Bir uzaklık
bir denkleme dönüşür
Tanım şu: düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir. Bu tek cümleyi iki nokta arası uzaklık bağıntısıyla yazınca ortaya (x – a)² + (y – b)² = r² çıkar. Denklemi açıp düzenleyince de x² + y² + Dx + Ey + F = 0 elde edilir. Bu ünitede aynı çemberin iki yüzünü ve bir doğrunun ona nasıl yaklaştığını göreceksin.
Sırayla şunlar geçerlidir: düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir; sabit noktaya çemberin merkezi, çember üzerindeki herhangi bir noktanın merkeze olan uzaklığına ise çemberin yarıçapı denir. Dik koordinat sisteminde A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) arasındaki uzaklık, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak |AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) ile hesaplanır. Şimdi M(a, b) merkezli, r yarıçaplı çember üzerinde bir P(x, y) noktası al: tanım gereği |MP| = r, yani √((x – a)² + (y – b)²) = r. Her iki tarafın karesi alınırsa (x – a)² + (y – b)² = r² elde edilir. Bu denkleme çemberin standart denklemi denir ve çember üzerindeki bir P(x, y) noktası çemberin denklemini sağlar.
|AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²). Bu bağıntı, iki noktayı dik kenarları eksenlere paralel bir dik üçgenin köşeleri sayıp Pisagor teoremini uygulamaktan çıkar.
(x – a)² + (y – b)² = r². Parantezlerin içindeki işaretler eksidir; merkez (a, b) okunurken işaret ters çevrilir. (x + 3)² gördüğünde merkezin apsisi –3’tür.
Sağ tarafta duran sayı yarıçapın kendisi değil, karesidir. (x – 1)² + (y + 2)² = 9 denkleminde yarıçap 9 değil 3’tür. Sağ taraf 5 gibi tam kare olmayan bir sayıysa yarıçap √5 olur, bu da geçerlidir.
Altı özel durum vardır ve hepsi aynı standart denklemden çıkar: merkezi orijinde olan çemberde x² + y² = r²; merkezi x ekseni üzerinde olanda merkezin koordinatları M(a, 0) olacağından (x – a)² + y² = r²; merkezi y ekseni üzerinde olanda merkezin koordinatları M(0, b) olacağından x² + (y – b)² = r²; y eksenine teğet ise r = |a| olur ve (x – a)² + (y – b)² = a²; x eksenine teğet ise r = |b| olur ve (x – a)² + (y – b)² = b²; her iki eksene de teğet ise r = |a| = |b| olur ve merkezin bulunduğu bölgeye göre dört ayrı yazılış ortaya çıkar. Buradaki bütün mantık tek cümlede toplanabilir: merkezin bir eksene uzaklığı, o eksene teğetlik durumunda yarıçapa eşittir.
Her iki eksene de teğet çemberde merkez (±r, ±r) biçimindedir. Verilen dört yazılış şöyle: I. bölgede (x – r)² + (y – r)² = r², II. bölgede (x + r)² + (y – r)² = r², III. bölgede (x + r)² + (y + r)² = r², IV. bölgede (x – r)² + (y + r)² = r².
y eksenine teğetlik şartı r = |a|’dır, r = a değil. Merkezi (–4, 1) olan ve y eksenine teğet çemberin yarıçapı 4’tür; yarıçap negatif olamaz. Aynı biçimde x eksenine teğetlikte r = |b| yazılır.
Standart denklem şöyle düzenlenir: (x – a)² + (y – b)² = r² açılırsa x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 elde edilir. Burada –2a = D, –2b = E ve a² + b² – r² = F alınırsa x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denklemi çıkar; buna çemberin genel denklemi denir. Geri dönüş de aynı yerden okunuyor: çemberin merkezi M(–D/2, –E/2), yarıçapı r = ½·√(D² + E² – 4F) olarak bulunur. Kök içindeki ifade her şeyi belirler: D² + E² – 4F > 0 ise verilen denklem çember belirtir, D² + E² – 4F = 0 ise bir nokta belirtir, D² + E² – 4F < 0 ise gerçek sayılar kümesinde çember belirtmez.
M(–D/2, –E/2) ve r = ½·√(D² + E² – 4F). Merkez için katsayının yarısını al ve işaretini ters çevir; yarıçap için kök içini hesapla.
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 denkleminin çember belirtmesi için iki şart veriyor: C = 0 olmalıdır ve x² ile y² li terimlerin katsayıları eşit (A = B ≠ 0) olmalıdır. Sonra denklem, bu katsayılar 1 olacak biçimde düzenlenir ve genel çember denklemi elde edilerek çember olma şartı incelenir.
2x² + 2y² – 8x + 4y – 6 = 0 denkleminde merkezi doğrudan (4, –2) diye okursan yanılırsın. Önce tamamı 2’ye bölünür: x² + y² – 4x + 2y – 3 = 0. Buradan D = –4, E = 2 ve merkez (2, –1), yarıçap ½·√(16 + 4 + 12) = √8 = 2√2 çıkar.
Bu konu iki ayrı yoldan anlatılabilir ve ikisi de aynı sonucu verir. Birinci yol — uzaklık: doğru ile çemberin birbirine göre durumları, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığına göre değerlendirilir. Merkezi M, yarıçapı r olan çember ile herhangi bir d doğrusu için üç durum vardır: |MH| > r ise doğru çemberi kesmez, |MH| = r ise doğru çembere teğettir, |MH| < r ise doğru çemberi iki noktada keser. İkinci yol — diskriminant: genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 olan çember ile y = mx + n doğrusunun ortak çözümü yapılır; çember denkleminde y yerine mx + n yazılarak ax² + bx + c = 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ = b² – 4ac olmak üzere: Δ < 0 ise kök yoktur, doğru çemberi kesmez; Δ = 0 ise çift katlı kök vardır, doğru çembere teğettir ve kök, teğet noktasının apsisidir; Δ > 0 ise farklı iki kök vardır, doğru çemberi iki noktada keser ve kökler kesim noktalarının apsisleridir.
H, merkezden doğruya indirilen dikmenin ayağıdır; |MH| merkezin doğruya en kısa uzaklığıdır. Ax + By + C = 0 doğrusu ve M(x₀, y₀) için |MH| = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) bağıntısı kullanılır. Bu bağıntı analitik geometri ünitesinde verilmişti; burada teğetlik şartını kurmak için kullanılıyor.
Δ = 0 çıktığında bulunan kök teğet noktasının kendisi değil, apsisidir. Noktanın tamamını yazmak için o kökü doğrunun denkleminde yerine koyup ordinatı da hesaplamak gerekir. Aynı biçimde Δ > 0 durumunda çıkan iki kök, kesim noktalarının apsisleridir.
“Bir noktadan şu kadar uzakta olanlar” cümlesini kuran her yerde bir çember denklemi vardır. Ekranda çizilmesi gereken şey de tam olarak (x – a)² + (y – b)² = r² eşitliğini sağlayan noktalardır.
Harita uygulaması “konumun 300 m çevresi” dediğinde merkez senin koordinatın, r ise 300’dür. Bir kafenin o çemberin içinde kalıp kalmadığı, koordinatlarını (x – a)² + (y – b)² ifadesinde yerine koyup r² ile karşılaştırarak anlaşılır.
Bir oyunda bombanın etki alanı çemberdir. Karakterin hasar alıp almadığına merkeze uzaklığı ile r’yi karşılaştırarak karar verilir — küçükse içeride, eşitse tam sınırda, büyükse dışarıda.
Modemin kapsama alanı yaklaşık bir dairedir. İki modemin çemberi kesişiyorsa ortak bölgede iki sinyal de yakalanır; teğetse tam bir noktada, ayrıksa aralarında sinyalsiz bir boşluk kalır.
Saha çizgisi boyanırken merkez ve yarıçap verilir. Sahayı koordinat düzlemi sayarsan orta yuvarlak merkezi orijinde bir çemberdir: x² + y² = r².
Yuvarlak bir halıyı duvara tam yaslarsan merkezinin duvara uzaklığı yarıçapa eşit olur. Duvarı eksen sayarsan bu, eksene teğet çember durumudur: r = |a|.
Yuvarlak sehpayı odanın köşesine iki duvara da değecek biçimde iterek koyarsan merkezi köşeden iki yönde de r kadar uzaktadır. Bu tam olarak her iki eksene teğet çemberdir: merkez (r, r).
Uygulama “kalkış noktandan en fazla 500 m” diyorsa uçabileceğin bölge bir dairedir. Uçuş rotan düz bir doğruysa, bu doğrunun sınır çemberini kesip kesmediği uyarı verilip verilmeyeceğini belirler.
Servisin düz caddeden geçen güzergâhı bir doğru, evinin “yürüme mesafesi” dairesi bir çemberdir. Servis o daireden geçiyorsa binebilirsin; bu, merkezin doğruya uzaklığının r’den küçük olması demektir.
Robot, şarj istasyonundan en fazla belirli bir uzaklığa açılır. Odanın duvarını doğru, menzili çember sayarsan duvara teğet durum, robotun duvara tam değip döndüğü sınırdır.
Standart ve genel çember denklemi, özel çemberler, eksenlere teğetlik ve çember-doğru durumları üzerine 50 soruluk test.
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Sabit nokta merkez, eşit uzaklık yarıçaptır.
|AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²). Pisagor teoreminin koordinat düzlemindeki yazılışıdır.
M(a, b) merkezli, r yarıçaplı çember: (x – a)² + (y – b)² = r². Çember üzerindeki her P(x, y) noktası bu denklemi sağlar.
Merkez orijinde: x² + y² = r² · merkez x ekseninde: (x – a)² + y² = r² · merkez y ekseninde: x² + (y – b)² = r².
y eksenine teğetse r = |a|, x eksenine teğetse r = |b|, her ikisine de teğetse r = |a| = |b| olur ve merkez (±r, ±r) biçimindedir.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0, burada D = –2a, E = –2b, F = a² + b² – r².
M(–D/2, –E/2) ve r = ½·√(D² + E² – 4F).
D² + E² – 4F > 0 ise çember, = 0 ise bir nokta, < 0 ise gerçek sayılarda çember belirtmez. Ayrıca Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 için C = 0 ve A = B ≠ 0 olmalıdır.
|MH| > r kesmez · |MH| = r teğet · |MH| < r iki noktada keser. Diskriminantla: Δ < 0, Δ = 0, Δ > 0.
Sağ taraftaki sayı r değil r²’dir.
Merkez okunurken işaret ters çevrilir ((x + 3)² → a = –3).
Genel denklemde x² ve y² katsayıları 1 değilse önce bölünür.
Δ’dan çıkan kökler nokta değil, apsistir.