Hız değişiyorsa ivme vardır
Bir önceki ünitede hız sabitti ve tek bir bağıntı yetiyordu. Burada hız her saniye aynı miktarda değişiyor: işte bu sabit ivmeli harekettir. Sabit ivme üç şeyi birden belirler — ϑ-t grafiğinin eğimini, x-t grafiğinin parabol olmasını ve a-t grafiğinin yatay bir çizgi olmasını. Sayfanın sonunda elinde üç denklem kalacak: ϑ = ϑ₀ + a·t, x = ϑ₀·t + ½·a·t² ve zamanı hiç kullanmadan sonuç veren ϑ² = ϑ₀² + 2·a·x.
Bir cisim üzerine uygulanan net kuvvet cismin hızlanmasına veya yavaşlamasına neden olur. Cismin hızında birim zamanda meydana gelen değişime ivme denir.
İvme a sembolü ile gösterilir, vektörel bir büyüklüktür ve SI birimi m/s²’dir.
a = Δϑ / Δt = (ϑson − ϑilk) / (tson − tilk)
Payda hız değişimi var, paydada geçen süre. Yani ivme, “saniyede kaç m/s kazanıyor ya da kaybediyor” sorusunun cevabıdır. Birimin m/s² olması da bundandır: (m/s) ÷ s = m/s².
Hız, eşit zaman aralıklarında aynı büyüklükte artıyor ya da azalıyorsa ivmenin büyüklüğü sabittir.
Örneğin bir araç her 1 s’de 5 m/s hızlanıyorsa ivmesinin büyüklüğü sabittir ve 5 m/s²’dir. İlk saniyede 5 m/s, ikinci saniyede 8 m/s kazansaydı ivme sabit olmazdı — bu ünitenin konusu yalnızca sabit ivme.
Cisme hareket yönüyle aynı doğrultuda kuvvet uygulandığında cismin hızı artar. Bu durumda cismin ivmesinin yönü de hareket yönüyle aynıdır ve pozitiftir. Hareket yönüne ters yönde kuvvet uygulanan cismin hızı azalır; ivmesinin yönü hareket yönüne zıttır ve negatiftir.
Dikkat: negatif ivme “yavaşlıyor” demek değildir. Negatif ivme yalnız “ivme −x yönünde” demektir. Cisim de −x yönünde gidiyorsa hızlanır. Bunun tam tablosu 05. bölümde.
Aşağıdaki pano bir metro örneğini canlandırıyor. Metro durgun hâlden başlıyor ve sabit ivmeyle hızlanıyor. Kaydırağı çektiğinde ivme değişir; dikkat edeceğin şey hız sütunundaki farkların hepsinin aynı kalması — sabit ivme tam olarak budur.
Bir teslimat görevlisinin hız büyüklükleri: 0. s’de 0, 1. s’de 6, 2. s’de 12, 3. s’de 18, 4. s’de 18, 5. s’de 12 m/s. Her 1 s aralığındaki ivme a = Δϑ / Δt ile bulunur:
| Zaman aralığı (s) | (0-1) | (1-2) | (2-3) | (3-4) | (4-5) |
|---|---|---|---|---|---|
| İvme (m/s²) | 6 | 6 | 6 | 0 | −6 |
Tablonun yorumu şöyle: ilk üç aralıkta pozitif yönde hızlanarak hareket ettiği için ivmesi pozitif, (3-4) s’de hızı değişmediği için ivmesi sıfır, (4-5) s’de hızı pozitif yönde azaldığı için ivmesi negatif olur.
Bu tablonun (3-4) s satırı önemli: hız büyük olduğu hâlde ivme sıfır. Hız ile ivme birbirinden bağımsız iki niceliktir — hızlı gitmek ivmeli olmak demek değildir.
Bir cismin ivmesi, hızındaki değişimin zamana oranıdır. Cismin hız vektörü ile ivme vektörü aynı yönlü ise cisim düzgün hızlanan, zıt yönlü ise cisim düzgün yavaşlayan hareket yapar.
Bütün ünitenin en kısa kuralı bu. Bir soruda “hızlanıyor mu yavaşlıyor mu” diye sorulduğunda sayıların büyüklüğüne değil, ϑ ile a’nın işaretlerinin aynı olup olmadığına bak. Aynı işaret → hızlanır. Zıt işaret → yavaşlar.
Aşağıdaki tablo bu dört durumu işaretleriyle veriyor. Doğu yönü +, batı yönü − kabul ediliyor. Tabloyu filtreleyerek kendi sorunun satırını bul:
Tablonun en çok yanlış okunan iki satırı yan yana:
Doğu yönünde düzgün yavaşlayan: hız +, ivme −.
Batı yönünde düzgün hızlanan: hız −, ivme −.
İkisinde de ivme negatif, ama biri yavaşlıyor öteki hızlanıyor. İvmenin işaretine tek başına bakarak karar verilemez; hızın işaretiyle karşılaştırmak zorundasın.
Sabit ivmeli harekette ϑ-t grafiği eğik bir doğrudur. Sabit hızlı harekette yataydı; şimdi eğik. Eğri olsaydı ivme sabit olmazdı.
Çıkarım: Δϑ/Δt = (ϑ − ϑ₀)/(t − 0) = a. Buradan ϑ = ϑ₀ + a·t matematiksel modeli elde edilir.
Grafik çizgisinin yatay eksen ile arasında kalan alanın hesaplanmasıyla cismin yatay doğrultuda aldığı mesafe bulunabilir. Alan bir yamuktur: Δx = ((ϑ + ϑ₀)/2)·t.
İki kaydırak var: biri ilk hızı (ϑ₀), öteki ivmeyi (a) değiştiriyor. Sağdaki panoda hem eğimin hem alanın sayısal karşılığını göreceksin. Denemeye değer üç ayar: a’yı sıfıra çek (grafik yatay olur, önceki üniteye dönersin), ϑ₀’ı sıfır yap (alan üçgene iner), a’yı negatif yap (doğru aşağı iner ve bir yerde ekseni keser — orada cisim durup yön değiştirir).
Verilen x-t grafiğindeki parabolik eğrinin zaman ekseninin üstünde olması aracın pozitif yönde hızlandığını, altında olması negatif yönde hızlandığını gösterir.
Araç, hız-zaman grafiği yatay eksenden uzaklaşıyorsa hızlanan, yatay eksene yaklaşıyorsa yavaşlayan hareket yapar.
Araç, hız-zaman grafiğinin yatay ekseni kestiği noktalarda yön değiştirmiştir.
Üçü de aynı bilgiyi üç ayrı grafikten okuma yöntemidir. Sınavda genellikle bir grafik verilir, ötekisi istenir.
Düğmelerle dört durum arasında gez. Her durumda soldan sağa x-t, ϑ-t ve a-t grafikleri birlikte çiziliyor; hangisinin neden o şekilde çıktığı sağda yazıyor.
Tepe yapan bir x-t grafiğini dört bölüme ayıralım (doğu +, batı −):
ϑ-t grafiğinde araç 2t ve 4t anında yatay ekseni keser — yön değiştirdiği anlar bunlardır. a-t grafiğinde ise ivme (0-t) ve (3t-4t) aralıklarında pozitif, (t-3t) aralığında negatiftir.
Ayırt edici nokta: x-t grafiğinin tepe noktası (2t) en uzak konumdur, “duruş” değil. Cisim orada anlık olarak durur ve geri döner.
x = ϑ₀ · t + ½ · a · t²
ϑ = ϑ₀ + a · t
ϑ² = ϑ₀² + 2 · a · x
x = ϑ₀ · t − ½ · a · t²
ϑ = ϑ₀ − a · t
ϑ² = ϑ₀² − 2 · a · x
Yukarıdaki iki sütun ivmenin büyüklüğünü (yani pozitif bir sayıyı) denkleme yazıp işareti artı/eksi olarak denklemin içine koyuyor. Yani sağdaki sütun aslında soldakinin a yerine −a yazılmış hâlidir. İkisini birden ezberlemek yerine soldakini ezberle, yavaşlamada a’yı eksi işaretle yerine koy — sonuç aynı çıkar.
Bir şey daha: bu denklemlerdeki x başlangıç konumundan itibaren yer değiştirmedir, mutlak konum değil. Başlangıç konumu sıfırdan farklıysa xson = xilk + ϑ₀·t + ½·a·t² yazılır.
Bir soruda hangi denklemi kullanacağına elindeki bilgiye bakarak karar verirsin. Aşağıdaki tabloyu filtreleyerek dene: elinde ne var, ne arıyorsun?
Üçüncü denklem ϑ² = ϑ₀² + 2·a·x içinde t yoktur. Bu yüzden “kaç saniyede” sorulmayan sorularda ilk seçilecek denklem odur. Klasik kullanımı fren mesafesi: araç duracağı için ϑ = 0 yazılır ve x = ϑ₀² / (2a) çıkar.
Buradan çıkan kural: fren mesafesi hızın karesiyle orantılıdır. Hızı iki katına çıkarırsan fren mesafesi dört katına çıkar. Bu, 06. bölümdeki fren örneğinde sayılarla görünecek.
Üçü ders kitabının çözümlü örneği; üçü ise ders kitabının cevabını boş bıraktığı soru — hesapları biz yaptık, her adımı yazdık. Düğmelerle gez, soldaki grafik seçtiğin örneğe göre yeniden çizilir.
| Soru | Denklemle | Grafik alanıyla |
|---|---|---|
| YHT 100 s’de kaç m gider? | x = ½·0,62·100² = 3100 m | üçgen alanı = (100·62)/2 = 3100 m |
| (90-100) s aralığı | 3100 − ½·0,62·90² = 589 m | yamuk = ((55,8+62)/2)·10 = 589 m |
| Ortalama hız | 3100 / 100 = 31 m/s | (0+62)/2 = 31 m/s |
Sabit ivmeli harekette ortalama hız (ϑ₀ + ϑ)/2’dir. Bu kısayol yalnız ivme sabitken geçerlidir; ivme değişiyorsa alanı hesaplamak zorundasın.
Hız değişmiyorsa hiçbir şey hissetmezsin — uçak 900 km/h giderken ayağa kalkıp yürüyebilirsin. Hissettiğin şey hız değil, ivmedir.
Asansör yukarı çıkmaya başlarken ayağının altındaki zemin seni yukarı iter: ivme yukarı, kendini ağır hissedersin. Yolculuğun ortasında sabit hızla giderken hiçbir şey hissetmezsin — orada a = 0. Duracakken yine hissedersin, çünkü yavaşlama da bir ivmedir.
Otobüs kalkarken arkaya, frene basınca öne savrulursun. İkisinde de ivme vardır ve savrulma yönü ivmenin tersidir. Yolun ortasında sabit hızda giderken ayakta rahat durursun; ivme sıfır olduğu için.
Pedal çevirmesen bile hızın düzgün artar: yer çekiminin yokuş boyunca kalan bileşeni sabit bir ivme verir. Yokuş yukarı çıkarken de aynı büyüklükte ama ters yönde bir ivme yavaşlatır seni.
Kısa mesafe koşucusunun başarısı ilk adımlardaki yüksek ivmeye bağlı. İlk 30 metrede hız hızla artar, sonra sporcu maksimum hızına ulaşır ve orada ivme sıfıra iner — hız hâlâ çok yüksektir ama artmıyordur.
Telefonundaki ivmeölçer (ivme sensörü) tam olarak bu ünitenin niceliğini ölçer. Ekranın yatayken dönmesi, adım sayarın çalışması ve oyunda telefonu eğerek yön vermen — hepsi ölçülen ivme verisinden çıkar.
Rampanın tepesinden bırakılan kaykay aşağı inerken hızlanan, karşı rampaya çıkarken yavaşlayan hareket yapar. İvmenin yönü ikisinde de aynıdır (aşağı doğru); değişen tek şey hızın yönü.
Duraktan kalkan bir otobüsün ardından koşarken şunu fark edersin: otobüs hızlanıyor, sen ise en fazla sabit hızla koşabilirsin. İlk saniyelerde yaklaşırsın, sonra otobüsün hızı seninkini geçer ve mesafe hızla açılır. Sebep otobüsün hızı değil, ivmesidir.
Şoför kasisten önce yavaşlar, sonra tekrar hızlanır. Servisin ϑ-t grafiği bir çukur yapar. Yukarıdaki motosikletli teslimat örneği tam bu durumdur: ivme önce pozitif, kasiste negatif, sonra yine pozitiftir.
Sürücü kursu “hızını iki katına çıkarırsan fren mesafen dört katına çıkar” der. Bu bir kural değil, ϑ² = ϑ₀² − 2·a·x denkleminin doğrudan sonucudur. Islak yolda ayrıca a küçüldüğü için mesafe bir kat daha büyür.
Rastgele bir grafik yorumu ya da hesap gelir; doğru cevabı seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür.
İvme, düzgün hızlanan ve yavaşlayan hareket, ϑ-t · x-t · a-t grafikleri ve sabit ivmeli hareket denklemleri üzerine test
Cismin hızında birim zamanda meydana gelen değişimdir. Vektöreldir, birimi
m/s²’dir.
a = Δϑ / Δt = (ϑson − ϑilk) / (tson − tilk)
Hız eşit zaman aralıklarında aynı büyüklükte değişiyorsa ivme sabittir.
ϑ ile a aynı yönlü → düzgün hızlanan.
ϑ ile a zıt yönlü → düzgün yavaşlayan.
Karar ivmenin işaretine tek başına bakılarak verilmez: “doğuda yavaşlayan” da
“batıda hızlanan” da negatif ivmelidir.
Sabit ivmeli harekette eğik bir doğrudur.
Eğim = ivme. Eksenle arasında kalan alan = yer değiştirme (yamuk alanı).
Grafik yatay eksenden uzaklaşıyorsa hızlanan, yaklaşıyorsa yavaşlayan
hareket vardır. Ekseni kestiği anda cisim yön değiştirir.
x-t: paraboldür. Zaman ekseninin üstünde olması pozitif yönde,
altında olması negatif yönde hızlanmayı gösterir.
a-t: sabit ivmede yatay bir çizgidir; eksenin üstündeyse ivme pozitif,
altındaysa negatiftir.
ϑ = ϑ₀ + a·t
x = ϑ₀·t + ½·a·t²
ϑ² = ϑ₀² + 2·a·x
Düzgün yavaşlayan harekette üçünde de a’nın önündeki işaret eksi olur. Zamansız denklem, süre sorulmayan sorularda kısa yoldur.
Doğu sabit hızlı: yer değiştirme +, hız +, ivme 0
Batı sabit hızlı: −, −, 0
Doğu düzgün hızlanan: +, +, +
Doğu düzgün yavaşlayan: +, +, −
Batı düzgün hızlanan: −, −, −
Batı düzgün yavaşlayan: −, −, +
Koşucu: 18 s’de 0 → 12 m/s. a = 4/6 = 2/3 m/s². Yer değiştirmeler
12 m, 36 m, 60 m; konumlar 12, 48, 108 m.
Ralli aracı: (0-2t) ivme +a, (2t-4t) ivme −a; her iki aralıkta
yer değiştirme x, toplam 2x.
K ve L araçları: aK = −2 m/s², aL = +2 m/s²;
xK = 33 m, xL = 9 m, aralarındaki mesafe 24 m.
YHT (a = 0,62 m/s²): 100 s’de 3100 m; grafiğin eğimi 0,62 = ivme;
(90-100) s’de 589 m; ortalama hız 31 m/s.
Fren (ϑ₀ = 20 m/s, a = 4 m/s², tepki 0,5 s): tepki yolu 10 m + fren yolu 50 m =
60 m; tepkisiz 50 m; hız 40 m/s olsaydı 20 + 200 = 220 m.
a-t basamakları (ϑ₀ = 10 m/s): 6 s’de yer değiştirme 90 m.
Otomobil–motosiklet: amotosiklet = 8 m/s²; 1. s sonunda
aralarındaki uzaklık 1 m.
1. Negatif ivmeyi otomatik olarak “yavaşlıyor” saymak. Hızın işaretine bakmadan
karar verilemez.
2. x-t grafiğinin tepe noktasını “durdu ve orada kaldı” sanmak. Orada cisim
yön değiştirir.
3. Ortalama hızı (ϑ₀ + ϑ)/2 ile hesaplarken ivmenin sabit olduğunu kontrol
etmemek. İvme değişiyorsa bu kısayol yanlış sonuç verir.