İki hareket aynı anda, birbirinden habersiz
Havaya atılan bir top hem ileri hem aşağı gider. Bu ünitenin tek büyük fikri şu: bu iki hareket birbirini hiç etkilemez. Yatayda cisme kuvvet etki etmediği için orada hız hiç değişmez — sabit hızlı hareket. Düşeyde ise yalnız yer çekimi vardır — sabit ivmeli hareket. Yani iki ünite önce ve bir ünite önce öğrendiklerini yan yana koyuyorsun. Yeni denklem yok; yalnız ikiye bölünmüş bir problem var.
Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda yerden yatay eksenle açı yapacak şekilde veya belli bir yükseklikten yatay doğrultuda atılan cisim, atıldığı andan itibaren yalnızca yer çekimi ivmesinin etkisi altında hareket eder.
Cisim, bu etki ile düşey doğrultuda sabit ivmeli hareket yapar. Yatay doğrultuda ise cisme etki edecek bir kuvvet olmadığından cismin sahip olduğu hız büyüklüğü değişmez.
Aynı anda hem yatay hem düşey doğrultularda hareket eden cisimlerin hareketine iki boyutta sabit ivmeli hareket adı verilir.
Bu tanımın işlemsel karşılığı şudur: yatay ve düşey eksenler üzerindeki hareketler birbirinden bağımsız olarak ele alınır. Bir soruyu çözerken önce iki sütun çizersin — solda yatay, sağda düşey — ve her sütunda o eksenin kendi denklemlerini kullanırsın. İkisini birbirine bağlayan tek şey ortak zamandır.
Aşağıdaki panoda aynı yükseklikten üç top bırakılıyor: biri düşey aşağı, ikisi farklı yatay hızlarla. Kaydırakla yatay hızları değiştir. Göreceğin şey şu: üçü de aynı anda yere değiyor. Yatay hız düşme süresini hiç etkilemiyor — çünkü düşme süresini belirleyen tek şey yükseklik.
t = 0 anında ϑ₀ hızı ile atılan cismin yatay hızının büyüklüğü (ϑx), cisme yatay doğrultuda etki eden bir kuvvet olmadığından hareketi süresince değişmez. Bu durumda ϑx = ϑ₀ olur.
Cismin her bir birim zamanda yatay doğrultudaki yer değiştirmeleri eşittir. Bu durumda cisim, sabit hızlı hareket yapar.
x = ϑx · t
Cisim, düşey doğrultuda yer çekimi ivmesi ile hareket ettiğinden cismin düşey doğrultudaki yer değiştirmesi yer çekimi ivmesine bağlı olarak zamanla artar.
Yatay doğrultuda atıldığında düşey ilk hız sıfırdır ve düşey hareket bir önceki ünitenin ilk hızsız serbest düşmesidir.
h = ½ · g · t²
Aynı yükseklikten atılan üç top düşünelim: biri yalnız düşey doğrultuda yol alır, ikisi hem yatay hem düşey doğrultularda. Yalnız düşey doğrultuda yol alan topun hareketi bir boyutta serbest düşme hareketidir. Öteki ikisi ise aynı anda hem yatay hem düşey doğrultularda yol alarak serbest düşme hareketi yapar — ve üçü de aynı anda yere ulaşır.
Bunu bir kez kabul edersen bütün ünite kolaylaşır: “kaç saniyede düşer” sorusunun cevabı hiçbir zaman yatay hıza bağlı değildir.
h = ½ · g · t²
Cismin yere düşme süresi, atıldığı yüksekliğe bağlıdır. Yatay hız bu süreye hiç karışmaz.
xmenzil = ϑ₀ · t
Cismin atıldığı noktadan itibaren yatay doğrultuda gittiği en uzak mesafeye menzil denir. Menzil, yatay ϑ₀ hızı ile yere düşünceye kadar geçen süreye bağlıdır.
ϑ² = ϑx² + ϑy²
Herhangi bir andaki gerçek hız, sabit kalan ϑx ile giderek büyüyen ϑy = g·t’nin dik bileşimidir.
İki kaydırak: biri atış yüksekliğini, öteki yatay hızı değiştiriyor. Yüksekliği değiştirdiğinde hem süre hem menzil değişir; hızı değiştirdiğinde yalnız menzil değişir, süre sabit kalır. Bu iki kaydırağı ayrı ayrı oynatmak, bağımsızlık ilkesini bir paragraftan daha iyi anlatır.
Düşey hız ϑ = g·t ifadesinden t = ϑ/g çekilir. Bu ifade h = ½·g·t² modelinde yerine yazıldığında zaman niceliğinin olmadığı
ϑ² = 2 · g · h
bağıntısı elde edilir. Bu, düşey bileşenin kendi başına bir serbest düşme olduğunun doğrudan kanıtıdır: yatay hareket denklemin hiçbir yerinde geçmiyor.
ϑ₀ yatay ilk hızı ile atılan cismin zamana bağlı değerleri:
| Zaman | Yatay hız | Düşey hız | Yatay yer değiştirme | Düşey yer değiştirme |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ϑ₀ | 0 | 0 | 0 |
| t | ϑ₀ | g · t | ϑ₀ · t = x | h = ½·g·t² |
| 2t | ϑ₀ | g · 2t | ϑ₀ · 2t = 2x | 4h |
| 3t | ϑ₀ | g · 3t | ϑ₀ · 3t = 3x | 9h |
Yatay sütun doğrusal artıyor (x, 2x, 3x), düşey sütun karesel (h, 4h, 9h). Cismin çizdiği eğrinin parabol olmasının sebebi tam olarak budur: biri t ile, öteki t² ile büyüyor.
Cismin başlangıçtaki atılma hızı ϑ’nin yatay bileşeni
ϑx = ϑ · cos α
ve düşey bileşeni
ϑy = ϑ · sin α
matematiksel modelinden hesaplanır.
Açı yatay eksenle ölçülür. Bu yüzden cos yataya, sin düşeye gider. Karıştırmamak için tek cümle yeter: “açı yatayla ölçülüyorsa yataydaki bileşen cos’ludur”.
tçıkış = ϑy / g
Tepe noktasında düşey hız sıfırlanır: 0 = ϑy − g·t.
tuçuş = 2 · ϑy / g
Cismin çıkış ve iniş süreleri birbirine eşittir, bu yüzden uçuş süresi çıkış süresinin iki katıdır.
hmaks = ϑy² / (2g)
Aynı sayı (ϑy · tçıkış)/2 ile de bulunur — ϑ-t grafiğindeki üçgenin alanı.
Hız-zaman grafiğinin yatay eksenle arasında kalan alan cismin menzilini verir. Yatay hız sabit olduğu için bu alan bir dikdörtgendir:
xmenzil = ϑx · tuçuş
Yani menzil iki eksenin çarpımıdır: yataydan gelen ϑx ile düşeyden gelen tuçuş. Bir eksenin bilgisi tek başına menzili vermez.
Kaydıraklarla atış hızını ve açıyı değiştir. Sağdaki panoda bileşenler, süreler, maksimum yükseklik ve menzil adım adım hesaplanıyor; canvas yörüngeyi ve her noktadaki hız oklarını çiziyor. Açıyı 45°’nin iki yanında simetrik seç (mesela 30° ve 60°) — menzillerin aynı çıktığını göreceksin.
Eğik atışta tepe noktasında sıfırlanan şey yalnız düşey bileşendir. Yatay bileşen oradan da ϑx olarak geçer. Yani cismin tepe noktasındaki hızı sıfır değil, ϑx’tir ve yönü tam yataydır.
Bir önceki ünitedeki düşey yukarı atışta tepe noktasında hız gerçekten sıfırdı — çünkü orada yatay bileşen yoktu. İki ünite arasındaki en kritik fark budur.
Düğmelerle eksenler arasında gez. Her seçimde soldan sağa o eksene ait hız-zaman, konum-zaman ve ivme-zaman grafikleri çiziliyor. İki eksenin grafiklerini yan yana görünce “bağımsızlık” soyut bir cümle olmaktan çıkıyor.
Aynı bilgi tablo hâlinde. Bir soruda hangi eksende hangi denklemi kullanacağını burada bulabilirsin:
Sınavda iki boyutlu her soru şu şablonla çözülür:
ϑx = sabit
x = ϑx · t
xmenzil = ϑx · tuçuş
İvme sıfırdır.
ϑy = ϑ₀y ∓ g·t
h = ϑ₀y·t ∓ ½·g·t²
ϑy² = ϑ₀y² ∓ 2·g·h
İvme g’dir, yukarı çıkarken yavaşlatır, inerken hızlandırır.
İki sütunu birbirine bağlayan tek nicelik zamandır. Bir eksende bulduğun süreyi öteki eksende kullanırsın; başka hiçbir bilgi eksenler arasında geçmez.
Aynı hızla ama farklı açılarla atılan bir cisim ne kadar uzağa düşer? Aşağıdaki tablo 20 m/s ile atılan bir cirit için beş açıyı karşılaştırıyor (g = 10 m/s²). Bu hesapların tamamı bize ait — ders kitabı tabloyu boş bırakmış.
Açı büyüdükçe ϑy büyür, bu yüzden uçuş süresi de büyür. Tablodaki en uzun süre 60°’de. Genel kural: 90°’ye yaklaştıkça süre artar (90°’de cisim tam yukarı gider ve menzil sıfır olur).
Menzil ϑx · tuçuş çarpımıdır. Açı büyürken ϑx küçülür ama süre büyür; ikisinin çarpımı 45°’de en büyük değerini alır. Tabloda 45° satırı 40 m ile başı çekiyor.
Toplamı 90° olan iki açı aynı menzili verir: 30° ile 60° ikisi de 34,6 m; 37° ile 53° ikisi de 38,4 m. Yörüngeleri farklıdır — biri basık, öteki dik — ama aynı noktaya düşerler.
Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda en uzağa giden su roketini tasarlamak isteyen bir öğrenci hangi değişkenlere bakmalı?
Hava sürtünmesi önemsenmediğinde roketin şeklinin, kanat sayısının ve içindeki su miktarının bir önemi olmaz. Bu durumda fırlatma hızı ve fırlatma açısına dikkat edilerek tasarlanan roket yarışmayı kazanacaktır.
Şaşırtıcı gelen kısım kütlenin listede olmaması. Menzil bağıntısında kütle hiç geçmez — tıpkı serbest düşmede olduğu gibi. Gerçek yarışmada şekil ve kanat elbette işe yarar, ama hava direnci yüzünden; ideal modelde yeri yoktur.
İkisi ders kitabının çözümlü örneği; üçü ders kitabının cevabını boş bıraktığı soru — hesapları biz yaptık ve her adımı yazdık. Bütün hesaplarda g = 10 m/s² ve hava sürtünmesi ihmal edilmiştir.
Topa daha dik bir açıyla vurursan yay yükselir ve pota deliğine daha dik iner — çember daha geniş görünür, girme şansı artar. Daha düz atarsan topun menzili aynı kalabilir ama çembere yatık girer. Bu, tümleyen açıların aynı menzili vermesinin somut hâlidir.
Kalemi masadan hızlı iterek düşürürsen daha uzağa düşer ama yere değme anı değişmez. Aynı anda bir kalemi de kenardan aşağı bırak: ikisi aynı sesi aynı anda çıkarır. Bu, evde iki saniyede yapılabilecek bir bağımsızlık deneyidir.
Topun kaleye ulaşma süresi yalnız düşey bileşene bağlıdır. Yüksek bir orta havada daha uzun kalır, savunma toplanmaya vakit bulur; sert ve alçak bir orta düşey bileşeni küçük olduğu için çabuk ulaşır. Antrenörün “yerden oyna” demesinin fiziksel karşılığı budur.
Topa tam yatay vurursan düşey ilk hız sıfırdır ve top hemen düşmeye başlar. Fileye ulaşana kadar ne kadar düştüğünü hesaplayabilirsin: 14 m/s ile vurulan bir top 1,40 m’lik yarı masayı 0,1 s’de geçer ve bu sürede yalnız 5 cm düşer.
Hortumun ucunu yukarı kaldırdıkça su daha uzağa gider — bir yere kadar. 45°’yi geçtikten sonra menzil azalmaya başlar. Hortumla bunu deneyerek 45° kuralını gözünle görebilirsin.
Şelalenin tepesinden ayrılan su kütlesi artık serbest düşmededir: yatayda aynı hızla ilerlerken düşeyde hızlanır. Sudan oluşan o kavisli perde aslında üst üste binmiş binlerce paraboldür.
Açı ve güç ayarlayarak hedef vurduğun oyunlar tam olarak bu üniteyi çalıştırır. Oyun motoru her karede yatay hızı sabit tutar, düşey hıza g·Δt ekler. Kodun tamamı iki satırdır.
Beden dersinde cirit ya da sopa atarken herkes olabildiğince yukarı fırlatır. Oysa çok dik atmak menzili düşürür: cisim uzun süre havada kalır ama yatayda az yol alır. En uzak atış 45°’ye yakın açılardan gelir.
Balonu birbirinize atarken mesafe açıldıkça açıyı yükseltirsiniz. Farkında olmadan x = ϑx·tuçuş bağıntısını çözersiniz: mesafe arttıkça süreyi uzatmak, yani ϑy’yi büyütmek gerekir.
Rastgele bir yatay ya da eğik atış sorusu gelir; doğru cevabı seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür. (g = 10 m/s²)
Yatay atış, eğik atış, hızın bileşenleri, menzil ve maksimum yükseklik üzerine test
Aynı anda hem yatay hem düşey doğrultularda hareket eden cisimlerin hareketine
iki boyutta sabit ivmeli hareket denir.
Cisim atıldığı andan itibaren yalnızca yer çekimi ivmesinin etkisindedir:
düşeyde sabit ivmeli, yatayda ise kuvvet olmadığı için sabit hızlı
hareket yapar.
Yatay ve düşey eksenlerdeki hareketler birbirinden bağımsız ele alınır; ikisini
bağlayan tek nicelik zamandır.
Sonucu: aynı yükseklikten bırakılan top ile yatay atılan top aynı
anda yere düşer. Düşme süresini yalnız yükseklik belirler.
ϑx = ϑ₀ (sabit) · x = ϑ₀ · t
h = ½ · g · t² · ϑy = g · t
ϑy² = 2 · g · h · ϑ² = ϑx² + ϑy²
Menzil: xmenzil = ϑ₀ · t. Süreyi yükseklik, menzili hız × süre belirler.
ϑx = ϑ · cos α
ϑy = ϑ · sin α
Açı yatay eksenle ölçülür: cos yataya, sin düşeye gider. Yatay bileşen hareket boyunca hiç değişmez.
tçıkış = ϑy / g
tuçuş = 2 · ϑy / g
hmaks = ϑy² / (2·g) = (ϑy · tçıkış)/2
xmenzil = ϑx · tuçuş
Çıkış ve iniş süreleri eşittir. Tepe noktasında düşey hız sıfır, ama toplam hız ϑx’tir — sıfır değildir.
Yatay eksen: ϑ-t yatay çizgi (ϑx sabit), x-t orijinden çıkan doğru
(6t sonunda 6x), a-t sıfır düzeyinde.
Düşey eksen: ϑ-t eğik doğru (+ϑy’den −ϑy’ye), x-t tepe yapan eğri
(hmaks), a-t −g düzeyinde yatay çizgi.
30°: 34,6 m · 37°: 38,4 m · 45°: 40 m ·
53°: 38,4 m · 60°: 34,6 m
En uzak menzil 45°’dedir. Toplamı 90° olan açılar aynı menzili verir
(30°–60°, 37°–53°). En uzun havada kalma en büyük açıdadır (tabloda 60°).
Şelale (45 m, 40 m/s yatay): düşme süresi 3 s; B ve C noktalarının
tabandan yüksekliği 40 m ve 25 m; D’deki hız 50 m/s;
yatay yer değiştirme 120 m.
Tenis topu (53°, 8 s): ϑy = 40 m/s, ϑ₀ = 50 m/s,
ϑx = 30 m/s; hmaks = 80 m; 6. s’de yerden 60 m;
saniyelik düşey yollar 35, 25, 15, 5 m.
Masa tenisi (14 m/s, 0,20 m): top fileye 0,1 s’de ulaşır, 5 cm düşer, yüksekliği
15 cm olur ve 14 cm’lik fileyi 1 cm ile geçer. Masaya çarpma
süresi 0,2 s, çarpma anında ϑx = 14 m/s, ϑy = 2 m/s.
Voleybol (50 m/s, 37°): ϑy = 30 m/s, tçıkış = 3 s,
hmaks = 45 m, oyuncular arası mesafe 240 m.
Cirit (20 m/s): menziller sırasıyla 34,6 · 38,4 · 40 · 38,4 · 34,6 m.
1. Yatay hızın düşme süresini etkilediğini sanmak. Süreyi yalnız
yükseklik belirler.
2. Eğik atışta tepe noktasında hızı sıfır sanmak. Orada ϑy = 0’dır ama
hız ϑx’tir.
3. Bileşenleri ters yazmak. Açı yatayla ölçüldüğünde
ϑx = ϑ·cos α, ϑy = ϑ·sin α’dır.