Kütle değil, yalnızca yer çekimi
Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda bir tüy ile bir çekiç aynı anda yere düşer. Bu, sezgiye aykırı görünen ama iki bin yıl önce yanlış bilinen bir gerçek. Sebebi basit: serbest düşen bir cismin ivmesi kütlesine bağlı değildir, bulunduğu yerin yer çekimi ivmesine (g) eşittir. Bu sayfada önce g’yi tanıyacak, sonra bir önceki ünitenin bütün denklemlerini a yerine g, x yerine h yazarak yeniden kuracaksın.
Belirli bir yükseklikten bırakılan cisimler, yer çekimi kuvveti etkisiyle yere düşer. Yer çekimi kuvvetinin yönü daima Dünya’nın merkezine doğrudur. Dünya ve cisimler arasındaki çekim kuvveti, cisimler üzerinde bir çekim ivmesine neden olur. Bu çekim ivmesine Dünya’nın çekim ivmesi veya yer çekimi ivmesi denir.
Yer çekimi ivmesi vektörel bir büyüklüktür, g sembolü ile gösterilir ve SI birimi m/s²’dir. Yönü daima aşağı, yani Dünya’nın merkezine doğrudur.
g, cismin Dünya üzerindeki konumuna göre farklı değerler alır. Sebebi Dünya’nın dönme hareketi ve şeklinin tam bir küre olmaması. Ekvator’da yaklaşık 9,78 m/s², kutuplarda yaklaşık 9,83 m/s²’dir.
Dünya’nın yer çekimi ivmesinin ortalama 9,81 m/s² olduğu kabul edilir. Soru çözerken işlem kolaylığı için neredeyse her zaman g = 10 m/s² alınır — bu bir yuvarlamadır, gerçek değer değildir.
Bir gezegenin çekim ivmesi, o gezegenin kütlesine ve boyutlarına bağlıdır. Ay’daki çekim ivmesi Dünya’dakinin altıda birine karşılık gelen yaklaşık 1,62 m/s²’dir.
Aşağıdaki çubuk grafikte Güneş sistemindeki gezegenlerin ortalama çekim ivmeleri var. Kaydırağı çektiğinde 60 kg’lık bir öğrencinin o gezegendeki ağırlığı ve 10 m’den düşme süresi hesaplanır — g’nin ne kadar somut bir şey olduğunu orada göreceksin.
Hava sürtünmesi, bir cismin hava ile etkileşimi sürecinde karşılaştığı direnç kuvvetidir. Dünya’da tamamen sürtünmesiz bir ortam bulunmuyor; ama uzayda hareket eden cisimler sürtünme kuvvetiyle karşılaşmaz ve laboratuvarda oluşturulan vakum odalarında da hava sürtünmesi yok sayılır.
Sürtünmenin ihmal edilmesi temel fizik yasalarının anlaşılmasında, matematiksel modellerin basitleştirilerek incelenmesinde, mühendislik uygulamalarında ve uzay araştırmalarında daha doğru sonuçlara ulaşmayı sağlar.
Bu sayfadaki bütün hesaplar hava sürtünmesi ihmal edilmiş varsayımıyla yapılır. Gerçek hayatta tüy çekiçten çok daha yavaş düşer — o farkın sebebi kütle değil, hava direncidir.
Yukarı doğru veya aşağı doğru atılan veya durgun hâlden bırakılan cisimlerin hepsi yer çekimi etkisi ile hareket eder. Bu harekete serbest düşme hareketi denir. Kısacası serbest düşme hareketi, yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisindeki tüm hareketlerin ortak adıdır.
Bu tanımın en şaşırtıcı yanı şu: yukarı atılan bir top da serbest düşme yapıyordur. “Serbest düşme” yalnızca aşağı doğru hareket demek değil; üzerine başka hiçbir kuvvet etki etmeyen hareket demektir. Yukarı çıkarken de aşağı inerken de ivme aynıdır: g, ve yönü aşağıdır.
Aynı yükseklikten ilk hızı sıfır olarak bırakılan tenis topu ve basketbol topu, eşit büyüklükteki yer çekimi ivmesi ile hızlanıp aynı anda ve aynı hızda yere düşer.
Sürtünmesiz ortamda serbest düşen bir cisme etki eden net kuvvet cismin ağırlığına eşittir ve cisim a = g ivmesiyle düzgün hızlanan doğrusal hareket yapar. Hızı düşerken sürekli artar; yere çarptığı anda maksimum olur.
MÖ 322’de Aristo çevresindeki olayları inceleyerek ağır cisimlerin hafif cisimlere göre yere daha hızlı düşeceğini ifade etmiştir. Hava sürtünmesini ihmal eden deneyler yapmadığı için bu sonuca ulaşmıştır.
Galileo, aralarındaki hava sürtünmesi etkisi az olan cisimlerle denemeler yaparak tüm cisimlerin yer çekimi altında aynı hızla yere düştüğünü savunmuştur.
Newton, evrensel kütle çekim yasasını formülleştirerek serbest düşme hareketini klasik fizik çerçevesinde matematiksel olarak açıklamıştır.
Aşağıdaki animasyonda üç farklı kütle aynı yükseklikten aynı anda bırakılıyor. Kaydırakla hava direncini açıp kapatabilirsin: sıfırda üçü birlikte, açıkken hafif olan geride kalır. Sağdaki sütun bunun neden kütleyle değil hava direnciyle ilgili olduğunu yazıyor.
Düzgün hızlanan doğrusal hareketin matematiksel modellerinde a ivmesi yerine g yer çekimi ivmesi ve x yer değiştirmesi yerine h kullanılır. Yeni bir şey öğrenmiyorsun — bir önceki ünitenin denklemlerinde yalnızca harf değişiyor.
ϑ = a · t
x = ½ · a · t²
ϑ² = 2 · a · x
ϑ = g · t
h = ½ · g · t²
ϑ² = 2 · g · h
Kaydırakla bırakılma yüksekliğini değiştir. Sağda hem düşme süresi hem yere çarpma hızı hesaplanıyor; canvas her saniyedeki konumu işaretliyor. Dikkat edeceğin şey işaretler arasındaki mesafenin giderek büyümesi: her saniye aynı hız kazanıldığı için her saniye daha fazla yol alınır.
g = 10 m/s² alındığında ilk hızsız bırakılan bir cismin ardışık saniyelerde aldığı yollar şöyle olur:
| Zaman aralığı | (0-1) s | (1-2) s | (2-3) s | (3-4) s | (4-5) s |
|---|---|---|---|---|---|
| O aralıkta alınan yol | 5 m | 15 m | 25 m | 35 m | 45 m |
| Baştan itibaren toplam | 5 m | 20 m | 45 m | 80 m | 125 m |
| Toplam, h cinsinden | h | 4h | 9h | 16h | 25h |
İki örüntü birden var. Alt satır karesel: h, 4h, 9h, 16h, 25h — çünkü h = ½·g·t² ifadesinde t’nin karesi geçiyor. Orta satırdaki tek sayı dizisi (5, 15, 25, 35, 45) ise bu karelerin ardışık farklarıdır: 4h − h = 3h, 9h − 4h = 5h…
Eklenen kısayol: ilk hızsız düşmede ardışık eşit zaman aralıklarında alınan yollar 1 : 3 : 5 : 7 : 9 oranındadır. Bu, karelerin ardışık farklarının tek sayılar olmasının doğrudan sonucudur ve g’nin değerinden bağımsızdır — Ay’da da aynı orandır, yalnız sayılar küçülür.
Cismin atıldığı nokta referans noktası olmak üzere bu noktanın yukarı yönü pozitif (+) ve aşağı yönü negatif (−) kabul edilir. Buna göre ilk hızı sıfır olan cismin serbest düşme grafikleri, −x yönünde düzgün hızlanan hareketin grafikleriyle aynı özelliklere sahiptir: hareket yönü yukarıdan aşağıya olduğunda grafikler yatay eksenin altına çizilir.
Bu bir seçimdir, doğa yasası değil. Aşağıyı pozitif seçen bir kitapta bütün işaretler ters döner ama sonuçlar değişmez. Önemli olan bir soruyu çözerken seçtiğin yönde tutarlı kalmaktır.
Üç durumu düğmelerle gez. Her durumda soldan sağa x-t, ϑ-t ve a-t grafikleri çiziliyor. Değişmeyen tek şeye dikkat et: a-t grafiği üçünde de aynı — eksenin altında, −g düzeyinde yatay bir çizgi.
Üç durumun denklemleri de yan yana durunca daha kolay hatırlanıyor. Tabloyu filtreleyerek aradığın satırı bul:
İlk hızsız bırakılan cisimde h = ½·g·t² yeterlidir. Ama cisim aşağı doğru fırlatılmışsa ilk hız sıfır değildir ve h = ϑ₀·t + ½·g·t² kullanılmak zorundadır. Aradaki fark küçük görünür, sonucu tamamen değiştirir.
Örnek: 20 m’den bırakılan top 2 s’de düşer. Aynı yükseklikten 10 m/s ile aşağı atılan top ise 20 = 10t + 5t² denkleminden t ≈ 1,24 s’de düşer — neredeyse iki kat hızlı.
Yerden yukarı doğru ϑ₀ ilk hızı ile atılan cisim serbest düşme hareketi yapar. Cisim yer çekimi ivmesi ile düzgün yavaşlayarak maksimum yüksekliğe çıktığı anda cismin hızı sıfır olur. Cisim bu noktadan, ilk hızı sıfır olarak serbest düşme hareketi yapar ve aynı yer çekimi ivmesi ile düzgün hızlanarak yere çarpar.
Cismin maksimum yüksekliğe çıkış ve maksimum yükseklikten iniş süreleri ile yerden aynı yükseklikteki noktalarda hız büyüklükleri birbirine eşit olur.
Bu iki cümle, yukarı atış sorularının neredeyse tamamını çözer. Tepe noktasında hız sıfır ama ivme sıfır değil — ivme orada da g’dir ve aşağı doğrudur. En sık yapılan hata budur.
h = ϑ₀·t − ½·g·t²
ϑ = ϑ₀ − g·t
ϑ² = ϑ₀² − 2·g·h
Kaydırakla atış hızını değiştir. Sağdaki panoda çıkış süresi, maksimum yükseklik ve toplam uçuş süresi hesaplanıyor; canvas her saniyedeki konumu ve hız okunu çiziyor. Aynı yükseklikteki iki noktada okların aynı uzunlukta ama ters yönde olduğunu göreceksin — simetri tam olarak budur.
1. Atıldığı noktaya geri döndüğünde hızının büyüklüğü ilk hıza eşittir,
yönü terstir: −ϑ₀.
2. Toplam uçuş süresi çıkış süresinin iki katıdır:
tuçuş = 2·ϑ₀/g.
3. Maksimum yükseklik hmaks = ϑ₀² / (2g)’dir. Bu, zamansız
denklemde ϑ = 0 yazılarak bulunur.
Üçü de yalnız atış noktasına geri dönüldüğünde geçerlidir. Top bir balkondan atılıp yere düşüyorsa simetri kırılır: iniş süresi çıkıştan uzun, çarpma hızı ilk hızdan büyük olur.
Üçü ders kitabının çözümlü örneği; dördü ders kitabının cevabını boş bıraktığı soru — hesapları biz yaptık ve her adımı yazdık. Bütün hesaplarda g = 10 m/s² ve hava sürtünmesi ihmal edilmiştir.
Masadan (yaklaşık 0,8 m) düşen telefon yere 0,4 s’de ve 4 m/s hızla çarpar. Aynı telefon üçüncü kattan (10 m) düşerse 1,4 s’de ve 14 m/s hızla çarpar. Yükseklik 12 katına çıktı ama hız yalnız 3,5 katına — çünkü ϑ = √(2gh), yani hız yüksekliğin kareköküyle artar.
Topu 5 m/s ile yukarı attığında 0,5 s’de tepe noktasına çıkar, 1,25 m yükselir ve 1 s sonra eline döner. Elindeyken hızı yine 5 m/s’dir — simetri.
Paraşüt açılmadan önceki ilk saniyeler serbest düşmeye çok yakındır. Ama hız arttıkça hava direnci büyür ve bir noktada ağırlığa eşitlenir: hız artık artmaz. Bu sabit hıza limit hız denir ve serbest düşme oradan sonra sabit hızlı harekete dönüşür.
Taşın suya çarpma sesini duyma sürenden kuyunun derinliğini bulabilirsin. 2 s sonra ses geldiyse derinlik yaklaşık ½·10·2² = 20 m’dir. Gerçekte sesin geri gelme süresi de var ama 340 m/s’lik ses için bu birkaç yüzde birlik bir düzeltmedir.
Dolu taneleri bulut içinde defalarca yukarı kaldırılıp düşer; her turda büyürler. Sonunda ağırlıkları rüzgârı yenince yere doğru düşmeye başlar. Büyük tanelerin daha çok zarar vermesinin sebebi daha hızlı düşmeleri değil, aynı hızda daha büyük kütle taşımalarıdır.
Evde deneyebilirsin: bir kâğıt parçası ile bir madeni parayı aynı anda bırak — kâğıt geride kalır. Şimdi kâğıdı buruşturup top yap ve tekrar dene: neredeyse birlikte düşerler. Kütle değişmedi, değişen tek şey hava direncine sunulan yüzeydi.
Ay’da g yaklaşık 1,62 m/s², yani Dünya’nın altıda biri. Aynı bacak kuvvetiyle zıpladığında h = ϑ₀²/(2g) bağıntısına göre altı kat yükseğe çıkarsın ve havada altı kat uzun kalırsın. Astronotların o tuhaf sıçrayarak yürüyüşünün sebebi budur.
Kule seni yukarı çıkarır ve bırakır. O birkaç saniye boyunca sen de koltuğun da aynı g ile düştüğünüz için koltuk sana kuvvet uygulamaz — ağırlıksızlık hissi buradan gelir. Uzay istasyonundaki astronotlar da aslında sürekli “düşüyor”.
Topu havaya atıp vurmadan önce bir an beklersin. En rahat vuruş anı topun tepe noktasıdır, çünkü orada hızı sıfırdır ve yeri en yavaş değişir. Topu 2 m/s ile atarsan bu an atıştan 0,2 s sonra gelir.
Rastgele bir serbest düşme sorusu gelir; doğru cevabı seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür. (g = 10 m/s²)
Yer çekimi ivmesi, serbest düşme denklemleri, yukarı atış simetrisi ve serbest düşme grafikleri üzerine test
Dünya ile cisim arasındaki çekim kuvvetinin cisimde yarattığı ivmedir; g ile
gösterilir, vektöreldir, birimi m/s²’dir ve yönü daima Dünya’nın
merkezine doğrudur.
Ekvator’da ≈ 9,78, kutuplarda ≈ 9,83, ortalama 9,81 m/s².
Ay’da ≈ 1,62 m/s² (Dünya’nın altıda biri). Soruda genellikle 10 m/s²
alınır.
Yukarı doğru veya aşağı doğru atılan veya durgun hâlden bırakılan cisimlerin hepsi yer çekimi etkisiyle hareket eder; bu harekete serbest düşme denir. Yani serbest düşme, yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisindeki tüm hareketlerin ortak adıdır — yukarı atılan top da buna dâhildir.
Hava sürtünmesinin ihmal edildiği ortamda aynı yükseklikten bırakılan cisimler
aynı anda ve aynı hızla yere düşer; ivmeleri kütleden bağımsızdır.
Aristo ağır cismin daha hızlı düşeceğini söyledi (hava direncini ihmal eden
deney yapmadı), Galileo hepsinin aynı düştüğünü savundu, Newton evrensel
kütle çekim yasasıyla matematiksel açıklamayı verdi.
ϑ = g · t
h = ½ · g · t²
ϑ² = 2 · g · h
g = 10 m/s² için ardışık saniyelerdeki yollar 5, 15, 25, 35, 45 m (oran 1:3:5:7:9); toplamlar h, 4h, 9h, 16h, 25h.
ϑ = ϑ₀ + g · t
h = ϑ₀ · t + ½ · g · t²
ϑ² = ϑ₀² + 2 · g · h
Bırakılan ile aşağı atılan karıştırılmaz: birincide ϑ₀ = 0’dır, ikincide değildir.
ϑ = ϑ₀ − g · t
h = ϑ₀ · t − ½ · g · t²
ϑ² = ϑ₀² − 2 · g · h
Tepe noktasında hız sıfır, ivme yine g’dir. tçıkış = tiniş = ϑ₀/g, tuçuş = 2ϑ₀/g, hmaks = ϑ₀²/(2g). Aynı yükseklikteki noktalarda hız büyüklükleri eşittir.
Atış noktası referans, yukarı +, aşağı − alınır; aşağı düşüşün
grafikleri eksenin altına çizilir.
x-t: paraboldür. ϑ-t: eğik doğrudur, eğimi −g’dir.
a-t: her durumda −g düzeyinde yatay çizgidir — ilk hız ne olursa olsun
değişmez.
İstop topu: 10 m/s ile yukarı atılıp 11 m/s ile yere çarpıyor →
atıldığı yükseklik 1,05 m (üç ayrı yöntemle aynı sonuç).
Paraşütçü: a = −10 m/s²; 3. saniyedeki yer değiştirme 25 m,
3 saniyedeki 45 m; 1 s geç açsa 45 m daha düşerdi; 7. s’de hız
70 m/s.
Ay deneyi (David Scott, 2 Ağustos 1971): tüy ve çekiç eşit zamanlarda eşit
yollar alır — ivmeleri ve her noktadaki hızları eşittir.
Kuyu: taş 2,3 s düşüyor → derinlik 26,45 m, çarpma hızı 23 m/s.
Feryal’in topu: 20 m’den bırakılıyor → 2 s’de düşer, çarpma hızı
20 m/s.
K ve L cisimleri: L 2. s’de yerden 40 m yüksekteyse bırakıldığı yükseklik
60 m; K 3 s havada kaldıysa bırakıldığı yükseklik 45 m; g = 3,6 m/s²
olsaydı L’nin 3 s’deki yer değiştirmesi 16,2 m olurdu.
1. Tepe noktasında ivmeyi de sıfır sanmak. Hız sıfırdır, ivme g’dir.
2. Ağır cismin daha hızlı düşeceğini düşünmek. Sürtünmesiz ortamda ivme
kütleden bağımsızdır.
3. “Bırakıldı” ile “aşağı atıldı” ifadelerini aynı saymak. İkincisinde
ϑ₀ ≠ 0’dır ve ½·g·t² tek başına yetmez.