Bir açı 90°,
gerisi kendiliğinden.
Paralelkenarın bir açısı 90° olunca dikdörtgen, kenarları da eşitlenince kare çıkar. Deltoid ise bambaşka bir yoldan gelir: paralellik değil, komşu kenarların ikişer ikişer eşitliği. Üçünün ortak noktası köşegenlerdir — dikdörtgende eşit, karede hem eşit hem dik, deltoidde dik.
Konu özetinin tanımı: açılarından birinin ölçüsü 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. Bir açının dik olması yeter — paralelkenarda ardışık açılar bütünler olduğu için diğer üçü de kendiliğinden 90° olur. ABCD dikdörtgeninde |AB| = |DC| = a, |AD| = |BC| = b ve Ç(ABCD) = 2 · (a + b) dir.
Konu özeti ayrıca |AO| = |OC| = |DO| = |OB| verir: köşegenler hem eşittir hem birbirini ortalar, bu yüzden dört parça da birbirine eşit olur.
Konu özetinde ayrı bir bağıntı olarak verilmiyor ama 65. ünitedeki Pisagor teoreminin doğrudan sonucudur: köşegen, iki kenarın oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür.
Köşegenlerin eşit olması, dik olmasını gerektirmez. Dikdörtgende köşegenler eşittir ama aralarındaki açı 90° değildir — ancak kare olduğunda dikleşirler. Tersi de geçerli: eşkenar dörtgende köşegenler diktir ama eşit değildir.
Konu özetinin bağıntısı: A(ABCD) = |AB| · |BC|. Yanına üç alan özelliği geliyor ve üçü de aynı fikirden çıkıyor: kenarlar paralel olduğu için içerideki üçgenlerin yükseklikleri sabit kalır.
Konu özetinin şeklinde S₁ ve S₂ üstteki iki üçgen, S₁ + S₂ ise alttaki üçgendir; üçgen dikdörtgenin yarısını kaplar.
Köşegenlerin kesim noktası dikdörtgeni dört eşit alanlı üçgene ayırır; her biri alanın dörtte biridir.
Konu özetinin son şeklinde iki küçük üçgen S, ortadaki dörtgen ise 2S olarak etiketlenmiştir.
Konu özetinin tanımı: dört kenar uzunluğu eşit olan dikdörtgene kare denir. Kare aynı zamanda paralelkenar, dikdörtgen ve eşkenar dörtgendir. Yani üç şeklin bütün özelliklerini birden taşır — bu yüzden köşegenleri hem eşit, hem dik, hem açıortaydır.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a ve m(Â) = m(B̂) = m(Ĉ) = m(D̂) = 90° dir.
Köşegenler aynı zamanda açıortaydır (her köşede 45° + 45°); uzunlukları eşittir ve birbirlerini dik ortalarlar.
Bir kenar uzunluğu a birim olan karenin alanı a² birimkaredir.
Köşegen a√2 dir, 2a değil. Kenarı 5 olan karenin köşegeni 10 değil 5√2 ≈ 7,07 dir. Ters yönde de dikkat: köşegeni verilen bir karede alan e²/2 ile bulunur — köşegen aynı zamanda eşkenar dörtgen formülüne (e · f / 2) uyar ve karede e = f olduğu için e²/2 çıkar.
Konu özetinin tanımı: bir ABCD dörtgeninde |DC| = |BC| ve |AD| = |AB| ise bu dörtgene deltoid denir. Burada eşit olan kenarlar karşılıklı değil, komşu kenarlardır. Bu yüzden deltoid paralelkenar ailesinden değildir; onu ayakta tutan şey bir simetri eksenidir.
[AC] ⊥ [BD] olur ve |DK| = |KB| dir — yani bir köşegen diğerini ortalar.
[AC] köşegeni aynı zamanda açıortaydır ve m(CD̂A) = m(CB̂A) olur.
Köşegenler dik olduğu için alan yine köşegen çarpımının yarısıdır.
Deltoidde yalnız bir köşegen diğerini ortalar, ikisi birbirini ortalamaz. Simetri ekseni olan köşegen ([AC]) diğerini ortalar ve açıortaydır; [BD] ise [AC] yi genelde ortalamaz. Eşkenar dörtgende ikisi birden ortalar — aradaki fark budur.
Üç şeklin de ayırt edici işareti köşegenlerdedir. Aşağıdaki tablo dört soruyla karar veriyor: köşegenler eşit mi, dik mi, birbirini ortalıyor mu, açıortay mı?
| Şekil | Eşit mi? | Dik mi? | Ortalar mı? | Açıortay mı? |
|---|---|---|---|---|
| Paralelkenar | hayır | hayır | evet | hayır |
| Dikdörtgen | evet | hayır | evet | hayır |
| Eşkenar dörtgen | hayır | evet | evet | evet |
| Kare | evet | evet | evet | evet |
| Deltoid | hayır | evet | biri diğerini | biri |
Köşegenleri dik kesişen her dörtgende alan e · f / 2 dir. Eşkenar dörtgen, kare ve deltoid bu kümeye girer. Karede e = f olduğu için formül a² ile aynı sonucu verir.
Deltoid, paralelkenar ailesinin dışındadır: karşılıklı kenarları paralel değildir. Ama eşkenar dörtgen hem paralelkenar hem deltoiddir — dört kenarı eşit olduğu için komşu kenar eşitliği şartını da sağlar.
Dikdörtgen düzenin, kare eşitliğin, deltoid ise simetrinin şeklidir. Üçünün de karşına çıktığı yerlerde ölçü almak, tam olarak bu bölümde öğrenilen bağıntıları kullanmak demektir.
Ekran boyutu köşeden köşeye, yani köşegen olarak verilir. 6,1 inç bir ekranın eni ve boyu ayrı ayrı bilinmez; köşegen √(a² + b²) den gelir.
Bir çerçevenin gerçekten dikdörtgen olduğunu anlamak için iki köşegen ölçülür. Eşitse köşeler diktir; farklıysa çerçeve eğrilmiştir.
Klasik uçurtma tam bir deltoiddir; iki çubuk köşegenleri oluşturur ve dik kesişir. Kâğıt hesabı köşegen çarpımının yarısıyla yapılır.
64 kare aynı boyuttadır; fil taşı köşegen boyunca gider ve bir karenin köşegeni kenarının √2 katı olduğu için çapraz adımlar düz adımlardan uzundur.
Kare not kâğıdını köşeden köşeye katladığında iki eş ikizkenar dik üçgen çıkar; katlama çizgisi köşegendir ve her köşedeki 90° yi 45° + 45° olarak böler.
Kaleler kare biçiminde yerleştirilir; birinci kaleden üçüncü kaleye atılan top köşegen boyunca gider ve mesafe kenarın √2 katıdır.
Posteri duvarın tam ortasına asmak için köşegenler çizilir; kesişim noktası hem eni hem boyu ortalar, çünkü dikdörtgende köşegenler birbirini ortalar.
Origaminin ilk adımlarından biri kare kâğıdı deltoide çevirmektir: iki komşu kenar içe katlanınca eşitlenir ve şekil simetri eksenine göre kapanır.
Saha çizilirken önce iki köşegen gerilir; eşit uzunlukta oldukları doğrulanmadan çizgi atılmaz, yoksa taç çizgileri paralel olmaz.
Dikdörtgende açı, uzunluk ve köşegen bağıntıları, Öklid ile çözülen konu özeti örneği, dikdörtgende alan özellikleri, karenin köşegen ve alan bağıntıları, deltoidin tanımı ile köşegen ve alan özellikleri üzerine 36 soru.
Açılarından birinin ölçüsü 90° olan paralelkenardır; diğer üç açı da kendiliğinden 90° olur.
|AB| = |DC| = a ve |AD| = |BC| = b dir.
Köşegenler hem eşittir hem birbirini ortalar; uzunluk √(a² + b²) dir.
Komşu iki kenarın çarpımıdır.
E kenar üzerinde nerede olursa olsun üçgen alanın yarısını kaplar.
Köşegenlerin kesim noktası dikdörtgeni dört eşit alanlı üçgene ayırır.
Konu özetinin son alan şeklindeki S – 2S – S dağılımıdır.
Dört kenar uzunluğu eşit olan dikdörtgendir; aynı zamanda paralelkenar ve eşkenar dörtgendir.
Köşegen verilmişse alan e²/2 ile de bulunur.
Köşegenler açıortaydır (45°), eşit uzunluktadır ve birbirlerini dik ortalar.
|DC| = |BC| ve |AD| = |AB| olan dörtgendir; eşit kenarlar komşudur, karşılıklı değil.
|DK| = |KB| olur, [AC] açıortaydır ve m(CD̂A) = m(CB̂A) dir.