Kes ve aç:
bir daire dilimi çıkar
Silindirin yan yüzeyi açılınca dikdörtgen oluyordu; koninin yan yüzeyi açılınca bir daire dilimi oluşur. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu l, yay uzunluğu ise taban çevresi 2πr’dir. Buradan α/360 = r/l ve YA = πrl çıkar. Hacimde ise silindirle arasında değişmeyen bir oran var: 1/3.
Silindirde bütün doğrular birbirine paraleldi; konide hepsi tek bir noktadan geçiyor. Kurulan sıra şu: uzayda kapalı bir E eğrisi ile bu eğrinin düzlemi dışında bir T noktası olsun. T noktasından geçen ve E eğrisini kesen doğruların kümesine konik yüzey denir. T noktasına konik yüzeyin tepe noktası, konik yüzeyi oluşturan doğruların her birine konik yüzeyin ana doğrusu denir. Cismin kendisi de buradan çıkıyor: bir konik yüzeyin sınırladığı bölgeye koni denir. Ardından iki daraltma geliyor: tabanı daire olan konilere dairesel koni ve dairesel koninin tabanının merkezi ile tepe noktasından geçen doğruya koninin ekseni denir; ekseni taban düzlemine dik olan konilere dik koni, dik koninin tabanı daire şeklinde ise bu koniye dik dairesel koni denir. Uyarı silindirdekiyle aynı: bundan sonraki çalışmalarda kolaylık olması için “koni” denildiğinde “dik dairesel koni” anlaşılmalıdır.
Silindirik yüzeyde ana doğrular birbirine paraleldir; konik yüzeyde hepsi T tepe noktasından geçer. Tek fark budur ve bütün bağıntı farklarının kaynağı da odur.
Dairesel koninin tabanının merkezi ile tepe noktasından geçen doğruya koninin ekseni denir. Bu eksen taban düzlemine dikse koni dik konidir; tabanı da daireyse dik dairesel konidir.
Tepe noktası taban merkezinin tam üstünde değilse koni eğiktir ve ana doğruların uzunlukları birbirinden farklı olur. πrl bağıntısı bütün ana doğruların eşit olmasına dayandığı için eğik konide geçerli değildir. Hacim bağıntısı ⅓·πr²h ise eğik konide de geçerlidir, ama bu ünitede yalnız dik dairesel koni çalışılıyor.
Elemanlar şöyle adlandırılır: taban dairesinin merkezi O noktası olan bir dik dairesel konide ana doğrusu [TA] ve [TB], yüksekliği [TO] ve taban yarıçapı [OB] olur. Bu üç uzunluk birbirinden bağımsız değildir. T tepe noktası, O taban merkezi ve B taban çemberi üzerinde bir nokta olmak üzere TOB üçgeni O köşesinde diktir — çünkü dik konide eksen [TO] taban düzlemine diktir, [OB] ise taban düzlemi içindedir. Dik üçgene Pisagor teoremi uygulanırsa l² = r² + h² bağıntısı çıkar; burada l ana doğru uzunluğudur. Bu bağıntı ana doğruyu yarıçap ve yükseklikten, yüksekliği ana doğru ve yarıçaptan hesaplamayı sağlar ve konide sorulan neredeyse her soruda ilk adım budur.
l hipotenüs olduğu için l > r ve l > h’dir. Bir soruda ana doğru yarıçaptan küçük verilmişse veri tutarsızdır.
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17) üçlüleri konide sürekli karşına çıkar. r ve h bunlardan ikisiyse l üçüncüsüdür.
Yanal alanda ana doğru l, hacimde yükseklik h kullanılır. En sık yapılan hata πrl yerine πrh yazmaktır. “Yanal alan → l, hacim → h” diye ezberle; ikisi yalnız h = l olsaydı eşit olurdu, o da imkânsızdır.
Koni, ana doğrusu [TA] boyunca kesilirse yan yüzey düzleme yayılır ve ortaya bir daire dilimi çıkar. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu l, yay uzunluğu ise taban çemberinin çevresi 2πr’dir. Dilimin merkez açısı α olmak üzere bağıntı şudur: daire diliminden r/l = α/360° olur. Alan da buradan çıkıyor: daire diliminin yüzey alanı YA olmak üzere, YA = πrl ile hesaplanır. Tabanla birlikte tüm yüzey alanı ise koninin taban alanı TA, yüzey alanı A olmak üzere A = YA + TA = πrl + πr² ile hesaplanır. Bağıntının nereden geldiğini görmek istersen: dilimin alanı πl²·(α/360) ve α/360 = r/l olduğundan πl²·(r/l) = πrl çıkar.
Bu orantı, açınım dilimi ile koni arasında gidip gelmeyi sağlar. Dilimin merkez açısı verilip yarıçap istendiğinde r = l·α/360, koninin ölçüleri verilip dilimin açısı istendiğinde α = 360·r/l yazılır. Bağıntının kaynağı basit: dilimin yay uzunluğu 2πl·α/360, aynı zamanda taban çevresi 2πr’dir; ikisi eşitlenir.
“Açınımı yarım daire olan koni” denirse α = 180°’dir, yani r/l = 1/2 ve l = 2r. Buradan h = √(l² – r²) = r√3 çıkar. Aynı biçimde çeyrek daire açınımda l = 4r olur.
Taban dairesinin yarıçap uzunluğu r birim ve yüksekliği h birim olan koninin hacmi (V) = ⅓ · Taban Alanı · Yükseklik = ⅓ · π · r² · h şeklinde hesaplanır. Bu üçte bir katsayısı tesadüf değil; sebebi de bellidir: prizma ve piramit arasındaki ilişkinin aynısı silindir ile koni arasında da vardır. Silindirin hacmi ile koninin hacimleri arasında da 1/3 oranının olduğu görülür. Yani taban yarıçapı ve yüksekliği aynı olan bir silindir ile bir koni alırsan, koni silindirin tam üçte biri kadar yer kaplar — koniyi doldurup silindire üç kez boşaltırsan silindir tam dolar.
Piramidin hacmi, aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizmanın üçte biridir. Silindir bir “yuvarlak prizma”, koni de bir “yuvarlak piramit” gibi düşünülebilir; bu yüzden aynı 1/3 oranı burada da geçerlidir.
Hacimde r karede, h birinci kuvvettedir: yarıçapı iki katına çıkarmak hacmi dört, yüksekliği iki katına çıkarmak iki katına çıkarır. Ayrıca yükseklik değişirse ana doğru da değişir; hacim sorusundan alan sorusuna geçerken l’yi yeniden hesaplamak gerekir.
Bir tabanı olup tek noktada sivrilen her cisim konidir. İki soruyu ayırmak yeterli: yüzeyini mi kaplıyorsun (l gerekir), içini mi dolduruyorsun (h gerekir)?
Külahın alacağı dondurma ⅓πr²h, gofretin kendisi ise πrl kadar yer kaplar. Külahın tabanı olmadığı için πr² eklenmez.
Kâğıttan parti şapkası tam olarak bir daire dilimidir; kenarları yapıştırılınca koni olur. Dilimin yarıçapı şapkanın ana doğrusu, yayı ise kafanın çevresidir.
Turuncu trafik konisini boyamanın maliyeti yanal alana, içine kum doldurmanın maliyeti hacme bağlıdır. Aynı cisim, iki ayrı bağıntı.
Hoparlörün titreşen parçası koni biçimindedir. Kâğıdın kesildiği kalıp bir daire dilimidir ve merkez açısı α = 360·r/l ile hesaplanır.
Yere dökülen kum kendiliğinden koni yığını yapar. Yığındaki kum miktarı ⅓πr²h’dir; taban yarıçapını iki katına çıkarmak miktarı dört katına çıkarır.
Sinemada konik külah ile silindir kova aynı yüksekliğe ve ağız genişliğine sahipse külah kovanın üçte biri kadar mısır alır — fiyat farkını buradan değerlendir.
Konik çadırın kumaşı πrl, içindeki hava hacmi ⅓πr²h’dir. Direği uzatmak hacmi doğrusal artırır ama kumaş ihtiyacını da artırır, çünkü l = √(r² + h²) büyür.
Huniden akan sıvı için “ne kadar kaldı” sorusu, kalan kısmın da bir koni olmasından yararlanılarak çözülür: seviye yarıya inince hacim sekizde bire düşer, yarıya değil.
Şapkanın alt kenarına şerit çekeceksen ölçtüğün şey taban çevresi 2πr’dir; kâğıt keseceksen ölçtüğün şey dilim alanı πrl. Karıştırılması en kolay iki ölçü.
Konik yüzey, dik dairesel koni, açınım dilimi, α/360 = r/l bağıntısı, yanal alan, yüzey alanı ve hacim üzerine 50 soruluk test.
Kapalı bir E eğrisi ve düzlemi dışındaki bir T noktası için T’den geçen ve E’yi kesen doğruların kümesidir.
T noktası tepe noktası, yüzeyi oluşturan doğruların her biri ana doğrudur.
Konik yüzeyin sınırladığı bölge konidir. Tabanı daire olan dairesel koni, ekseni taban düzlemine dik olan dik koni, ikisi birden olan dik dairesel konidir.
Tabanın merkezi ile tepe noktasından geçen doğrudur. Dik konide bu eksen taban düzlemine diktir ve uzunluğu koninin yüksekliğidir.
Taban merkezi O olan konide ana doğru [TA] ve [TB], yükseklik [TO], taban yarıçapı [OB]’dir. Aralarındaki bağıntı l² = r² + h².
Koni bir ana doğru boyunca kesilirse yan yüzey bir daire dilimi olur; yarıçapı l, yayı 2πr’dir ve r/l = α/360° bağıntısı geçerlidir.
YA = πrl. Burada kullanılan uzunluk yükseklik değil ana doğrudur.
A = YA + TA = πrl + πr² = πr(l + r). Konide taban tek tanedir.
V = ⅓ · Taban Alanı · Yükseklik = ⅓ · π · r² · h. Prizma–piramit ilişkisinin aynısı silindir–koni arasında da vardır: 1/3 oranı.
Yanal alanda l, hacimde h kullanılır.
Koninin tek tabanı vardır, silindirin iki.
Açınımı yarım daire ise l = 2r, çeyrek daire ise l = 4r.
l her zaman r ve h’den büyüktür — hipotenüstür.