Tek bir parabol,
üç ayar düğmesi.
Bütün karesel fonksiyonların grafiği aynı eğrinin taşınmış, gerilmiş ya da ters çevrilmiş hâlidir. g(x) = a(x + r)² + k yazılışında a eğriyi açar kapatır ve yönünü çevirir, r sağa sola taşır, k yukarı aşağı taşır. Tepe noktası ise hep aynı yerdedir: (−r, k).
f: ℝ → ℝ, f(x) = x² şeklinde tanımlı f fonksiyonuna karesel referans fonksiyon denir. Karesel referans fonksiyonun grafiği parabol olarak adlandırılır. Bir köprünün direklerini birbirine bağlayan halat ya da bir fıskiyeden fışkıran su bu eğriyle modellenir.
Tanım kümesi: ℝ
Görüntü kümesi: [0, ∞)
İşareti: x ≠ 0 için daima pozitif
Sıfırı: yalnız 0 (çift kök)
Azalan olduğu aralık: (−∞, 0]
Artan olduğu aralık: [0, ∞)
Minimum değeri: 0, x = 0 noktasında
Maksimum değeri: yoktur
Bire bir mi: değildir — f(−2) = f(2) = 4
Örten mi: ℝ’ye tanımlıyken değildir — negatif değerler elde edilmez
Tek mi çift mi: f(−x) = (−x)² = x² = f(x) → çift;
simetri doğrusu x = 0 (y ekseni)
Görüntü kümesi: [0, 9] ·
İşareti: x ∈ [−3, 0) ∪ (0, 2] için pozitif ·
Sıfırı: 0
Azalan: [−3, 0] · Artan: [0, 2]
Maksimum değeri: 9, x = −3 noktasında ·
Minimum değeri: 0, x = 0 noktasında
Bire bir değildir: f(−2) = f(2) = 4 iken −2 ≠ 2.
Örten değildir: 10 = f(a) olacak şekilde a ∈ [−3, 2] yoktur.
Dikkat: tanım kümesi daraldığında maksimum ortaya çıkabilir.
ℝ’de maksimumu olmayan f(x) = x², [−3, 2] üzerinde 9 maksimumunu alır — üstelik bu değeri
uç noktada, tepe noktasında değil.
f: ℝ → ℝ, f(x) = a(x + r)² + k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlanan fonksiyonların cebirsel temsiline karesel fonksiyon denir; grafikleri parabol belirtir. Aşağıdaki üç kaydırağı oynat: soluk eğri referans fonksiyon x², renkli eğri dönüşmüş hâli.
| Cebirsel işlem | Uygulanan dönüşüm | Örnek |
|---|---|---|
| −1 ile çarpma | x eksenine göre yansıma | h(x) = −x² |
| 2 ile çarpma | 2 kat dikey daralma | m(x) = 2x² |
| 4 ile çarpma | 4 kat dikey daralma | n(x) = 4x² |
| ½ ile çarpma | 2 kat dikey genişleme | h(x) = ½x² |
| −3 ile çarpma | x eksenine göre yansıma + 3 kat dikey daralma | s(x) = −3x² |
| Bağımsız değişkene 2 ekleme | x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme | h(x) = (x + 2)² |
| Bağımsız değişkenden 3 çıkarma | x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme | n(x) = (x − 3)² |
| Fonksiyon değerine 2 ekleme | y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme | h(x) = x² + 2 |
| Fonksiyon değerinden 1 çıkarma | y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme | m(x) = x² − 1 |
Yatay ötelemede işaret ters okunur: (x + r)² yazılışı grafiği negatif yönde r birim taşır, çünkü tepe noktası x = −r olur. Dikey ötelemede ise böyle bir ters okuma yoktur: + k yukarı, − k aşağı.
r > 0, k > 0 ve a ≠ 0 olmak üzere g(x) = a(x + r)² + k grafiği çizilirken:
1. adım: f(x) = x² referans fonksiyonu x ekseni boyunca
negatif yönde r birim ötelenerek m(x) = (x + r)² çizilir.
2. adım: m fonksiyonunun değerlerini a katına eşleyen
n(x) = a(x + r)² çizilir.
3. adım: n fonksiyonu y ekseni boyunca pozitif yönde k birim
ötelenerek g(x) = a(x + r)² + k elde edilir.
Tanım kümesi: ℝ · Görüntü kümesi: [k, ∞)
Azalan olduğu aralık: (−∞, −r]
Artan olduğu aralık: [−r, ∞)
Minimum değeri: k, x = −r noktasında
Maksimum değeri: yoktur
Bire bir değildir. Örten değildir.
Simetri doğrusu: x = −r
Tanım kümesi: ℝ · Görüntü kümesi: (−∞, k]
Artan olduğu aralık: (−∞, −r]
Azalan olduğu aralık: [−r, ∞)
Maksimum değeri: k, x = −r noktasında
Minimum değeri: yoktur
Bire bir değildir. Örten değildir.
Simetri doğrusu: x = −r
Bire bir mi: g(x₁) = g(x₂) alınırsa (x₁ − 2)² = (x₂ − 2)²,
yani |x₁ − 2| = |x₂ − 2| çıkar. Buradan x₁ = x₂ ya da x₁ = −x₂ + 4 olur; ikinci ihtimal
varken g(x₁) = g(x₂) ⇒ x₁ = x₂ şartı sağlanmaz →
bire bir değildir. Sayısal kontrol: g(1) = g(3) = 2
iken 1 ≠ 3.
Örten mi: g(x₀) = −2 olacak şekilde bir x₀ ∈ ℝ yoktur;
görüntü kümesi [1, ∞) olduğundan örten değildir.
Tek mi çift mi: g(−x) = (−x − 2)² + 1 ile g(x) eşit değil,
−g(x) ile de eşit değil → ne tek ne çift. Grafiği ne
y eksenine ne orijine göre simetriktir; simetri doğrusu x = 2’dir.
Arama kutusuna “yukarı”, “maksimum” ya da bir tepe değeri yaz.
a, r, k, b ve c birer gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere tamkare formu f(x) = a(x + r)² + k olan fonksiyonların genel denklemi f: ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c’dir. Genel formda tepe noktası doğrudan görünmez; tamkareye tamamlayınca ortaya çıkar. Aşağıdaki dört fonksiyonu düğmelerle gez: tamkare adımları, sıfırları, işaret tablosu ve tepe noktası birlikte geliyor.
f(x) = x² + 4x
x² + 4x + 4 − 4 (4 eklenip çıkarıldı)
= (x + 2)² − 4
Sıfırlar: (x + 2)² = 4 ⇒ x + 2 = ±2 ⇒ x = 0 ve x = −4
Çarpanlara ayırarak da aynı sonuç: x(x + 4) = 0.
g(x) = x² − 6x
x² − 6x + 9 − 9 = (x − 3)² − 9
Sıfırlar: x = 0 ve x = 6
Tepe noktası (3, −9); minimum değeri −9.
h(x) = −x² + 2x − 1
= −(x² − 2x + 1) = −(x − 1)²
Sıfırı yalnız x = 1’dir ve çift köktür; işaret tablosunda
çift sıfır olarak gösterilir.
Maksimum değeri 0, x = 1 noktasında; a < 0 olduğu için kollar aşağıdadır.
m(x) = x² − 4x + 5
= x² − 4x + 4 + 1 = (x − 2)² + 1
Sıfırı yoktur: (x − 2)² = −1 olamaz. Grafik x eksenini
hiç kesmez, fonksiyon her x için pozitiftir.
Minimum değeri 1, x = 2 noktasında.
| Fonksiyon | Tamkare | Azalan | Artan | Maksimum | Minimum |
|---|---|---|---|---|---|
| x² + 4x | (x + 2)² − 4 | (−∞, −2] | [−2, ∞) | Yoktur | −4 (x = −2) |
| x² − 6x | (x − 3)² − 9 | (−∞, 3] | [3, ∞) | Yoktur | −9 (x = 3) |
| −x² + 2x − 1 | −(x − 1)² | [1, ∞) | (−∞, 1] | 0 (x = 1) | Yoktur |
| x² − 4x + 5 | (x − 2)² + 1 | (−∞, 2] | [2, ∞) | Yoktur | 1 (x = 2) |
f(x) = ax² + bx + c tamkareye tamamlandığında tepe noktasının apsisi her zaman
x = −b / (2a) çıkar. Denetle: x² − 6x için −(−6)/2 = 3 ✔ ·
−x² + 2x − 1 için −2/(2 · (−1)) = 1 ✔ · x² − 4x + 5 için 4/2 = 2 ✔.
Uç değer ise o noktadaki fonksiyon değeridir: f(−b/(2a)). Sınavda hız için bu kısa yol,
anlamak için tamkare formu kullanılır — ikisi aynı şeyi
söyler.
f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi ℝ’de [0, ∞)’dur; ama tanım kümesi bir aralığa daraltıldığında görüntü kümesi de daralır. Dikkat edilmesi gereken şey şudur: tepe noktası aralığın içinde mi? İçindeyse minimum 0’dır; değilse uç noktalar karar verir.
x < 0 için x² > 0 → görüntü aralığı (0, ∞). Sıfır dışarıda çünkü x = 0 tanım kümesinde yok.
x ≥ 0 için x² ≥ 0 → görüntü aralığı [0, ∞).
−1 < x < 2 için 0 ≤ x² < 4 → görüntü aralığı [0, 4). Sıfır dâhil çünkü x = 0 aralığın içinde; 4 hariç çünkü x = 2 aralığın dışında.
−3 ≤ x ≤ 2 için 0 ≤ x² ≤ 9 → görüntü aralığı [0, 9]. Maksimum, mutlak değeri büyük olan uçtan gelir.
Kural: f(x) = x² için görüntünün üst sınırını mutlak değeri en büyük uç belirler; alt sınır ise 0 aralıktaysa 0, değilse 0’a en yakın ucun karesidir.
Fizikte serbest düşen bir cismin hareketi, ekonomide maksimum kâr ya da minimum maliyet analizleri karesel fonksiyonlarla modellenir. Modelin tamkare formunu yazdığın anda soru cevaplanmış olur: k uç değer, −r o değere ulaşılan yer.
Model zaten tamkare formunda: a = −½ < 0 olduğu için kollar aşağı, tepe noktası
(4, 8). Yani top 4. saniyede
en yüksek noktaya çıkar ve o yükseklik 8 metredir.
Yere düşme anı f(t) = 0 çözümüdür: (t − 4)² = 16 ⇒ t = 0 ya da t = 8 →
top 8. saniyede yere iner.
Kütle sabit tutulup hız değişken alınırsa enerji hızın karesiyle orantılı bir karesel
fonksiyon olur:
m = 10 kg → f(υ) = 5υ² · m = 50 kg → g(υ) = 25υ² ·
m = 100 kg → h(υ) = 50υ² · m = 200 kg → t(υ) = 100υ².
Grafikler incelendiğinde hız arttıkça kinetik enerjinin hızın
karesiyle orantılı arttığı görülür: hız iki katına çıkarsa enerji dört katına çıkar.
Kütle büyüdükçe parabol daha da daralır.
v(x) = −0,1(x² − 40x − 200) = −0,1(x² − 40x + 400 − 600) = −0,1[(x − 20)² − 600]
= −0,1(x − 20)² + 60
Maksimum verimlilik x = 20 kg gübrede,
60 kg/m². Gübre kullanılmadığında
v(0) = −0,1 · 400 + 60 = 20 kg/m². Aşırı gübreleme
verimliliği düşürür — parabolün kolları aşağı olduğu için 20 kg’dan sonrası azalır.
x her 10 TL’lik artışı göstersin: fiyat 120 + 10x, müşteri sayısı 200 − 20x.
g(x) = (120 + 10x)(200 − 20x) = −200x² − 400x + 24 000 =
−200(x + 1)² + 24 200
Maksimum x = −1’de, yani fiyat 10 TL indirilip 110 TL
yapıldığında. O gün 220 kişi alır ve gelir
24 200 TL olur (120 TL’deki gelir 24 000 TL’ydi).
Tepe noktası (5; 2,5): füze en fazla 2,5 kilometre
yükselir.
Yere düşme: −0,1(t − 5)² + 2,5 = 0 ⇒ (t − 5)² = 25 ⇒ t = 0 ya da t = 10 →
10. saniyede yere düşer. Yükselme ve alçalma süreleri
eşittir; parabol simetri doğrusuna göre simetriktir.
Kâr: gelir g(x) = −2x² + 50x, maliyet m(x) = 10x + 100 →
k(x) = −2x² + 40x − 100 = −2(x − 10)² + 100.
En yüksek kâr 10 adet üretimde,
100 TL.
Arsa: çevre 400 m, bir kenar x → diğer kenar 200 − x.
a(x) = x(200 − x) = −(x − 100)² + 10 000.
Alan 100 m × 100 m kare seçildiğinde en büyüktür:
10 000 m².
Grafik yaklaşımı: g’nin grafiği, f(x) = x² grafiğinin
y ekseni boyunca pozitif yönde k birim ötelenmesiyle elde edilir. Grafikte görüldüğü üzere
x = 0 noktasında fonksiyon en küçük değerini alır ve bu değer k’dır.
Cebirsel yaklaşım: Her x ∈ ℝ için x² ≥ 0 olduğundan
x² + k ≥ k olur. Yani g(x) ≥ k’dır ve eşitlik yalnız x = 0 için sağlanır; buradan
fonksiyonun alabileceği en küçük değerin k olduğu görülür.
Azalan olduğu aralık (−∞, 0]: x₁ < x₂ ≤ 0 alındığında
|x₁| > |x₂| olur, dolayısıyla x₁² > x₂² ve x₁² + k > x₂² + k.
Artan olduğu aralık [0, ∞): 0 ≤ x₁ < x₂ için
x₁² < x₂², yani g(x₁) < g(x₂).
Maksimum değeri yoktur: x büyüdükçe x² sınırsız büyür;
hiçbir sayı bütün g(x) değerlerinin üstünde kalamaz.
Harizmi’nin yöntemi hem geometrik hem cebirsel yaklaşımları birleştirir: denklem bir kare
ya da dikdörtgen alanı olarak görselleştirilir, eksik alan tamamlanarak tamkare bir ifade
elde edilir. Harizmi yaşadığı dönemde sembol dili henüz gelişmediği için ikinci dereceden
denklemleri çözerken geometrik modellerden faydalanmıştır.
x² + 10x = 39 denkleminde “x²” bir kenarı x birim olan kare,
“10x” bir kenarı 10, diğeri x birim olan dikdörtgen ile modellenir. Dikdörtgen, kenarları
5 ve x olan iki dikdörtgene ayrılıp karenin iki yanına yerleştirilir; köşede eksik kalan
kısım bir kenarı 5 birim olan kare ile tamamlanır:
(x + 5)² = x² + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 ⇒ (x + 5)² = 64
Harizmi döneminde negatif sayılar henüz kullanılmadığı için sonuç pozitif alınır:
x + 5 = 8 ⇒ x = 3. Geometri ile cebiri birleştiren bu
yöntem Avrupa matematiğine de ilham kaynağı olmuştur.
g(x) = a(x + r)² + k yazılışında tepe noktası (r, k) değil, (−r, k)’dır. (x − 3)² + 1 fonksiyonunun tepesi (3, 1); (x + 3)² + 1 fonksiyonunun tepesi (−3, 1).
|a| > 1 ise parabol daralır (dikey daralma), |a| < 1 ise genişler. 2x² dar, ½x² geniştir. Sezgiyle ters karıştırmak kolaydır: çarpan büyüdükçe eğri dikleşir.
x² − 6x tamkareye tamamlanırken 9 eklenip çıkarılır: (x − 3)² − 9. Yalnız eklemek fonksiyonu değiştirir. a ≠ 1 olduğunda önce a parantezine alınır: −0,1x² + 4x + 20 = −0,1(x² − 40x − 200).
Her karesel fonksiyonun sıfırı yoktur. (x − 2)² + 1 hiçbir x için 0 olmaz; grafik x eksenini kesmez. a > 0 ve k > 0 ise sıfır yoktur; k = 0 ise tek (çift) kök, k < 0 ise iki kök vardır.
Tanım kümesi bir aralıksa maksimum-minimum tepe noktasında olmayabilir. f(x) = x², [−3, 2] üzerinde maksimumunu x = −3’te (uç noktada) alır. Önce tepe noktasının aralığın içinde olup olmadığına bak.
ℝ’den ℝ’ye tanımlı hiçbir karesel fonksiyon ne bire bir ne örtendir: simetri doğrusunun iki yanındaki noktalar aynı değeri verir ve tepe noktasının ötesindeki değerler hiç elde edilmez.
Sorular her açılışta karışıyor; yanlış cevapta gerekçesini de göreceksin.
Elinden çıkan topun izlediği yol paraboldür. Tepe noktası, topun en yüksek olduğu andır; atışın “yayı” |a| küçüldükçe genişler. Aynı mesafeye yüksek yaylı ya da düz atış — ikisi farklı a değerleridir.
Kermeste kekin fiyatını artırdıkça alan kişi azalıyor. Gelir = fiyat × kişi olduğu için model kareseldir ve bir yerde en yüksek gelire ulaşır. Sürekli zam yapmak geliri düşürür — parabolün tepesini geçmiş olursun.
Elindeki çit uzunluğu sabitse alanı en büyük yapan dikdörtgen karedir. 400 metre çitle 100 × 100 seçersen 10 000 m², 50 × 150 seçersen yalnız 7500 m² alan çevirirsin.
Kinetik enerji hızın karesiyle arttığı için fren mesafesi de hızın karesiyle artar. Hız iki katına çıkınca durma mesafesi dört katına çıkar — “biraz hızlıydım” cümlesinin arkasındaki matematik budur.
Parktaki fıskiyeden çıkan su parabol çizer; f(x) = −x² + 4 gibi bir model suyun en yüksek noktasını (0, 4) verir, x eksenini kestiği −2 ve 2 ise suyun yere değdiği noktalardır.
Yavaş çekimde havaya atılan bir cismin izini takip edersen çıkış ve iniş sürelerinin eşit olduğunu görürsün. Sebebi parabolün simetri doğrusuna göre simetrik olmasıdır.
Günde çalışılan saat arttıkça verim önce yükselir, belli bir noktadan sonra yorgunlukla düşer. Gübre-verimlilik modelindeki gibi kolları aşağı bir parabol; en verimli nokta tepe noktasıdır.
Asma köprü direklerini birbirine bağlayan halatlar parabol biçimindedir. Halat en alçak noktasında tepe noktasını verir; mühendis bu noktayı k değeriyle ayarlar.
Nişan alıp attığın mermi ya da top hep parabol izler. Aynı hızda daha uzağa atmak için açıyı değiştirirsin: bu, a ve r değerlerini birlikte değiştirmek demektir.
Karesel fonksiyonlar testi · referans fonksiyonun nitel özellikleri, a-r-k dönüşümleri, tepe noktası ve simetri doğrusu, tamkareye tamamlama, sıfırlar, görüntü kümeleri ve futbol topu, kinetik enerji, gübre, kâr, arsa modelleri
f: ℝ → ℝ, f(x) = x² · grafiği parabol
Tanım ℝ · Görüntü [0, ∞) · Sıfır 0
Azalan (−∞, 0] · Artan [0, ∞) · Min 0 (x = 0)
Çift fonksiyon, simetri doğrusu x = 0
a < 0 → x eksenine göre yansıma
|a| > 1 → dikey daralma · |a| < 1 → dikey genişleme
(x + r)² → x ekseni boyunca negatif yönde r birim
+ k → y ekseni boyunca pozitif yönde k birim
Görüntü [k, ∞) · Azalan (−∞, −r] · Artan [−r, ∞)
Minimum k, x = −r · Maksimum yok
Bire bir değil, örten değil · Simetri doğrusu x = −r
Görüntü (−∞, k] · Artan (−∞, −r] · Azalan [−r, ∞)
Maksimum k, x = −r · Minimum yok
Bire bir değil, örten değil · Simetri doğrusu x = −r
f(x) = a(x + r)² + k ⟺ f(x) = ax² + bx + c
x² + 4x = (x + 2)² − 4 → sıfırlar 0 ve −4
x² − 6x = (x − 3)² − 9 → sıfırlar 0 ve 6
−x² + 2x − 1 = −(x − 1)² → tek (çift) kök 1
x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1 → sıfırı yok
Kısa yol: tepe apsisi −b / (2a)
x < 0 → (0, ∞) · x ≥ 0 → [0, ∞)
−1 < x < 2 → [0, 4) · −3 ≤ x ≤ 2 → [0, 9]
[−3, 2] üzerinde maksimum 9 (x = −3), minimum 0 (x = 0)
Futbol topu −½(t − 4)² + 8 → maks 8 m, 4. saniye; 8. saniyede yere iner
Kinetik enerji Eₖ = ½mυ² → 10, 50, 100, 200 kg için 5υ², 25υ², 50υ², 100υ²
Gübre −0,1(x − 20)² + 60 → maks 60 kg/m² (20 kg), v(0) = 20
Kafe −200(x + 1)² + 24 200 → fiyat 110 TL, gelir 24 200 TL
Füze −0,1(t − 5)² + 2,5 → maks 2,5 km, 10. saniyede düşer
Kâr −2(x − 10)² + 100 → 10 adet, 100 TL
Arsa −(x − 100)² + 10 000 → 100 m × 100 m, 10 000 m²
Her x için x² ≥ 0 ⇒ x² + k ≥ k → minimum k
Harizmi: x² + 10x = 39 → (x + 5)² = 64 → x = 3
Yöntem geometrik alan tamamlamasıyla cebiri birleştirir.