Eşit zamanlarda eşit yer değiştirme
Bir cisim her saniye aynı miktarda yer değiştiriyorsa hareketi sabit hızlıdır. Kulağa basit geliyor ama bu tek cümleden üç şey birden çıkıyor: hızın büyüklüğü değişmez, doğrultusu değişmez ve ivme sıfırdır. Bu sayfada sabit hızlı hareketi iki grafikten okumayı öğreneceksin: x-t grafiğinin eğimi hızı, ϑ-t grafiğinin altında kalan alan yer değiştirmeyi verir. Sonunda tek bir bağıntı kalır: Δx = ϑ · Δt.
Doğrusal yolda hareket eden bir araç eşit zaman aralıklarında eşit yer değiştirmelere sahip ise aracın hareketine sabit hızlı hareket, sahip olduğu hıza sabit hız denir.
Yatay doğrultuda sabit hızlı hareket eden cismin hızının büyüklüğü ve doğrultusu değişmez. Bu durumda aracın hız büyüklüğünde değişim olmadığı için ivmesi sıfır olur.
Tanımdaki iki sözcüğün altını çiz: “eşit zaman aralıklarında” ve “eşit yer değiştirmelere”. Bir cisim ilk saniyede 3 m, ikinci saniyede 3 m, üçüncü saniyede 3 m yer değiştiriyorsa hızı sabittir. İlk saniyede 3 m, ikinci saniyede 5 m yer değiştiriyorsa artık sabit hızlı değildir — ivmesi vardır ve bu, bir sonraki ünitenin konusudur.
Sabit sürat, bir cismin eşit zaman aralıklarında eşit yollar alması durumudur. Sabit sürat sadece büyüklüğü ifade eden skaler bir niceliktir.
Sürat yalnız ne kadar hızlı sorusunu cevaplar. Yönü umursamaz, bu yüzden hiçbir zaman negatif olmaz.
Sabit hız ise hem büyüklüğü hem de yönü olan vektörel bir niceliktir.
Hız ne kadar hızlı sorusuna da hangi yöne sorusuna da cevap verir. Bir boyutlu harekette yön işaretle gösterilir: +ϑ pozitif yön, −ϑ negatif yön.
Bu ayrım kolayca gözden kaçar: sabit süratle hareket eden bir cismin hızı değişebilir. Nasıl? Yön değişirse. Virajı 40 km/h ile dönen bir araç boyunca sürati sabittir, ama her an başka bir yöne baktığı için hızı sürekli değişir — yani sabit hızlı değildir.
Tersi olmaz: hız sabitse sürat de mutlaka sabittir. Yani “sabit hız” daha güçlü bir şarttır. Bu ünitedeki bütün örnekleri doğrusal (bir boyutlu) hareket olduğu için orada iki kavram sayıca çakışır; sınav sorusu tam bu çakışmanın dışına çıktığında ayırt edici olur.
Aşağıdaki panoda Şekil 1.1 var: yatay doğrultuda sabit hızla giden bir elektrikli scooter. Kaydırağı çektiğinde hız büyüklüğü değişir; dikkat edeceğin şey aradaki Δx oklarının hepsinin aynı uzunlukta kalması. Hız arttıkça hepsi birden uzar, ama hiçbir zaman biri diğerinden uzun olmaz.
Grafik 1.1’de zıt yönlerde hareket eden araçların x-t grafiği gösterilmektedir. Bu grafikte araçlar yön değiştirmediğine göre sabit hızla hareket etmeleri durumunda araçların yer değiştirmeleri zamana bağlı olarak artmaktadır.
x-t grafiğinin eğiminden yararlanılarak araçların hız büyüklüğü bulunabilir. A aracına ait grafiğin eğimi pozitif olduğundan aracın hızı pozitif değer alır ve yer değiştirmesi +x yönünde olur. B aracına ait grafiğin eğimi negatif olduğundan aracın hızı negatif değer alır ve yer değiştirmesi −x yönünde olur.
Sabit hızlı hareketin x-t grafiği her zaman bir doğrudur. Eğri ise hız değişiyordur, yani hareket sabit hızlı değildir.
Yukarı doğru giden doğru pozitif yön, aşağı doğru inen doğru negatif yön demektir. Yatay doğru ise duruyor demektir: konum değişmiyor, ϑ = 0.
Doğru ne kadar dikse hız büyüklüğü o kadar fazladır. İki doğru kesişiyorsa o an iki cisim aynı konumdadır — yani karşılaşmışlardır.
İki kaydırak var: A aracının hızı ve B aracının hızı. B’nin kaydırağını negatife çektiğinde doğrusu aşağı iner — Grafik 1.1’deki kırmızı çizgi budur. Her iki araç da x = 0’dan başlıyor; kaydırağı sıfıra getirince doğru yatay olur — o araç duruyordur.
x-t grafiğindeki doğru yukarı doğru gidiyor diye cisim yokuş çıkıyor sanma. Düşey eksen konum, yatay eksen zaman. Grafik cismin izlediği yolun resmi değil, konumunun zaman içinde nasıl değiştiğinin kaydıdır. Bütün örnekleri yatay doğrultudaki hareketlerdir ama grafikleri yine de eğimlidir.
Araçların hızı zamanla değişmediğinden ϑ-t grafiğinde grafik çizgisi yatay olur. Grafikte zaman ekseninin üzerinde kalan grafik çizgisi pozitif yöndeki hızı, zaman ekseninin altında kalan grafik çizgisi ise negatif yöndeki hızı gösterir.
ϑ-t grafiğinin yatay eksen ile arasında kalan alan hesaplanarak aracın yapmış olduğu yer değiştirme bulunabilir.
Alan bir dikdörtgendir: yüksekliği hız, tabanı zaman. Dikdörtgenin alanı ϑ · Δt olduğu için yer değiştirme de Δx = ϑ · Δt çıkar. Bağıntı ezberlenecek bir şey değil, bir dikdörtgenin alanıdır.
Aşağıda iki kaydırak var: hız ve süre. Hızı negatife çektiğinde grafik çizgisi zaman ekseninin altına iner ve taralı alan negatif sayılır — posta dağıtım aracı örneğindeki −12 m/s tam olarak budur. Sağdaki kutuda hem alanın hem yer değiştirmenin hesabı adım adım yazılıyor.
İki grafik birbirinin çevirisidir. Aşağıdaki panoda dört hareket var; her biri için x-t ve ϑ-t grafikleri yan yana çiziliyor. Düğmeler arasında gezerek aynı hareketin iki grafikte nasıl göründüğünü karşılaştır — “x-t grafiğinden yararlanarak ϑ-t grafiğini çiziniz” alıştırmasının cevabı budur.
x-t grafiklerinin eğimlerinden yararlanarak hız büyüklüğünün matematiksel modeline ulaşılır.
A aracı için: Δx / Δt = (x − 0) / (t − 0) = x / t = ϑ
B aracı için: Δx / Δt = (−x − 0) / (t − 0) = −x / t = −ϑ
ϑ-t grafiklerinin yatay eksen ile arasında kalan alandan yararlanarak yer değiştirme büyüklüğünün matematiksel modeline ulaşılır.
A aracı için: Δx = ϑ · (t − 0) = ϑ · t
B aracı için: Δx = −ϑ · (t − 0) = −ϑ · t
Δx = ϑ · Δt
Bağıntının vektörel hâli: Δx vektörü = ϑ vektörü · Δt. Zaman skaler olduğu için yer değiştirmenin yönü hızın yönüyle aynıdır.
ϑ = (xson − xilk) / (tson − tilk) = Δx / Δt
Pay konum farkı, payda zaman farkı. Bu, x-t grafiğindeki doğrunun eğiminin ta kendisidir.
Bağıntıdaki Δx bir farktır: xson − xilk. Başlangıç konumu sıfır değilse x = ϑ · t yazmak yanlış olur, doğrusu xson = xilk + ϑ · Δt’dir. Çalışma yaprağındaki 3. soruda araç x = 10 m’den başlıyor ve 5. saniyede 60 m’de oluyor: yer değiştirmesi 60 − 10 = 50 m, konumu ise 60 m. Soru hangisini istiyorsa onu ver.
Bu ek açıklama sayfaya eklenmiştir. 3. sorudaki tabloda başlangıç konumunun 10 m olduğu açıkça verilmiş; buradaki kural o veriden çıkarılan ve fizikte kesin doğru olan genel bağıntıdır.
Aşağıdaki tabloda bağıntının üç bilinmeyeni de var. Arama kutusuna bir kelime yaz (eğim, alan, negatif, yatay…) ve hangi satırların kaldığına bak.
Ortalama hız = Toplam yer değiştirme ÷ Hareket süresi
Kısaca Δx / Δt. Payda yer değiştirme olduğu için başlangıç ve bitiş noktası aynıysa ortalama hız sıfırdır.
Ortalama sürat = Alınan yol ÷ Hareket süresi
Payda alınan yol var: cismin çizdiği yörüngenin toplam uzunluğu. Yol hiçbir zaman azalmaz, bu yüzden ortalama sürat hiçbir zaman negatif olmaz.
Ürün bir doğru boyunca hareket ederken yön değiştirmediğinden ürünün ortalama hızının büyüklüğü ve ortalama sürati birbirine eşittir.
Şart cümlesi burada: “yön değiştirmediğinden”. Yön değiştiren bir harekette alınan yol, yer değiştirmenin büyüklüğünden büyük olur; o zaman ortalama sürat de ortalama hızın büyüklüğünden büyük çıkar. Bu iki sayının eşitliği kural değil, özel bir durumdur.
CNC makinesi “I” harfini çizmek için A noktasından B noktasına 5 cm/s sabit hız büyüklüğü ile hareket ediyor. x-t grafiği bir üçgendir: 0 s’de 0 cm, 10 s’de 50 cm, 20 s’de yine 0 cm.
a) Grafiğin yorumu: kol ilk 10 s’de +5 cm/s ile 50 cm uzaklaşıyor, sonraki 10 s’de −5 cm/s ile aynı yoldan geri dönüyor. İki parça da doğru olduğu için her iki bölümde de hareket sabit hızlıdır; ama yön değiştiği için hareketin tamamı sabit hızlı değildir.
b) 3. saniyedeki konum: 5 · 3 = 15 cm, yani A’dan B’ye giden çizginin başlangıcından 15 cm ilerisi.
c) Kol başladığı noktaya geri döndüğü için toplam yer değiştirme sıfırdır → ortalama hızın büyüklüğü = 0. Alınan yol ise 50 + 50 = 100 cm ve süre 20 s → ortalama sürat = 100 / 20 = 5 cm/s.
ç) ϑ-t grafiği: (0-10) s aralığında +5 cm/s düzeyinde, (10-20) s aralığında −5 cm/s düzeyinde iki yatay çizgi. Eksen üstündeki alan +50 cm, altındaki alan −50 cm; toplamı sıfırdır ve bu da yer değiştirmenin sıfır olduğunu doğrular.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir — ders kitabında “Cevap” alanı boş bırakılmış. Bütün sayılar grafikteki işaretli 50 cm ile 10 ve 20 s değerlerinden ve verilen 5 cm/s’den çıkıyor. Bu, ünitedeki en önemli örnektir: ortalama hızın büyüklüğü ile ortalama süratin eşit olmadığı tek durum burada, çünkü kol yön değiştiriyor.
Bir posta dağıtım aracı, dağıtım merkezine geri dönüşü sırasında 1500 m uzunluğunda doğrusal bir yolu sabit hız ile geçmektedir. Bu hareket 125 s sürmektedir. Aracın ϑ-t grafiğini çiziniz.
Çözüm: hız büyüklüğü ϑ = Δx / Δt = 1500 / 125 = 12 m/s bulunur. Aracın gittiği yön pozitif kabul edilirse başlangıç noktasına dönerken hızı negatif alınır. Bu yüzden ϑ-t grafiğinde grafik doğrusu yatay eksenin altında, −12 m/s düzeyinde yatay bir çizgi olur ve t = 125 s’de biter.
Dikkat: 1500 m ile 125 s bölününce 12 çıkar, −12 değil. Eksi işareti hesaptan değil, yön seçiminden gelir. Soru “geri dönüş” dediği için yön ters, işaret eksi.
Bir fabrikada üretilen ürünler, yatay doğrultulu iki ayrı bandın üzerinde taşınmaktadır. Birinci bandın uzunluğu 12 m, ikinci bandın uzunluğu 24 m’dir. Ürün birinci bantta 4 s yol aldıktan sonra ikinci banda aktarılmakta ve 6 s de bu bant üzerinde yol aldıktan sonra ürünün üretim süreci tamamlanmaktadır.
Sorular: a) x-t grafiğinde 4. s’de doğrultunun değişme nedeni nedir? b) (0-4) s ve (4-10) s aralığındaki hız büyüklükleri? c) ϑ-t grafiğini çiz, hareket yönünü yorumla. ç) (0-9) s arasındaki yer değiştirme? d) Ortalama hızın büyüklüğü ile ortalama sürati karşılaştır.
Düğmelere sırayla bas: her adımda grafik değişir ve sağdaki kutuda o adımın çözümü açılır.
Doğrusal bir parkurda birbirine doğru sabit hızlarla hareket eden K ve L bisikletlilerinin hız büyüklükleri sırasıyla 5 m/s ve 6 m/s’dir. t = 0 anında karşılaşıyorlar.
b) 8. saniyede aralarındaki uzaklık: karşılaştıktan sonra zıt yönlere ayrıldıkları için aralarındaki uzaklık iki yer değiştirmenin toplamıdır: 5 · 8 + 6 · 8 = 40 + 48 = 88 m.
ç) L’nin 5 s’de aldığı yolu K kaç s’de alır? L’nin yolu 6 · 5 = 30 m. K bu yolu 30 / 5 = 6 s’de alır.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir — soru ders kitabında boş bırakılmış (“Cevap” alanı öğrenciye ayrılmış). Hesap yalnız verilen sayılarla ve Δx = ϑ · Δt bağıntısıyla yapıldığı için kesin doğrudur.
Sporcunun x-t grafiği: 0 s’de 0 m, 10 s’de 40 m, 20 s’de 80 m, 30 s’de 120 m.
a) (0-30) s aralığındaki yer değiştirme 120 − 0 = 120 m; (20-30) s aralığındaki yer değiştirme 120 − 80 = 40 m.
b) Ortalama hızın büyüklüğü 120 / 30 = 4 m/s. Sporcu yön değiştirmediği için alınan yol da 120 m’dir ve ortalama sürat de 4 m/s çıkar.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir — ders kitabında grafik verilmiş ama cevap alanı boş. Sayılar grafikteki işaretli değerlerden (40, 80, 120 m ve 10, 20, 30 s) okundu.
Tuna her 2 m aralığı 1 s’de, Ada her 8 m aralığı 2 s’de geçiyor.
Tuna’nın hızı 2 / 1 = 2 m/s, Ada’nın hızı 8 / 2 = 4 m/s. Yani Ada daha hızlıdır. İlk 8 s’de her 2 s’lik aralıkta Ada 8 m, Tuna 4 m yer değiştirir; dört aralığın toplamı Ada için 32 m, Tuna için 16 m’dir.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir. Ders kitabı yalnız veriyi ve boş tabloyu vermiş; hesap verilerin doğrudan bölünmesiyle yapıldı.
K ile L arası 480 m. Ayla K’den 5 m/s, Burak L’den 7 m/s ile birbirlerine doğru harekete başlıyor. Kaç saniye sonra karşılaşırlar?
Birbirlerine yaklaşma hızları 5 + 7 = 12 m/s’dir. Aradaki mesafeyi kapatma süresi 480 / 12 = 40 s. Bu sürede Ayla 5 · 40 = 200 m, Burak 7 · 40 = 280 m yol alır; toplamları 480 m eder.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir. “Yaklaşma hızı = hızların toplamı” kuralı zıt yönlü iki hareket için kesin doğrudur ve iki cismin konum bağıntısını (5t + 7t = 480) tek adımda çözer.
Tablo: evden çıkış 07.10.00, otobüs durağına varış 07.20.07 (800 m yürüyüş), otobüse biniş 07.24.30, otobüsten iniş 07.30.10 (2380 m), okula varış 07.33.52 (400 m yürüyüş).
a) Toplam alınan yol: 800 + 2380 + 400 = 3580 m.
b) Ortalama hız için gereken nicelikler: yer değiştirme (ev ile okul arasındaki kuş uçuşu uzaklık, yani haritadaki kırmızı çizgi) ve hareket süresi. Haritada kuş uçuşu uzaklığın sayısal değeri verilmediği için ortalama hız hesaplanamaz; soru zaten “hangi nicelikler bilinmelidir” diye soruyor.
c) Ev ile okul arasındaki ortalama sürat: toplam süre 07.33.52 − 07.10.00 = 23 dk 52 s = 1432 s. Ortalama sürat 3580 / 1432 = 2,5 m/s.
ç) Otobüsün ortalama sürati: otobüs 07.24.30’da kalkıp 07.30.10’da iniyor, yani 5 dk 40 s = 340 s sürede 2380 m alıyor: 2380 / 340 = 7 m/s.
Bu çözüm sayfaya eklenmiştir. Bütün sayılar tablodaki saat ve mesafe değerlerinden alındı; yalnız saat farkları saniyeye çevrilip bölme yapıldı.
Sabit hızlı hareketin en bilinen iki örneği platform tipi asansör ve taşıyıcı bant. Aşağıdaki dokuz sahne aynı fikrin senin gününden karşılıkları.
AVM’deki yürüyen merdiven sabit süratle çalışır: basamak başına geçen süre hep aynıdır. Düz kısmında hareketi sabit hızlıdır çünkü hem büyüklük hem yön değişmez. Üstünde durursan hızın merdivenin hızıdır; yürürsen ikisi toplanır.
Taşıyıcı bant: bant sabit süratle döner. Bandın düz kısmında valizin hızı sabittir; viraja girdiğinde sürati aynı kalır ama yönü değiştiği için hızı değişir. Yukarıdaki A-B ve B-C sorusu tam olarak bunu soruyor.
Platform kata giderken bir doğru boyunca sabit hızla ilerler; kata yaklaşınca yavaşlar. O yavaşlama anında hareket artık sabit hızlı değildir — ivme sıfırdan farklıdır.
Bant 120 s boyunca 3 m/s, sonra 120 s boyunca 6 m/s. Bandın bir noktasının aldığı yol 3 · 120 + 6 · 120 = 1080 m’dir. Sen ise hep aynı yerdesin: senin yer değiştirmen sıfırdır.
Metro istasyondan çıkarken hızlanır, tünelin ortasında sabit hızla gider, istasyona girerken yavaşlar. Sabit hızlı olduğu kısımda ayakta durup tutunmasan bile savrulmazsın — çünkü orada ivme sıfırdır.
Düz bir yolda pedalı aynı tempoda çevirirsen hızın sabittir. Telefonun “4 km, 16 dakika” diyorsa ortalama süratin 4000 / 960 ≈ 4,2 m/s demektir. Bu bir ortalama değerdir; her an tam o hızda gittiğin anlamına gelmez.
Elektrikli scooterlarda motor belli bir hızda kesilir; o hıza ulaştıktan sonra araç sabit hızla gider. Şekil 1.1 tam bu durumu çiziyor: eşit zaman aralıklarında eşit Δx.
Pistin bir turu 400 m ve koşucu başladığı yerde biter. Ortalama sürati büyük bir sayıdır ama ortalama hızı sıfırdır, çünkü yer değiştirmesi sıfır. Ortalama hız ile ortalama süratin ayrıldığı en net örnek budur.
Bir oyunda karakter tuşa basılı tuttuğun sürece saniyede sabit sayıda piksel ilerler. Konumu x = xilk + ϑ · Δt ile hesaplanır — oyun motorlarının yaptığı iş budur. Zıpladığında ise ivme devreye girer.
Rastgele bir grafik yorumu ya da hesap gelir; doğru cevabı seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür.
Sabit hızlı hareket, x-t ve ϑ-t grafikleri, eğim ve alan yorumu, ortalama hız ile ortalama sürat üzerine test
Sabit hızlı hareket: doğrusal yolda hareket eden bir araç eşit zaman
aralıklarında eşit yer değiştirmelere sahip ise hareketi sabit hızlıdır; sahip
olduğu hıza sabit hız denir.
Sabit hızlı harekette hızın büyüklüğü ve doğrultusu değişmez, bu yüzden
ivme sıfırdır.
Sabit sürat: eşit zaman aralıklarında eşit yollar alma durumu.
Skalerdir, yalnız büyüklük taşır.
Sabit hız: hem büyüklüğü hem yönü olan vektörel nicelik.
Kural: sabit süratle hareket eden bir cismin hızı değişebilir
(yön değişirse). Tersi doğru değildir: hız sabitse sürat de sabittir.
Sabit hızlı harekette doğrudur.
Eğim = hız. Eğim pozitifse hız pozitif, yer değiştirme +x yönünde;
eğim negatifse hız negatif, yer değiştirme −x yönündedir.
Yatay doğru = duruyor (ϑ = 0). İki doğrunun kesişmesi = aynı konumda
olmak.
Sabit hızlı harekette yatay bir çizgidir.
Çizgi zaman ekseninin üstündeyse hız pozitif, altındaysa negatif yöndedir.
Çizgi ile yatay eksen arasında kalan alan = yer değiştirme. Alan bir
dikdörtgendir: yüksekliği hız, tabanı zaman.
Δx = ϑ · Δt
ϑ = (xson − xilk) / (tson − tilk) = Δx / Δt
Vektörel yazımda Δx vektörü = ϑ vektörü · Δt: yer değiştirmenin
yönü hızın yönüyle aynıdır.
Eklenen kural: başlangıç konumu sıfır değilse
xson = xilk + ϑ · Δt.
Ortalama hız = Toplam yer değiştirme ÷ Hareket süresi (vektörel).
Ortalama sürat = Alınan yol ÷ Hareket süresi (skaler).
Kural: hareket bir doğru boyunca ve yön değiştirmeden ise ortalama
hızın büyüklüğü ile ortalama sürat birbirine eşittir. Yön değişirse alınan yol
büyür ve ortalama sürat, ortalama hızın büyüklüğünden büyük olur.
Ayrıldıkları örnek: CNC kolu 50 cm gidip 50 cm geri dönüyor (20 s). Ortalama
hızın büyüklüğü 0, ortalama sürat 5 cm/s.
İki bantlı hat: (0-4) s’de 12 m → ϑ = 3 m/s; (4-10) s’de 24 m → ϑ = 4 m/s.
(0-9) s yer değiştirmesi 12 + 20 = 32 m. Ortalama hız = ortalama sürat =
36 / 10 = 3,6 m/s.
Posta dağıtım aracı: ϑ = 1500 / 125 = 12 m/s; geri dönüş olduğu için grafikte
−12 m/s düzeyinde yatay çizgi, t = 125 s’de biter.
1. x-t grafiğini yolun resmi sanmak. Düşey eksen konum, yatay eksen
zaman.
2. Konum ile yer değiştirmeyi karıştırmak. Δx bir farktır.
3. Ortalama hız ile ortalama sürati her zaman eşit saymak. Eşitlik yalnız
yön değişmeyen harekette geçerlidir.