Bir sayı,
bütün daireler
Tanım şu: herhangi bir dairenin çevre uzunluğunun çap uzunluğuna oranı sabit bir sayı olup elde edilen bu orana π sayısı denir. Büyük ya da küçük fark etmez — her dairede aynı oran çıkar. Bu tek sabitten çevre 2πr, alan πr² ve daire diliminin bütün bağıntıları türetilir.
Daire şöyle tanımlanır: bir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Yani çember yalnız çizgidir, daire ise içini de kapsayan bölgedir. π sayısı için: herhangi bir dairenin çevre uzunluğunun çap uzunluğuna oranı sabit bir sayı olup elde edilen bu orana π sayısı denir. Daire dilimi de burada tanımlanıyor: bir dairede herhangi bir yayın ve yayın uç noktalarını daire merkeziyle birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgeye daire dilimi denir.
Merkeze eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu eğri çizgidir. Alanı yoktur; ölçülebilen şey uzunluğudur.
Çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimidir; yani bir bölgedir ve alanı vardır. “Dairenin çevresi” dendiğinde kastedilen, bu bölgenin sınırı olan çemberin uzunluğudur.
Bir yay ile onun uçlarını merkeze birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgedir. Pizza dilimi gibi düşün: iki düz kenar ve bir yay kenar.
O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğu 2πr olur; çevre = 2πr formülü ile hesaplanır. Yay uzunluğu ise oranla bulunuyor: O merkezli ve r yarıçaplı çember yayının tamamının derece türünden ölçüsü 360°’dir ve 360°’lik yayın uzunluğu çemberin çevresi olan 2πr’dir. Buradan m(AOB) = α merkez açısının gördüğü yayın uzunluğu |AB| = 2πr · α/360 ile bulunur. Yani yay, çevrenin α/360 kadarıdır — 90°’lik yay çevrenin dörtte biri, 180°’lik yay yarısıdır.
Çevre = 2πr. Çap 2r olduğu için çevre, çapın π katıdır — π sayısının tanımının doğrudan yazılışı.
|AB| = 2πr · α/360. α = 360° konursa bütün çevre, α = 180° konursa yarısı çıkar. Formül aslında bir orantıdır.
Bir yayın ölçüsü derece cinsindendir ve yarıçapa bağlı değildir; uzunluğu ise birim cinsindendir ve yarıçapla doğru orantılıdır. Yarıçapı iki katına çıkarırsan 60°’lik yay yine 60° kalır ama uzunluğu iki katına çıkar.
Bağıntı çok kısa: Daire Diliminin Çevresi = 2r + |AB|. Dilimin sınırı üç parçadan oluşur — iki yarıçap ve bir yay. Yay uzunluğu da 2πr · α/360 olduğundan çevre 2r + 2πr · α/360 biçiminde yazılabilir. Buradaki en sık yapılan hata, iki yarıçapı unutup yalnız yayı yazmaktır; oysa dilimin çevresi kapalı bir sınırdır ve düz kenarları da içerir.
[OA] + [OB] + AB yayı. İlk ikisi r uzunluğunda düz kenar, üçüncüsü ise eğri kenardır. Toplamı 2r + 2πr · α/360’dır.
α = 180° olan dilim yarım dairedir. Çevresi 2r + πr’dir, yalnız πr değil — çünkü çap da sınırın bir parçasıdır. Aynı şekilde çeyrek dairenin (α = 90°) çevresi 2r + πr/2’dir.
Dairenin alanı πr²’dir; nereden geldiği de bellidir: r yarıçaplı daire 8 eş dilime bölünüp elde edilen dilimler yan yana dizildiğinde elde edilen şekil bir paralelkenara benzemektedir; 16 eş dilime bölünüp aynı şekilde dizilirse şeklin kıvrımları azalır; daha çok dilime bölünüp dizilirse şekil giderek bir dikdörtgene benzeyecektir ve buradan dikdörtgenin alanından yararlanarak dairenin alanı πr² olur. Daire dilimi için de aynı orantı mantığı kullanılıyor: Alan = πr² · α/360.
Çevre bağıntılarında r birinci kuvvetten, alan bağıntılarında ikinci kuvvettendir. Bu yüzden yarıçap iki katına çıkarsa çevre iki katına, alan dört katına çıkar. Üç katına çıkarsa çevre üç, alan dokuz katına çıkar. Pizza seçerken işe yarayan bilgi tam olarak budur.
Yuvarlak olan her şeyin ölçüsü bu iki formülden çıkar. Hangisini kullanacağını da tek soru belirler: kenarını mı ölçüyorsun, içini mi?
Çapı iki katı olan pizza dört kat hamur demektir, iki kat değil. Alan r² ile büyür; iki küçük pizza bir büyüğü çoğu zaman tutmaz.
Tekerlek bir tam dönüşte 2πr kadar yol alır. Kilometre sayacı bu formülle çalışır: dönüş sayısını çevre ile çarpar.
Sekiz eş dilime bölünmüş pastada her dilim 45°’lik bir daire dilimidir ve alanı bütünün 45/360 = 1/8’i kadardır.
Dıştaki kulvarın yarıçapı daha büyük olduğu için bir turda daha çok yol alınır. Fark 2π·(r₂ – r₁) kadardır; bu yüzden start çizgileri kaydırılır.
Yelkovan 15 dakikada 90°’lik yay çizer; ucunun aldığı yol 2πr · 90/360’dır. Uzun yelkovan aynı sürede daha çok yol alır, açı ise aynıdır.
Üç sayı yayını boyamak için gereken boya yay uzunluğuna, potanın altındaki boyalı alan için gereken boya ise alana bağlıdır.
Yuvarlak masaya örtü alırken alan, kenarına kurdele çekerken çevre hesaplanır. Aynı masa, iki farklı formül.
Kabin bir turda 2πr yol alır. Dolabın yarıçapı iki katına çıkarsa aynı sürede iki kat yol alınır; oysa kapladığı alan dört kat olur.
Şemsiyenin çapını yarım metre büyütmek gölge alanını orantısız biçimde artırır — çünkü alan yarıçapın karesiyle değişir.
Daire, π sayısı, çevre, yay uzunluğu, dilim çevresi ve alan bağıntıları üzerine 50 soruluk test.
Bir çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine daire denir. Çember çizgidir, daire bölgedir.
Çevre uzunluğunun çap uzunluğuna oranıdır ve her dairede aynı sabit sayıyı verir.
Bir yayın ve yayın uç noktalarını merkezle birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgedir.
Çevre = 2πr. 360°’lik yayın uzunluğu da budur.
α merkez açısının gördüğü yayın uzunluğu |AB| = 2πr · α/360.
Daire Diliminin Çevresi = 2r + |AB|, açık hâliyle 2r + 2πr · α/360. İki yarıçap unutulmamalıdır.
Alan = πr². Daire eş dilimlere bölünüp yan yana dizildiğinde şekil dikdörtgene yaklaşır; dilim sayısı arttıkça kıvrımlar azalır ve dikdörtgenin alanından πr² çıkar.
Alan = πr² · α/360. Dilim, dairenin α/360 kadarıdır.
Dilimin çevresi yalnız yay değildir: iki yarıçap da
sınırın parçasıdır (yarım dairede 2r + πr).
Yayın ölçüsü yarıçapa bağlı değildir, uzunluğu
bağlıdır.
Yarıçap k katına çıkarsa çevre k katına, alan k² katına çıkar. Sebebi çevre bağıntılarında r’nin birinci, alan bağıntılarında ikinci kuvvette olmasıdır.