Bir çokgeni
yukarı taşı.
Prizma, düzlemdeki bir çokgenin dik yukarı doğru süpürülmesiyle oluşur. Bu yüzden geometrinin ilk 73 ünitesinde öğrenilen her alan bağıntısı burada da işe yarar: taban hangi çokgense onun alanı hesaplanır, sonra yükseklikle çarpılır.
Konu özetinin tanımı: ABCD çokgeni bir E düzlemi üzerinde ve d doğrusu bu düzleme dik olsun. ABCD çokgeni üzerindeki noktalardan geçen ve d doğrusuna paralel olan doğruların oluşturduğu, iki paralel düzlem ile sınırlanan kapalı bölgeye dik prizma denir.
Prizmanın altını ve üstünü oluşturan ABCD ve A′B′C′D′ çokgensel bölgelerine alt taban ve üst taban denir. İkisi birbirine eş ve paraleldir.
Taban kenarlarına taban ayrıtları, tabanların karşılıklı köşelerini birleştiren doğru parçalarına yanal ayrıtlar denir.
İki yanal ayrıt arasında kalan bölgelere yanal yüz, iki taban arasındaki uzaklığa yükseklik denir.
Konu özetinin DİKKAT kutusu: dik prizmalar tabanını oluşturan çokgene göre isimlendirilir. Tabanı üçgen ise üçgen dik prizma, dörtgen ise dörtgen dik prizma, altıgen ise altıgen dik prizmadır. İkinci DİKKAT kutusu ise iki şey ekliyor: dik prizmanın yanal ayrıtları aynı zamanda yüksekliğidir ve yanal yüzleri dikdörtgensel bölgedir.
Konu özeti: tabanları düzgün çokgen olan prizmaya düzgün prizma denir. Verilen örnekler: eşkenar üçgen dik prizma, kare dik prizma ve tüm ayrıtları eşit olan kare prizma — yani küp.
Düzgün prizma ile küp aynı şey değildir. Düzgün prizmada yalnız tabanın düzgün çokgen olması istenir; yükseklik istediği kadar uzun olabilir. Küp, tabanı kare olan ve üstelik bütün ayrıtları eşit olan özel bir düzgün prizmadır.
Konu özeti "DİK PRİZMADA AYRIT VE YÜZEY SAYILARI" başlığını açıyor ve sayıları şekil üzerinde gösteriyor. Tabanı n kenarlı bir dik prizmada bu sayılar tek tek sayılarak bulunur ve n cinsinden şu biçimi alır:
n alt taban ayrıtı + n üst taban ayrıtı + n yanal ayrıt.
n yanal yüz + alt taban + üst taban.
Alt tabanın n köşesi + üst tabanın n köşesi.
| Prizma | n | Ayrıt (3n) | Yüz (n+2) | Köşe (2n) |
|---|---|---|---|---|
| Üçgen dik prizma | 3 | 9 | 5 | 6 |
| Dörtgen dik prizma | 4 | 12 | 6 | 8 |
| Beşgen dik prizma | 5 | 15 | 7 | 10 |
| Altıgen dik prizma | 6 | 18 | 8 | 12 |
Üç sayı arasında her zaman köşe + yüz – ayrıt = 2 ilişkisi vardır: 2n + (n + 2) – 3n = 2. Bulduğun sayıları bu eşitlikle denetleyebilirsin; tutmuyorsa bir yerde yanlış saymışsındır.
Konu özeti bu ünitede yalnız küpün alan ve hacmini formülle veriyor. Genel dik prizmada geçerli olan bağıntılar ise şunlardır — hepsi prizmanın tanımından çıkar: yanal yüzler dikdörtgen olduğu için yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.
Bütün yanal yüzler açılıp yan yana dizilirse eni taban çevresi, boyu yükseklik olan tek bir dikdörtgen çıkar.
İki taban eş olduğu için taban alanı iki kez sayılır, üstüne yanal alan eklenir.
Taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır; 75. ünitedeki piramit hacminin de çıkış noktasıdır.
Yüzey alanı ile yanal alan karıştırılmamalı. Bir kutunun dışını boyamak yüzey alanıdır; etrafına etiket sarmak ise yalnız yanal alandır. Soruda "kapaksız" deniyorsa taban bir kez, "üstü ve altı açık" deniyorsa hiç sayılmaz.
Konu özetinin tanımı: bütün ayrıtlarının uzunlukları eşit olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Küpün bir kenar uzunluğu a cm ise dört bağıntı verilir: yüzey alanı 6a², hacim a³, yüzey köşegeni a√2 ve cisim köşegeni a√3.
Yüzey köşegeni ile cisim köşegeni ayrı şeylerdir. Yüzey köşegeni bir yüzün üzerinde kalır (a√2), cisim köşegeni ise küpün içinden geçip karşı köşeye gider (a√3). Ayrıca ayrıt iki katına çıkarsa yüzey alanı 4 katına, hacim 8 katına çıkar — ikisi aynı oranda büyümez.
Etrafındaki kutuların, kalemlerin ve binaların neredeyse hepsi prizmadır. Hangisinde alan hangisinde hacim gerektiğini ayırt etmek, sorunun "boyamak mı, doldurmak mı" istediğine bakmakla olur.
Çoğu kalem altıgen dik prizmadır; masadan yuvarlanıp düşmesin diye. Boyası yanal alanı, içindeki grafit hacmi ilgilendirir.
Kutu dörtgen dik prizmadır. Üzerindeki litre bilgisi hacimdir; karton miktarı ise yüzey alanıdır — ikisi farklı sorulardır.
3 × 3 × 3 küpte 27 küçük küp vardır. Kenar üç katına çıktığı için hacim 27 katına çıkmıştır — hacim üçüncü kuvvetle büyür.
Kaç litre su alacağı hacim, kaç metrekare cam gerektiği yüzey alanıdır. Üstü açık olduğu için cam hesabında bir taban eksik sayılır.
Oyun zarı küptür; altı yüzü olduğu için altı sayı taşır ve karşılıklı yüzlerin toplamı 7 eder. Yüz sayısı n + 2 kuralının n = 4 hâlidir.
Üçgen kesitli çikolata kutuları üçgen dik prizmadır; ambalaj kâğıdı açıldığında ortaya iki üçgen ve üç dikdörtgen çıkar.
Peteklerin kıvrımlı yapılmasının sebebi yüzey alanını artırmaktır; hacim aynı kalırken temas eden yüzey büyüdüğü için oda daha hızlı ısınır.
Küp buzlar aynı hacimde olduğu hâlde küçük parçalara bölünürse toplam yüzey artar ve içecek daha hızlı soğur.
Kolinin çevresine bant sarmak için taban çevresi × kaç tur hesaplanır; bu, yanal alanın formülüyle aynı mantıktır.
Dik prizmanın tanımı ve elemanları, prizma çeşitleri ile düzgün prizma, ayrıt-yüz-köşe sayıları, yanal alan, yüzey alanı ve hacim bağıntıları ile küpün alan, hacim ve köşegen formülleri üzerine 32 soru.
Bir çokgenin noktalarından geçen ve düzleme dik bir doğruya paralel doğruların oluşturduğu, iki paralel düzlemle sınırlanan kapalı bölgedir.
Alt taban, üst taban, taban ayrıtı, yanal ayrıt, yanal yüz ve yükseklik.
Prizma tabanını oluşturan çokgene göre adlandırılır: üçgen, dörtgen, altıgen dik prizma…
Yanal ayrıtlar aynı zamanda yüksekliktir ve yanal yüzler dikdörtgensel bölgedir.
Tabanları düzgün çokgen olan prizmadır; küp, tüm ayrıtları eşit olan kare prizmadır.
Tabanı n kenarlı prizma için; köşe + yüz – ayrıt = 2 ile denetlenir.
Yanal yüzler açılınca eni taban çevresi, boyu yükseklik olan bir dikdörtgen çıkar.
Taban hangi çokgense onun alan formülü kullanılır.
Bütün ayrıtlarının uzunlukları eşit olan dikdörtgenler prizmasıdır.
Altı yüzün her biri a kenarlı karedir.
Yüzey köşegeni bir yüzün üzerinde kalır, cisim köşegeni küpün içinden geçer.
Ayrıt k katına çıkarsa yüzey alanı k², hacim k³ katına çıkar.