Aynı taban,
üçte bir hacim.
Piramidin hacmi, aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip prizmanın üçte biridir. Konu özeti bunu "NEDEN Mİ?" başlığıyla ispatlıyor: bir üçgen dik prizma, hacimleri eşit üç piramide ayrılabiliyor. Geometri bloğu bu üniteyle kapanıyor.
Konu özetinin tanımı: bir çokgen ile bu çokgenin düzlemi dışında bir T noktası alınsın. Çokgene ait noktalarla T noktasından geçen doğruların kümesine piramidal yüzey denir. T noktasına tepe noktası denir. Bir piramidal yüzeyin yanal yüzeyini ve bütün ayrıtlarını kesen bir düzlemle sınırlanan katı cisme piramit denir; şekildeki piramit (T, ABCDE …) ile gösterilir.
Tepe noktası ile çokgene ait herhangi bir kenarın tüm noktalarını birleştiren doğru parçaları üçgensel bölge oluşturur; bunların tümüne yanal yüzey denir. Şekilde TAB, TBC, TCD, TDE … üçgenleri yanal yüzlerdir.
Piramitler tabanındaki çokgenin kenar sayısına göre adlandırılır: üçgen piramit, dörtgen piramit, beşgen piramit, altıgen piramit…
[TA], [TB], [TC], [TD], [TE] … piramidin yanal ayrıtları; [AB], [BC], [CD], [DE] … taban ayrıtları olarak adlandırılır.
Konu özeti: tepe noktası ile piramidin tabanı olan çokgenin ağırlık merkezini birleştiren doğru parçası çokgenin düzlemine dik ise bu piramitlere dik piramit, bu doğru parçasının uzunluğuna ise dik piramidin yüksekliği denir. Altıgen dik piramit örneğinde G altıgenin ağırlık merkezidir; [TG] yüksekliktir ve piramit (T, ABCDEF) ile gösterilir.
Konu özeti: tabanı düzgün çokgen ve yan yüzleri eş ikizkenar üçgen olan dik piramitlere düzgün dik piramit denir. Düzgün piramitte yanal ayrıtlar eştir.
Bir yanal yüzün, tepe noktasından taban ayrıtına inen yüksekliğidir ve h_Y ile gösterilir. Piramidin yüksekliği h ile karıştırılmamalıdır: h piramidin içinden, h_Y ise yüzeyi üzerinden gider.
Bir piramitte üç farklı "yükseklik" benzeri uzunluk vardır ve üçü de farklıdır: piramidin yüksekliği h (tepe → taban merkezi), yan yüz yüksekliği h_Y (tepe → taban ayrıtının orta noktası) ve yanal ayrıt (tepe → taban köşesi). Sıralamaları hep h < h_Y < yanal ayrıt biçimindedir; alan sorularında h_Y, hacim sorularında h kullanılır.
Konu özeti: bir düzgün piramidin yan yüzleri olan eş üçgenlerin alanları toplamına piramidin yanal alanı denir. Bir piramidin taban alanı ile yanal alanı toplamına piramidin yüzey alanı denir. Toplam alan A, taban alanı A_T, yanal alan A_Y, taban çevresi Ç_T ve yan yüz yüksekliği h_Y olmak üzere aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
Her yan yüz, tabanı bir taban ayrıtı ve yüksekliği h_Y olan üçgendir. n tane üçgenin alanı toplanınca taban ayrıtları birleşip taban çevresini verir.
Prizmadan farkı burada görünür: piramitte tek taban vardır, bu yüzden taban alanı iki kez değil bir kez eklenir.
Prizmada yanal alan Ç_T · h idi, piramitte Ç_T · h_Y / 2 oldu. Sebebi yan yüzlerin şeklidir: prizmada dikdörtgen, piramitte üçgen. Üçgenin alanı taban × yükseklik / 2 olduğu için formüle bir 2 ye bölme girdi.
Konu özeti: herhangi bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Ardından "NEDEN Mİ?" başlığıyla ispatı veriyor: bir üçgen dik prizma kesilerek hacimleri eşit üç üçgen piramide ayrılır, dolayısıyla her bir piramidin hacmi prizmanın hacminin 1/3 üdür.
Taban hangi çokgense onun alanı hesaplanır; yükseklik ise h dir, yan yüz yüksekliği değil. Aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip prizma ile piramidin hacimleri arasındaki oran her zaman 3 tür.
Hacim hesabında h_Y kullanılmaz. Soruda çoğu zaman yan yüz yüksekliği ya da yanal ayrıt verilir; piramidin yüksekliği h, taban merkezinden çizilen bir dik üçgende Pisagor ile bulunmalıdır. Aynı biçimde alan hesabında h kullanılmaz.
Konu özetinin tanımı: tüm yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramide düzgün dört yüzlü denir. Bir ayrıtının uzunluğu a birim olan düzgün dört yüzlünün yan yüz yüksekliği a√3/2, yüksekliği a√6/3 ve yüzey alanı a²√3 birimkaredir.
Bir eşkenar üçgenin yüksekliğidir (64. ünite).
Tepe noktasından taban üçgeninin ağırlık merkezine iner.
Dört eş eşkenar üçgen: 4 · a²√3/4 = a²√3.
| Özellik | Dik prizma | Dik piramit |
|---|---|---|
| Taban sayısı | 2 (eş ve paralel) | 1 |
| Yanal yüzler | dikdörtgen | üçgen |
| Yanal alan | Ç_T · h | Ç_T · h_Y / 2 |
| Yüzey alanı | 2·A_T + A_Y | A_T + A_Y |
| Hacim | A_T · h | A_T · h / 3 |
| Tabanı n kenarlı ise ayrıt / yüz / köşe | 3n / n+2 / 2n | 2n / n+1 / n+1 |
Aşağı doğru genişleyen, tepede tek noktada birleşen her şey piramittir. Aynı tabanla prizmanın üçte biri kadar hacim tutması, hem malzemeden tasarruf hem de tepeye doğru azalan ağırlık demektir.
Tek direkli kamp çadırı kare tabanlı bir piramittir. Kumaş hesabı yanal alanla, içine kaç kişi sığacağı ise hacimle ilgilidir.
Dört yüzlü zar (d4) tam bir düzgün dört yüzlüdür; dört yüzü de eşkenar üçgen olduğu için her yüzün gelme olasılığı eşittir.
Üçgen ambalajlar açıldığında dört üçgen çıkar. Karton miktarı yüzey alanı, içine giren miktar ise hacimle bulunur.
Halatlar tepede tek noktada toplanır; her halat bir yanal ayrıttır ve hepsi eşit uzunlukta olduğu için yapı düzgün piramittir.
Markette meyveler piramit biçiminde dizilir. Aynı yüksekliğe kadar kutu doldurmakla karşılaştırılınca çok daha az meyve gider — hacim üçte bire iner.
Bir spot ışığının havada çizdiği koni benzeri hüzme, kare çerçeveli projeksiyonlarda piramide dönüşür: tepe lambada, taban perdededir.
Cam piramit girişlerde kaç metrekare cam gerektiği yanal alanla hesaplanır; taban zemine oturduğu için taban camı sayılmaz.
Bazı setlerin kapağı piramit biçimindedir. Kapağın yüksekliği ile eğik yüzeyinin uzunluğu farklıdır — h ile h_Y ayrımının gündelik hâli.
Dökülen kumun oluşturduğu yığın koniye benzer; aynı taban ve yükseklikte bir silindirin üçte birini doldurur — piramitteki 1/3 kuralının eğri yüzeyli karşılığıdır.
Piramit kavramı ve elemanları, dik piramit ile düzgün dik piramit tanımları, yanal alan ve yüzey alanı bağıntıları, hacim formülü ile konu özetinin NEDEN Mİ? ispatı ve düzgün dört yüzlünün yükseklik, yan yüz yüksekliği ve yüzey alanı bağıntıları üzerine 32 soru.
Bir çokgenin noktaları ile düzlem dışındaki T noktasından geçen doğruların kümesidir; T tepe noktasıdır.
Piramidal yüzeyin yanal yüzeyini ve bütün ayrıtlarını kesen bir düzlemle sınırlanan katı cisimdir.
Tepe noktası, taban, taban ayrıtı, yanal ayrıt, yanal yüz, yükseklik ve yan yüz yüksekliği.
Tepe noktasını tabanın ağırlık merkezine birleştiren doğru parçası taban düzlemine dik olan piramittir.
Tabanı düzgün çokgen, yan yüzleri eş ikizkenar üçgen olan dik piramittir; yanal ayrıtları eştir.
Yan yüzler üçgen olduğu için formülde 2 ye bölme vardır.
Piramitte tek taban olduğu için taban alanı bir kez eklenir.
Aynı taban ve yükseklikteki prizmanın üçte biridir.
Üçgen dik prizma, hacimleri eşit üç üçgen piramide ayrılır; her biri prizmanın 1/3 üdür.
Tüm yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramittir.
Ayrıtı a birim olan düzgün dört yüzlü için konu özetinin verdiği üç bağıntı.
a = 6 için h = 2√6, taban alanı 9√3 ve hacim 18√2 santimetreküptür.