merkezden kesit çemberinin bir noktasına çizilen yarıçap, dik kenarları d ve kesit yarıçapı r₁ olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoreminden r₁ = √(r² – d²) çıkar. Buradan doğrudan görülür ki d = 0 olduğunda r₁ = r olur ve kesit en büyük hâlini alır: bu, merkezden geçen kesit yani büyük çemberdir. d büyüdükçe kesit küçülür, d = r olduğunda düzlem küreye teğettir ve ortak nokta tektir; d > r olduğunda ara kesit yoktur.
Küre yüzeyinin düzlemle olan ara kesitidir ve her zaman bir çemberdir — elips ya da başka bir eğri değil.
Küre çemberi kürenin merkezinden geçiyorsa buna kürenin büyük çemberi denir. Yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir; bu yüzden çevresi 2πr, çevrelediği dairenin alanı πr² olur.
Büyük çemberin çevrelediği dairenin alanı πr², kürenin yüzey alanı ise 4πr²’dir. Yani küre yüzeyi, büyük çember dairesinin tam dört katıdır. İkisini karıştırmak sonucu dörde böler.
Merkezi O ve yarıçap uzunluğu r olan kürenin alanı = 4·π·r²’dir. Bu bağıntının akılda kalan hâli şudur: küre yüzeyi, kendi büyük çemberinin çevrelediği dairenin dört katıdır (4 · πr²). Ders kitabının Arşimet için düştüğü notta da geçtiği gibi, geometriye yaptığı en önemli katkılardan biri bir kürenin yüzölçümünün 4·π·r² ve hacminin ise 4/3·π·r³ olduğunu kanıtlamasıdır. Küre yüzeyinin silindir ve koniden ayrıldığı önemli bir nokta da var: silindirin yan yüzeyi dikdörtgene, koninin yan yüzeyi daire dilimine açılabiliyordu; küre yüzeyi ise hiçbir biçimde bozulmadan düzleme yayılamaz. Dünya haritalarının ya alanları ya da açıları bozması bundandır.
Yarım kürenin yalnız kubbe kısmı 2πr²’dir. Ama kesit yüzeyi de kapalıysa oraya bir büyük çember dairesi eklenir ve toplam 2πr² + πr² = 3πr² olur. Soruda “kapalı yarım küre” mi “kubbe” mi denildiğine bak.
Sorularda ölçü çoğu zaman çap olarak verilir (top, bilye, dünya). Formüller yarıçapla yazıldığı için önce ikiye bölmek gerekir. Çapı 6 olan kürenin alanı 4π·36 değil, 4π·9 = 36π’dir.
Merkezi O ve yarıçap uzunluğu r olan kürenin hacmi = 4/3·π·r³’tür. Bağıntıdaki r’nin üçüncü kuvvette olması kürenin en belirleyici özelliğidir: yarıçapı iki katına çıkan bir topun yüzeyi dört katına çıkarken hacmi sekiz katına çıkar. Bu üç bağıntı arasında akılda kalıcı bir de ilişki var. Yarıçapı r olan bir küreyi, tam içine sığdığı silindirin (taban yarıçapı r, yüksekliği 2r) ve aynı taban ile yüksekliğe sahip koninin hacimleriyle karşılaştır: koni ⅓·πr²·2r = 2/3·πr³, küre 4/3·πr³, silindir πr²·2r = 2πr³ olur. Sadeleştirilirse oran 1 : 2 : 3 çıkar. Arşimet notunda söylendiği gibi bu bağıntıları kanıtlayan da Arşimet’tir; pek çok matematik tarihçisine göre integral hesabın kaynağı da Arşimet’tir.
2/3·πr³. Hacim ikiye bölünür, alan gibi ek bir yüz eklenmez — hacimde “kapak” diye bir şey yoktur.
Alanda r², hacimde r³ vardır. Yarıçap k katına çıkarsa alan k², hacim k³ katına çıkar. Yarıçap 3 katına çıkarsa alan 9, hacim 27 katına çıkar.
Kürede tek ölçü olduğu için hesap kolaydır; zor olan, alan mı hacim mi sorulduğunu fark etmektir. Kaplıyorsan r², dolduruyorsan r³.
Topun derisi 4πr², içindeki hava 4/3·πr³ kadardır. Bir numara büyük top almak deri maliyetini az, hava hacmini çok artırır.
Küre yüzeyi düzleme bozulmadan yayılamadığı için haritalarda Grönland olduğundan çok büyük görünür. Silindir ve koninin açınımı vardı, kürenin yok.
Ekvator, Dünya’nın bir büyük çemberidir: merkezden geçer ve mümkün olan en büyük çemberdir. Uçakların iki şehir arasında büyük çember yayını izlemesinin sebebi de budur — en kısa yol.
Kaşığın çapını biraz büyütmek topun hacmini küple büyütür. Çapı %20 büyük bir top, yaklaşık %73 daha fazla dondurma demektir.
Bir misketin hacmini ölçmek için silindir bardaktaki suyun yükselmesine bakılır; çıkan değer 4/3·πr³’e eşit olmalıdır.
Köpük kabarcıkları küre olur, çünkü aynı hacmi en küçük yüzey alanıyla saran şekil küredir. Yüzey gerilimi bu şekli kendiliğinden seçer.
Yarım küre biçimli kubbenin boyanacak iç yüzeyi 2πr², tabanına serilecek zemin ise πr²’dir. İkisi ayrı hesaplanır.
Küresel bir oyun haritasında iki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgi değil, büyük çember yayıdır. Ekranda eğri görünmesinin sebebi budur.
Bir portakalı ikiye böl, kesit yüzeyinin dairesini kâğıda çiz ve kabuğu parçalayıp o dairelerin içine yerleştir: kabuk tam dört daireyi doldurur. 4πr² bağıntısının elle görülebilen hâli budur.
Küre yüzeyi, merkez ve yarıçap, küre çemberi ile büyük çember, 4πr² alan ve 4/3πr³ hacim bağıntıları üzerine 50 soruluk test.
Uzayda sabit bir O noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların birleşim kümesine küre yüzeyi, bu yüzeyle sınırlanan katı cisme küre denir.
Sabit O noktası kürenin merkezi, O ile küre yüzeyi arasındaki sabit uzaklık kürenin yarıçap uzunluğudur (|OA| = r).
Bir yarım daire, çapı etrafında 360° döndürüldüğünde taradığı bölge küre şeklinde olur.
Küre yüzeyinin düzlemle olan ara kesiti bir çemberdir; bu çembere küre çemberi denir. Kesen düzlem hangi yönde olursa olsun sonuç çemberdir.
Küre çemberi kürenin merkezinden geçiyorsa buna kürenin büyük çemberi denir. Yarıçapı r, çevresi 2πr’dir ve küre çemberlerinin en büyüğüdür.
Düzlemin merkeze uzaklığı d ise kesit çemberinin yarıçapı r₁ = √(r² – d²)’dir. d = 0 iken büyük çember, d = r iken düzlem küreye teğettir.
Alan = 4·π·r². Küre yüzeyi, büyük çemberin çevrelediği dairenin dört katıdır.
Hacim = 4/3·π·r³. Yarım kürenin hacmi 2/3·πr³’tür.
Taban yarıçapı r ve yüksekliği 2r olan koni, yarıçapı r olan küre ve aynı ölçülerdeki silindirin hacimleri 2/3πr³ : 4/3πr³ : 2πr³ = 1 : 2 : 3 oranındadır. Bu bağıntıları kanıtlayan Arşimet’tir.
Küre alanı 4πr², büyük çember dairesi πr² — dört kat fark.
Ölçü çap olarak verilirse önce ikiye böl.
Kapalı yarım kürenin alanı 3πr², yalnız kubbe 2πr².
r k katına çıkarsa alan k², hacim k³ katına çıkar.