İki taban,
bir ortalama.
Yamuğun alanı, iki tabanının ortalaması ile yüksekliğinin çarpımıdır. Yani yamuk, genişliği tam ortadaki değere eşit olan bir dikdörtgenle aynı alanı kaplar. Bu tek fikir anlaşıldığında ikizkenar yamuk, dik yamuk ve köşegenlerin ayırdığı dört üçgen sırayla açılır.
Konu özetinin verdiği bağıntı: [AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda [KL] ⊥ [AL] ve |KL| = h olmak üzere A(ABCD) = (a + c)/2 · h olur. Burada a ve c yamuğun iki tabanı, h ise bu iki tabanın arasındaki uzaklıktır — yamuğun yüksekliği.
a ve c paralel kenarlardır. Yan kenarların uzunluğu bu formüle hiç girmez; yamuğun yan kenarları eğilse de tabanlar ve yükseklik aynı kaldığı sürece alan değişmez.
70. ünitede orta tabanın |EF| = (a + c)/2 olduğunu görmüştük. Yamuğun alanı, orta tabanı taban kabul eden bir dikdörtgenin alanına eşittir.
Formüldeki h, yan kenar değildir. Eğik bir yan kenarın uzunluğu her zaman yükseklikten büyüktür; soruda yan kenar verilmişse yükseklik ayrıca bulunmalıdır (çoğu zaman bir dikme inip Pisagor kullanılır).
c = a olursa şekil paralelkenara döner ve formül (a + a)/2 · h = a · h olur — paralelkenarın alan bağıntısı. c = 0 olursa şekil üçgene döner ve formül a · h/2 verir. Yamuk formülü ikisini de içinde taşır.
Konu özetinin ikinci bağıntısı: [AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda E noktası [DA] nın orta noktası ise A(ABCD) = 2 · A(EBC) olur. Bir yan kenarın orta noktasını iki karşı köşeye birleştiren üçgen, yamuğun tam yarısını kaplar.
ABCD yamuğunda [DC] // [AB], [CH] ⊥ [AB] ve |CH| = h iken, E noktası [AB] üzerinde alınırsa üç üçgenin alanı aynı h yüksekliğiyle yazılır:
Üçünün de yüksekliği aynıdır, çünkü D ve C noktaları [AB] ye paralel bir doğru üzerindedir. Üç alanı toplayınca (|AE| + |EB| + |DC|) · h/2 = (a + c) · h/2 çıkar — yamuğun alanı. Bu, alan formülünün doğrudan bir ispatıdır.
E noktası [AB] üzerinde nereye konursa konsun A(DEC) değişmez, çünkü tabanı |DC| ve yüksekliği h olarak sabit kalır. Değişen tek şey A(AED) ile A(EBC) nin paylaşımıdır; toplamları hep aynıdır.
Konu özeti şunu veriyor: [AC] ve [DB] köşegenler, [AB] // [DC] olsun. A(DOC) = S₁, A(COB) = S₂, A(BOA) = S₃, A(AOD) = S₄ ise S₂ = S₄ ve S₂ · S₄ = S₁ · S₃ eşitlikleri geçerlidir. Yan taraftaki iki üçgen her zaman eşit alanlıdır; alt ve üstteki iki üçgenin çarpımı ise yan üçgenlerin çarpımına eşit olur.
A(ABD) ile A(ABC) aynı tabana ([AB]) ve aynı yüksekliğe (h) sahip olduğu için eşittir. İkisinden de ortak parça olan A(AOB) = S₃ çıkarılırsa S₄ = S₂ kalır. Yamuğun eğikliği değişse bile bu eşitlik bozulmaz.
DOC ile BOA üçgenleri benzerdir (ters açılar ve iç ters açılar). Benzerlik oranı c/a olduğundan köşegen parçaları |DO|/|OB| = |CO|/|OA| = c/a oranındadır ve S₁/S₃ = (c/a)² olur. Bu, PDF'in verdiği S₂ · S₄ = S₁ · S₃ eşitliğinin arka planıdır.
Konu özetinin tanımı: ABCD yamuğunda [AB] // [DC] ve |AD| = |BC| ise bu yamuğa ikizkenar yamuk denir. m(Â) = m(B̂) = α ve m(D̂) = m(Ĉ) = β olur. Aynı tabana oturan iki açının eşit olması, taban açılarının eşitliği demektir.
Alt tabandaki iki açı birbirine, üst tabandaki iki açı da birbirine eşittir.
Konu özeti köşegen uzunluklarının eşit olduğunu, ayrıca köşegenlerin kesim noktası E için |ED| = |EC| ve |EA| = |EB| olduğunu veriyor.
Konu özeti: ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] // [DC] ve [AC] ile [BD] köşegenleri dik kesişiyorsa, |AB| = a birim, |DC| = c birim ve yamuğun yüksekliği h olmak üzere h = (a + c)/2 ve A(ABCD) = h² birimkare olur.
Yükseklik, orta tabana eşit olur.
Çünkü A = (a + c)/2 · h yazılıp h yerine (a + c)/2 konur.
Köşegenlerin eşit olması ile dik kesişmesi iki ayrı bilgidir. Her ikizkenar yamukta köşegenler eşittir; dik kesişmesi ise ek bir şarttır ve ancak yükseklik orta tabana eşit olduğunda gerçekleşir. Soruda "köşegenleri dik" yazmıyorsa h = (a + c)/2 kullanılamaz.
Konu özetinin tanımı: herhangi bir köşesindeki açının ölçüsü 90° olan yamuğa dik yamuk denir. ABCD dik yamuğunda [AD] aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir — dikmeyi ayrıca çizmeye gerek yoktur, yan kenar hazır yüksekliktir.
ABCD dik yamuğunda [AB] // [DC], [AD] ⊥ [AB], |AD| = h ve köşegenler birbirine dikse h² = a · c olur. Yükseklik, iki tabanın geometrik ortalamasıdır.
Dik köşegenli ikizkenar yamukta h = (a + c)/2 — aritmetik ortalama. Dik köşegenli dik yamukta h = √(a · c) — geometrik ortalama. İkisi karıştırılmaya çok müsaittir; şeklin hangisi olduğuna bakmak gerekir.
| Özellik | İkizkenar yamuk | Dik yamuk |
|---|---|---|
| Tanım şartı | |AD| = |BC| | bir açının ölçüsü 90° |
| Taban açıları | eşit (α, α ve β, β) | ikisi 90° |
| Köşegen uzunlukları | eşit | genelde farklı |
| Yükseklik hazır mı? | hayır, dikme inilir | evet, dik yan kenar |
| Köşegenler dikse h | (a + c)/2 | √(a · c) |
İki ucu farklı genişlikte olan her şeyin kesiti yamuktur. Ortalama alma fikri de tam burada işe yarar: bir yamuğun alanını hesaplamak, "ortalama genişliği" bulup yükseklikle çarpmaktır.
Okul çantalarının ön cebi genelde üstü geniş altı dar dikilir. Kumaş hesabı yapılırken iki genişliğin ortalaması alınıp yükseklikle çarpılır.
Kameraya eğik tutulan dikdörtgen bir defter ekranda yamuk görünür: yakın kenar uzun, uzak kenar kısa. Uygulamaların "perspektif düzelt" aracı bu yamuğu yeniden dikdörtgene çevirir.
Yandan bakıldığında tribünün kesiti dik yamuktur: arka duvar dik, oturma yüzeyi eğik. Dik kenar doğrudan yüksekliği verdiği için kaplama hesabı kolaylaşır.
Döner merdivenin basamakları yamuktur: iç tarafı dar, dış tarafı geniş. Bu yüzden dışa yakın yürüyünce adım daha rahat atılır.
Bardağın yandan görünüşü yamuktur. Yarı yüksekliğe kadar doldurunca hacmin yarısı olmaz — üst yarı daha geniş olduğu için daha çok su alır.
Çadırın ön yüzü çoğu zaman ikizkenar yamuktur; iki yan kenar eşit olduğu için çadır simetrik durur ve rüzgâr iki yana eşit yüklenir.
Panoya asılan kurdelenin ucu çapraz kesildiğinde yamuk oluşur; iki paralel kenar aynı kalır, sadece kesim açısı değişir — alan da bu yüzden değişmez.
Yol kenarındaki bahçeler nadiren tam dikdörtgendir. Ölçüm yapılırken alan yamuklara bölünür ve her birinin alanı (a + c)/2 · h ile bulunup toplanır.
Kılıfın yan yüzü yamuktur: sap tarafı dar, gövde tarafı geniş. Fermuar uzunluğu hesaplanırken iki tabanın değil yan kenarın ölçüsü gerekir — yükseklikle karıştırılmaz.
Yamuğun alanı, orta tabanla ilişkisi, yan kenarın orta noktası bağıntısı, köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanları, ikizkenar yamukta taban açıları ve köşegenler, dik yamuk ile dik köşegen bağıntıları üzerine 32 soru.
a ve c paralel kenarlar, h aralarındaki uzaklıktır. Yan kenarlar formüle girmez.
Orta taban (a + c)/2 olduğu için alan, orta tabanı taban alan dikdörtgenin alanına eşittir.
E, [DA] nın orta noktası ise EBC üçgeni yamuğun yarısını kaplar.
Üçünün yüksekliği aynı h dir; toplamları yamuğun alanını verir.
Yan iki üçgen her zaman eşit alanlıdır; taban üçgenlerinin çarpımı onların çarpımına eşittir.
DOC ~ BOA benzerliğinden gelir; alan oranı (c/a)² olur.
[AB] // [DC] ve |AD| = |BC| olan yamuktur; m(Â) = m(B̂) = α, m(D̂) = m(Ĉ) = β olur.
Kesim noktası E için |ED| = |EC| ve |EA| = |EB| olur.
Yükseklik orta tabana eşit olur, alan da yüksekliğin karesi.
Bir köşesindeki açının ölçüsü 90° olan yamuktur; dik yan kenar aynı zamanda yüksekliktir.
Yükseklik, iki tabanın geometrik ortalamasıdır.
c = a ise paralelkenar (A = a·h), c = 0 ise üçgen (A = a·h/2). Yamuk formülü ikisini de kapsar.