Karşılıklı kenarlar
paralel olunca.
Tek bir şart — karşılıklı kenarların paralelliği — ardından bütün bir özellik zinciri getirir: karşılıklı kenarlar eşit olur, karşılıklı açılar eşitlenir, ardışık açılar bütünler çıkar, köşegenler birbirini ortalar. Kenar uzunlukları da eşitse şekil eşkenar dörtgen olur ve köşegenler dikleşir.
Konu özetinin tanımı: karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. ABCD paralelkenarında [AB] // [DC] ve |AB| = |DC| = a, [AD] // [BC] ve |AD| = |BC| = b olur. Tanım yalnız paralellik ister; kenarların eşit olması bunun bir sonucudur.
Paralel olan iki kenar aynı zamanda eşit uzunluktadır.
Karşı köşelerdeki açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Konu özeti: ardışık köşelerdeki iç açılar birbiriyle bütünler açı olup toplamları 180° dir.
Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir — ikisi karıştırılmamalı. Bir açı verildiğinde karşısındaki aynı, yanındaki 180° den farkıdır. Dört açı ancak hepsi 90° ise birbirine eşit olur; o zaman da şekil dikdörtgendir.
Konu özeti: paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar; ABCD paralelkenarında |DE| = |EB| ve |AE| = |EC| olur. Buna bağlı olarak, karşılıklı kenarlar üzerinde alınan simetrik noktalarla kurulan üçgenler eş çıkar: |DE| = |BF| ve |AE| = |FC| iken AED üçgeni ile CFB üçgeni eş üçgenlerdir.
Konu özeti: bir paralelkenarda komşu açıların açıortayları birbirine diktir. Sebebi doğrudan ardışık açı kuralıdır: iki açının toplamı 180° ise yarılarının toplamı 90° olur, üçüncü açı da 90° kalır. Konu özeti bu şekle bağlı olarak [EF] // [AD] olmak üzere |EF| = |AF| = |FB| olur bağıntısını da verir.
Konu özetinde geçmiyor ama doğrudan çıkan sonuç: bir açının açıortayı karşı kenarı kestiğinde oluşan üçgen ikizkenardır. [AB] // [DC] olduğu için açıortayın böldüğü iki açı iç ters açı olarak eşitlenir ve o üçgenin iki kenarı eşit çıkar.
Konu özetinin bağıntısı: ABCD paralelkenarının alanı A(ABCD) = a · hₐ = b · h_b olur. Hangi kenarı taban seçersen seç, o kenara ait yüksekliği kullanmak zorundasın. Ayrıca m(DÂB) = α ise A(ABCD) = |AB| · |AD| · sin α bağıntısı da verilir.
a · b paralelkenarın alanı değildir. İki kenarın çarpımı yalnız α = 90° iken, yani şekil dikdörtgen olduğunda alanı verir. Genel hâlde araya sin α çarpanı girer ve sin α ≤ 1 olduğu için alan her zaman a · b den küçük ya da ona eşittir.
hₐ = b · sin α olduğu için a · hₐ ile |AB| · |AD| · sin α aynı sayıyı verir. 68. ünitedeki üçgenin sinüslü alan bağıntısının paralelkenar karşılığıdır — paralelkenar, köşegeniyle iki eş üçgene ayrılır ve her biri bu alanın yarısını kaplar.
Konu özeti beş özellik veriyor. Hepsinin ortak fikri şu: paralelkenarın içindeki üçgenlerin yükseklikleri, paralellik sayesinde birbirine eşittir; bu yüzden alanlar tabanlara göre paylaşılır ve çoğu zaman yarı yarıya bölünür.
K noktası iç bölgede nerede olursa olsun, karşılıklı iki üçgenin alanları toplamı paralelkenarın yarısını verir. Sebebi: iki üçgenin yükseklikleri toplamı her zaman paralelkenarın yüksekliğine eşittir.
Konu özetinin 5. özelliğinde E, F, G, H kenar orta noktalarıdır ve şekildeki alanlar S, 3S ve 4S olarak etiketlenmiştir. Toplam 20S ettiği için ortada oluşan KLMN dörtgeninin alanı paralelkenarın beşte biridir.
Konu özetinin tanımı: kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgen aynı zamanda paralelkenardır ve paralelkenarın özelliklerini taşır. Yani yukarıdaki dört bölümde öğrenilen her şey burada da geçerli; üstüne üç yeni özellik gelir.
[AC] ve [BD] köşegenleri birbirini dik keser.
Köşegenler birbirini ortalar — bu özellik paralelkenardan gelir.
Köşegenler aynı zamanda bulundukları köşelerin açıortayıdır.
Köşegenler dik kesiştiği için alan, iki köşegenin çarpımının yarısıdır.
Eşkenar dörtgen aynı zamanda paralelkenar olduğu için taban × yükseklik de aynı alanı verir. Konu özeti bu yüksekliği |DF| = |DE| = h olarak gösteriyor.
| Özellik | Paralelkenar | Eşkenar dörtgen |
|---|---|---|
| Kenarlar | karşılıklı ikisi eşit | dördü de eşit |
| Köşegenler birbirini ortalar mı? | evet | evet |
| Köşegenler dik mi? | genelde hayır | evet |
| Köşegenler açıortay mı? | hayır | evet |
| Alan | a · hₐ = a·b·sin α | a · h = e · f / 2 |
Paralelkenarın en belirgin özelliği açıları değişse de kenarlarının değişmemesidir. Açılıp kapanan, eğilip bükülen ama parçaları aynı kalan her düzenek bu şeklin üzerine kuruludur.
Ders masasındaki eklemli lambanın kolları paralelkenar oluşturur. Yükseklik değişir ama başlık hep aynı açıda kalır — çünkü karşılıklı kenarlar paralel kalmak zorundadır.
Makas gibi açılan çitin gözleri eşkenar dörtgendir. Çit uzayınca açılar değişir, kenar uzunlukları hiç değişmez.
Uçurtmanın kuyruğuna dizilen fiyonklar eşkenar dörtgen görünümlüdür; her birinin köşegenleri dik olduğu için rüzgârda simetrik döner.
Bir yazı tipini italik yapmak, her harfin çerçevesini dikdörtgenden paralelkenara çevirmektir. Harfin yüksekliği aynı kalır, taban kayar — bu yüzden satır düzeni bozulmaz.
Yüksekliği ayarlanabilen potanın arkasındaki iki paralel kol, pota yükselirken çemberin yere paralel kalmasını sağlar.
Eğik dikilen brandalarda kumaş paralelkenar parçalara bölünür; kumaş hesabı için kenar uzunlukları değil taban ve yükseklik ölçülür.
Eklemli tutacaklarda iki kol paralel bağlanır; biri hareket ettiğinde diğeri aynı açıyla döner, aradaki mesafe sabit kalır.
Yandan bastırıldığında dikdörtgen kutunun kesiti paralelkenara döner. Hacim azalır çünkü yükseklik düşer — kenarlar aynı kalsa bile.
Zemin karolarında sık kullanılan baklava deseni eşkenar dörtgenlerden oluşur; dört kenarı eşit olduğu için karolar hangi yönde çevrilirse çevrilsin birbirine oturur.
Paralelkenarda açı ve uzunluk bağıntıları, köşegenlerin ortalaması, komşu açıortayların dikliği, alan formülleri (a·hₐ ve a·b·sin α), beş alan özelliği ile eşkenar dörtgenin köşegen ve alan bağıntıları üzerine 36 soru.
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir; bu paralellikten kenar eşitliği de çıkar.
Karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşittir.
Ardışık köşelerdeki iç açılar bütünlerdir.
Köşegenler birbirini ortalar; ama uzunlukları genelde eşit değildir.
|DE| = |BF| ve |AE| = |FC| iken AED üçgeni ile CFB üçgeni eştir.
Komşu açıların açıortayları birbirine diktir; [EF] // [AD] olmak üzere |EF| = |AF| = |FB| olur.
Seçilen tabana ait yükseklik kullanılır; iki yol da aynı sayıyı verir.
α = m(DÂB) dir; α = 90° olunca a · b (dikdörtgen) çıkar.
Bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene ayırır.
E kenar üzerinde nerede olursa olsun üçgen alanın yarısını kaplar.
K iç bölgede nerede olursa olsun eşitlik bozulmaz.
Kenarları eşit paralelkenardır; köşegenleri dik ortalar ve açıortaydır.