Kes ve aç:
bir dikdörtgen çıkar
Silindirin yan yüzeyini bir ana doğru boyunca kesip düzleme yayarsan elde ettiğin şey bir dikdörtgendir: bir kenarı silindirin yüksekliği, ötekisi taban dairesinin çevresi. Bu tek gözlemden yanal alan 2πrh, yüzey alanı 2πrh + 2πr² ve dilimleme yoluyla da hacim πr²h çıkar.
Silindir sıfırdan kurulur. Uzaydaki bir düzlemde bir k kapalı eğrisi ile bu düzleme paralel olmayan bir d doğrusu verilmiş olsun. k eğrisini kesen ve d doğrusuna paralel olan doğruların kümesine silindirik yüzey denir. Burada k eğrisine silindirik yüzeyin dayanak eğrisi, d doğrusuna paralel olan doğruların her birine silindirik yüzeyin ana doğrusu denir. Yüzey sonsuz uzundur; onu sonlu bir cisme çeviren şey iki düzlemdir: silindirik yüzey ile bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisme silindir denir. Düzlem ile oluşan kesitlerin her birine silindirin tabanı denir. Buradan iki özel ad çıkıyor: ana doğrunun tabanı kestiği noktada, tabandan geçen bütün doğrulara dik olan silindire dik silindir, tabanları daire olan dik silindire dik dairesel silindir denir. Uyarı şu: bundan sonraki çalışmalarda kolaylık olması için “silindir” denildiğinde “dik dairesel silindir” anlaşılmalıdır.
Dayanak eğrisi k, yüzeyin üzerine oturduğu kapalı eğridir. Ana doğru ise d’ye paralel olup k’yı kesen doğrulardan her biridir. Dik dairesel silindirde dayanak eğrisi çember, ana doğrular tabana diktir.
Silindirin tabanlarının merkezinden geçen doğruya silindirin ekseni denir. Silindirin tabanları arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği denir ve dik dairesel silindirde yükseklik aynı zamanda ana doğru parçasının uzunluğudur.
Yükseklik ile ana doğru uzunluğunun eşit olması dik silindire özgüdür. Ana doğrular tabana dik değilse (eğik silindir) ana doğru parçası yükseklikten uzundur; yükseklik yine iki taban düzlemi arasındaki dik uzaklıktır. Bu ünitedeki bütün bağıntılar dik dairesel silindir içindir.
Aynı cisim bir de dönme yoluyla üretilir: dikdörtgensel bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile dönel silindir elde edilir. Dik dairesel silindire dönel silindir de denir. Dikdörtgenin eksen üzerindeki kenarı silindirin yüksekliği, eksene dik olan kenarı ise taban yarıçapı olur. Kesitler de iki cümlede veriliyor: silindir ile silindirin tabanlarına dik bir düzlemin kesişimi dikdörtgendir; silindir ile silindirin tabanlarına paralel bir düzlemin kesişimi dairedir. Eksenden geçen dik kesit, kenarları 2r ve h olan dikdörtgendir; buna eksenel kesit denir.
Kesit dikdörtgendir. Düzlem eksenden geçiyorsa kesit en büyük hâlini alır: kenarları 2r ve h, alanı 2rh.
Kesit dairedir ve bu daire tabanla eştir: yarıçapı r, alanı πr². Düzlemi yukarı aşağı kaydırman kesiti değiştirmez — silindirin her yatay kesiti aynıdır.
Eksenel kesitin bir kenarı 2r’dir, r değil. “Eksenel kesiti kare olan silindir” denirse bu h = 2r demektir; h = r sanmak bütün hesabı ikiye böler.
Açınım şöyledir: taban yarıçap uzunluğu r, yüksekliği h olan silindirin açınımında silindirin yan yüzeyi bir dikdörtgen; tabanları, birbirine eş dairelerdir. Silindirin yüzey alanı, oluşan dikdörtgenin alanı ve iki taban dairesinin alanları toplamıdır. Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu silindirin yüksekliğine, bu kenara dik olan kenar uzunluğu dairenin çevre uzunluğuna eşittir. Sembollerle: yanal yüzey alanı YA, taban alanı TA, tüm yüzey alanı SA olmak üzere YA = taban çevre uzunluğu · yükseklik = 2πrh, TA = πr², taban alanları toplamı = 2TA = 2πr² ve SA = YA + 2TA = 2πrh + 2πr² olur.
2πrh + 2πr² ifadesinde 2πr ortak paranteze alınırsa 2πr(h + r) çıkar. Aynı bağıntının kısa yazılışıdır; işlemi hızlandırır.
Kapalı bir silindirde iki taban vardır, bu yüzden 2πr² eklenir. Ama soru üstü açık bir kova ya da iki ucu açık bir boru diyorsa taban sayısı 1 ya da 0’dır: sırasıyla 2πrh + πr² ve yalnız 2πrh yazılır. Metni okumadan formül yazma.
Hacim doğrudan şöyledir: dik dairesel silindirin hacmi (V) = Taban Alanı · Yükseklik, yani V = π·r²·h ile bulunur. Nereden geldiğini de gösteriyor: yarıçap uzunluğu r, yüksekliği h olan bir silindir 8 eş dilime bölünüp elde edilen dilimler yan yana dizilsin; aynı silindir 16 eş dilime bölünüp dizildiğinde şeklin kıvrımları azalır. Şeklin alt ve üst taban alanları silindirin yanal alanının yarısıdır. Silindirin yarıçap uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir; bu şekilde silindir daha çok dilime bölünüp elde edilen dilimler yan yana dizilirse şekil giderek dikdörtgenler prizmasına benzeyecektir ve dikdörtgenler prizmasının hacmi π·r²·h olur. Buradan da hacim π·r²·h bulunur.
Dilimler dizilince oluşan dikdörtgenler prizmasında taban dikdörtgeninin bir kenarı yanal alanın yarısına düşen πr, öteki kenarı r, yüksekliği ise h olur. Hacim: πr · r · h = πr²h.
Yarıçapı iki katına çıkarırsan hacim dört katına; yüksekliği iki katına çıkarırsan yalnız iki katına çıkar. Aynı miktarda malzemeyi tutmak için kabı genişletmek, uzatmaktan çok daha etkilidir.
Yuvarlak ve düz duvarlı olan her kap silindirdir. Soru hep aynı yerden ayrılır: kaplayacak mısın (alan), dolduracak mısın (hacim)?
Matara kaç litre alıyor sorusunun cevabı πr²h’dir. Etiketin kapladığı yer ise 2πrh — yani mataranın gövdesini saran dikdörtgen.
Etiketi dikkatlice sökersen elinde tam bir dikdörtgen kalır: bir kenarı kutunun yüksekliği, ötekisi taban çevresi. Açınımın kendisi budur.
Rulonun ortası boş olduğu için hacmi iki silindirin farkıdır: πR²h – πr²h. İçi boş boru hesaplarının tamamı bu mantıkla yapılır.
Silindir biçimli kalemliğin üstü açıktır: kaplama için gereken malzeme 2πrh + πr²’dir, 2πr² değil. Kaç taban olduğu her zaman metinden okunur.
Silindir bardakta her yatay kesit aynı daire olduğu için su seviyesi düzgün yükselir. Aynı miktarda suyu koni bardağa koyarsan seviye düzgün yükselmez — kesit alanı değişir.
Davulun derisi iki taban dairesi, gövdesi ise yan yüzeydir. Deri değiştirmenin maliyeti 2πr²’ye, gövdeyi kaplamanın maliyeti 2πrh’ye bağlıdır.
Kalem pil bir dik dairesel silindirdir. Aynı yükseklikte ama daha kalın bir pilin hacmi, yarıçap kareyle girdiği için orantısız biçimde büyür.
Okul gösterisinde podyumun etrafını kumaşla kaplayacaksan hesaplayacağın şey yanal alandır: 2πrh. Üstüne halı da serilecekse bir taban alanı eklenir.
Silindir bardaktaki suya cisim atınca seviye Δh kadar yükselirse cismin hacmi πr²·Δh’dir. Şekli düzgün olmayan bir cismin hacmi böyle ölçülür.
Silindirik yüzey, dik dairesel silindir, kesitler, açınım, yanal ve tüm yüzey alanı ile hacim üzerine 50 soruluk test.
Bir k kapalı eğrisini kesen ve düzleme paralel olmayan bir d doğrusuna paralel olan doğruların kümesidir. k dayanak eğrisi, doğruların her biri ana doğrudur.
Silindirik yüzey ile bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisimdir. Kesitlerin her biri silindirin tabanıdır.
Ana doğrunun tabanı kestiği noktada tabandan geçen bütün doğrulara dik olan silindir dik silindir, tabanları daire olan dik silindir dik dairesel silindirdir.
Eksen, tabanların merkezinden geçen doğrudur. Yükseklik, tabanlar arasındaki uzaklıktır ve dik silindirde ana doğru parçasının uzunluğuna eşittir.
Dikdörtgensel bölgenin y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilir; dik dairesel silindire dönel silindir de denir.
Tabanlara dik düzlemle kesişim dikdörtgen, tabanlara paralel düzlemle kesişim dairedir.
Yan yüzey bir dikdörtgen, tabanlar birbirine eş dairelerdir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik, buna dik kenar taban çevresidir.
YA = 2πrh · TA = πr² · SA = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r).
V = Taban Alanı · Yükseklik = π·r²·h. Silindir eş dilimlere bölünüp dizilince şekil dikdörtgenler prizmasına yaklaşır ve aynı sonuç çıkar.
Eksenel kesitin kenarı 2r’dir, r değil.
Üstü açık kapta taban bir tanedir (2πrh + πr²).
r hacimde karede, h birinci kuvvette: r iki katına
çıkarsa hacim dört, h iki katına çıkarsa iki katına çıkar.