10. SINIF MATEMATİK · ÜNİTE 13 · RASYONEL FONKSİYONLAR

Payda sıfır olamaz: tanım kümesi ℝ − {0}. Pay 1 olduğu için kesir hiçbir zaman sıfır olmaz: görüntü kümesi ℝ − {0}. İkisi de aynı kümeyi dışarıda bırakıyor — bu bir tesadüf değil, birazdan göreceğin simetrinin sonucu.

1/x = 0 denklemini sağlayan x yoktur; fonksiyonun sıfırı yoktur ve grafik x eksenini kesmez. İşareti x ile aynıdır: (0, ∞)’da pozitif, (−∞, 0)’da negatif.

a ve b aynı işaretli ve a < b ise 1/a > 1/b olur; yani fonksiyon (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarının her birinde azalandır. “Bütün tanım kümesinde azalandır” demek yanlıştır: x = −1’de −1, x = 1’de +1 alır, arada değer büyümüş görünür.

Farklı x değerleri farklı sonuç verir; bire birdir. Değer kümesi ℝ − {0} seçilirse görüntü kümesiyle çakışır ve örtendir; değer kümesi ℝ verilirse 0 değeri hiç alınmadığı için örten değildir.

f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x) olduğundan f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir. Sağ üstteki kolu 180° döndürürsen sol alttaki kolu elde edersin.

Maksimum ya da minimum noktası yoktur. x sıfıra yaklaştıkça değer sınırsız büyür ya da küçülür; x büyüdükçe sıfıra yaklaşır ama sıfır olmaz. Hiçbir yerde durup “işte en büyük değer bu” diyemezsin.

h(x) = −1/x → x eksenine göre yansıma
m(x) = 2/x → 2 kat dikey daralma
h(x) = 1/(x + 2) → x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme
h(x) = 1/x + 2 → y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme
h(x) = 1/(x + 2) + 3 → x’te negatif yönde 2, y’de pozitif yönde 3 birim öteleme

x = −r doğrusu: paydayı sıfır yapan değer. Fonksiyon orada tanımsızdır, grafik bu doğruya yaklaşır ama değmez.
y = k doğrusu: a/(x + r) kesri hiç sıfır olamayacağı için g(x) hiç k olamaz. Grafik uzaklarda bu doğruya yaklaşır.
İkisine birden asimptot denir — “hiç dokunmayan yol arkadaşı” gibi düşün.

1. f(x) = 1/x grafiği x ekseni boyunca negatif yönde r birim ötelenir → h(x) = 1/(x + r)
2. h’nin değerleri a katına eşlenir → a/(x + r)
3. Grafik y ekseni boyunca pozitif yönde k birim ötelenir → g(x) = a/(x + r) + k

Referans fonksiyon iki kolunun her birinde azalandı. a > 0 ise bu korunur: fonksiyon (−∞, −r) ve (−r, ∞) aralıklarında azalandır. a < 0 ise sıra ters döner ve fonksiyon iki aralıkta da artandır. Karesel ve karekök fonksiyonlardaki alışkanlığın tam tersi — dikkat.

1. Fonksiyonu tek kesir hâline getir. Örnek: −2/(x − 1) + 1 = (−2 + x − 1)/(x − 1) = (x − 3)/(x − 1).
2. Payı sıfır yapan değeri bul: x = 3 → fonksiyonun sıfırı.
3. Paydayı sıfır yapan değeri bul: x = 1 → tanımsız, çift çizgi.
4. İki değeri sayı doğrusuna sırayla koy, aralıklardan birer sayı seçip işareti hesapla.
Sonuç: (−∞, 1) ve (3, ∞)’da pozitif, (1, 3)’te negatif.

h(x) = 3/x fonksiyonunun payı sabit 3’tür, hiç sıfır olamaz; sıfırı yoktur. İşaret tablosunda tek kritik nokta x = 0’dır ve orada çift çizgi vardır. Fonksiyon (0, ∞)’da pozitif, (−∞, 0)’da negatiftir.

Genel kural: k = 0 ise fonksiyonun sıfırı yoktur; k ≠ 0 ise a/(x + r) = −k denkleminden tek bir sıfır çıkar.

Sıfırı: 1/(x + 4) + 1 = 0 ⇒ 1/(x + 4) = −1 ⇒ x + 4 = −1 ⇒ x = −5
Örten mi? Görüntü kümesi ℝ − {1}; değer kümesi de ℝ − {1} yazılmış. İkisi eşit olduğundan örtendir.
Bire bir mi? g(x₁) = g(x₂) yazılıp sadeleştirilince x₁ = x₂ çıkar. Ayrıca kısa yol da var: g, bire bir olan referans fonksiyondan dönüşümlerle elde edildi; öteleme ve çarpma bire birliği bozmaz.
Tek mi çift mi? Grafiği ne y eksenine ne orijine göre simetrik; ne tek ne çift.

Maksimum-minimum: Yoktur. Grafik hiçbir yerde dönmüyor.
Artan-azalan: −2 < x₁ < x₂ alalım.
g(x₁) − g(x₂) = 1/(x₁+2) − 1/(x₂+2) = (x₂ − x₁) / [(x₁+2)(x₂+2)]
x₁ < x₂ olduğundan pay pozitif; her iki parantez de pozitif olduğundan payda pozitif. Demek ki g(x₁) > g(x₂) ve fonksiyon (−2, ∞)’da azalan.
x₁ < x₂ < −2 alındığında iki parantez de negatif olur, çarpımları yine pozitif; sonuç aynı. Fonksiyon (−∞, −2)’da da azalan.
Sıfırı: Yok (k = 0).

Tanım kümesi: ℝ − {1} · Görüntü kümesi: ℝ − {1}
Sıfırı: −2/(x − 1) = −1 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3
İşareti: (−∞, 1) ve (3, ∞)’da pozitif, (1, 3)’te negatif
Artanlık: a = −2 < 0 olduğu için iki aralıkta da artandır
Uç değer: Yok · Bire bir: Evet · Örtenlik: Değer kümesi ℝ ise örten değil
Teklik-çiftlik: Ne tek ne çift

1. adım: f(x) = 1/x çizilir.
2. adım: Değerler 2 katına eşlenir → a(x) = 2/x. Eğri orijinden uzaklaşır.
3. adım: Grafik x ekseni boyunca negatif yönde 3 birim ötelenir → b(x) = 2/(x + 3). Dikey asimptot artık x = −3.
4. adım: Grafik y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim ötelenir → g(x) = 2/(x + 3) − 1. Yatay asimptot y = −1.

Sıfırı: 2/(x + 3) = 1 ⇒ x + 3 = 2 ⇒ x = −1.

A ve B şehirleri arası 1600 km. Aracın ortalama hızı v olmak üzere yolculuk süresi f(v) = 1600 / v ile modellenir.

Otobüs (100 km/sa) → 16 saat
Tren (200 km/sa) → 8 saat
Uçak (800 km/sa) → 2 saat

Hız 2 katına çıkınca süre yarıya iniyor — ters orantının tanımı bu. Problem bağlamında tanım kümesi yalnız pozitif hızlardır: v ∈ (0, 100] otobüs için.

Yapılan iş W joule, süre t saniye olmak üzere güç P = W / t watt’tır. 300 joule’lük bir iş için p(t) = 300 / t.

Artan-azalan: (0, ∞)’da azalan — aynı işi daha uzun sürede yaparsan gücün düşer.
Bire bir mi? Evet; her süreye tek bir güç karşılık gelir.
2 ≤ t ≤ 100 aralığında: azalan olduğu için maksimum sol uçta p(2) = 150 watt, minimum sağ uçta p(100) = 3 watt.

2000 TL’lik maliyet, katılan x kişiye eşit paylaştırılıyor: k(x) = 2000 / x.

Herkes payına 20 TL ekleyip bağış yaparsa ödenen toplam ücret t(x) = 2000/x + 20 olur — bu, k grafiğinin y ekseni boyunca 20 birim yukarı ötelenmiş hâlidir.

Doğum günü denk gelen 3 kişiden ücret alınmaz ve pay kalanlara dağıtılırsa ödeyen kişi sayısı x − 3 olur: d(x) = 2000 / (x − 3). Bu da k grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim ötelenmişidir; x = 3 artık tanımsız.

D = 500 km sabit mesafe, V hız olmak üzere süre f(V) = 500 / V.

Tanım kümesi: Matematiksel olarak ℝ − {0}, ama problem bağlamında yalnız V > 0 anlamlıdır — negatif hız yok.
Görüntü kümesi: (0, ∞); süre hiçbir zaman 0 olmaz.
Maksimum-minimum: Sınırsız bir hız aralığında yoktur; hız arttıkça süre sıfıra yaklaşır ama sıfır olmaz. Gerçek hayatta cevap veren şey matematik değil, hız sınırıdır — modeli daraltmak gerekir.

f(x) = 1/x için “ℝ − {0}’da azalandır” demek yanlıştır. f(−1) = −1 ile f(1) = 1 karşılaştırılırsa değer büyümüş görünür. Doğrusu: (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarının her birinde ayrı ayrı azalandır. Aralıkları birleştirirken “∪” değil “ve” demek daha güvenli.

Karesel ve karekök fonksiyonlarda a < 0 “azalan” demekti; rasyonelde tam tersi. Referans fonksiyon zaten azalan olduğu için negatif katsayı onu artana çevirir. −3/(x + 2) fonksiyonu iki aralıkta da artandır.

İşaret tablosunda paydayı sıfır yapan değerin altına 0 yazılmaz; çift çizgi çizilir. 3/x fonksiyonunun sıfırı yoktur ama x = 0 kritik noktadır. “Sıfır” ile “tanımsız” aynı şey değil: birinde fonksiyon 0 değerini alır, diğerinde fonksiyon hiç yoktur.

2 < x < 5 ⇒ 1/5 < 1/x < 1/2 yazmak doğrudur, çünkü aralık sıfırı içermiyor. Ama −2 < x < 3 için aynı şeyi yapamazsın: aralık sıfırı içeriyor ve fonksiyon orada tanımsız. Önce sıfırda ikiye böl, sonra her parçayı ayrı çevir.

g(x) = 1/(x + 4) + 1 fonksiyonu ℝ − {1}’e tanımlıysa örtendir, ℝ’ye tanımlıysa değildir. Aynı cebirsel ifade, farklı cevap. Sorunun okundaki ok işaretinin sağ tarafına bak.

“Fonksiyonun maksimum değerini bulunuz” sorusuna tanım kümesi sınırsızsa cevap “yoktur”dur. Ama tanım kümesi [2, 4] gibi kapalı bir aralıksa uç değerler vardır ve fonksiyon azalan olduğu için maksimum sol uçta, minimum sağ uçtadır: 1/x için 1/2 ve 1/4.

Sipariş 240 TL, masada x kişi varsa kişi başı 240/x TL düşer. 4 kişiyken 60 TL, 6 kişiyken 40 TL, 8 kişiyken 30 TL. Kişi sayısı arttıkça düşüş yavaşlıyor — 10. kişinin katılması hesabı çok değiştirmez.

Toplam iş sabitse kişi sayısı arttıkça süre azalır: 12 saatlik bir sunum hazırlığı 3 kişiyle 4 saat, 6 kişiyle 2 saat sürer. Fonksiyon s(x) = 12/x. Ama gerçek hayatta 12 kişiyle 1 saate inmez — model belli bir yerden sonra bozulur, bunu bilmek de matematiğin parçası.

Aylık 20 GB’ı x güne bölersen günlük payın 20/x GB olur. Ayın ilk haftası bol harcarsan kalan günlerde payda küçülür ve değer hızla düşer — asimptot yaklaşımını cebinde yaşarsın.

Okul 6 km uzaktaysa, ortalama hızın v km/sa iken süre 6/v saattir. 20 km/sa ile bisiklette 18 dakika, 4 km/sa ile yürüyerek 90 dakika. Hızı 5 katına çıkarmak süreyi beşte bire indirir.

Telefonun kamerası aynı parlaklığı yakalamak için pozlama süresi ile ışık miktarını ters orantılı ayarlar: ortam iki kat karanlıksa süre iki kat uzar. Karanlık odada fotoğrafın bulanık çıkmasının sebebi bu uzayan süre.

90 dakikalık maçta topla oynanan toplam süre sabit sayılırsa, sahadaki x oyuncuya düşen ortalama süre sabit/x’tir. Kadro genişledikçe kişi başına düşen süre azalır — antrenörün rotasyon derdi tam olarak bu fonksiyondur.

f: ℝ − {0} → ℝ − {0}, f(x) = 1/x
Tanım ℝ − {0} · Görüntü ℝ − {0} · Sıfırı yok
(0, ∞)’da pozitif, (−∞, 0)’da negatif
İki aralığın her birinde azalan · Bire bir · Tek fonksiyon
Maksimum-minimum yok

a < 0 → x eksenine göre yansıma
|a| > 1 → dikey daralma · |a| < 1 → dikey genişleme
1/(x + r) → x ekseni boyunca negatif yönde r birim
+ k → y ekseni boyunca pozitif yönde k birim

Tanım kümesi ℝ − {−r}
Görüntü kümesi ℝ − {k}
Bire birdir · Maksimum-minimum noktası ve değeri yoktur
a > 0 → (−∞, −r) ve (−r, ∞)’da azalan
a < 0 → (−∞, −r) ve (−r, ∞)’da artan

a, b aynı işaretli ve a < b ⇒ 1/a > 1/b
(2, 5) → (1/5, 1/2) · [2, 4] → [1/4, 1/2]
−4 < x < −2 → −1/2 < y < −1/4
x > 4 → (0, 1/4) · x < −2 → (−1/2, 0)
−3 ≤ x < 0 → (−∞, −1/3]

Payı sıfır yapan değer → fonksiyonun sıfırı
Paydayı sıfır yapan değer → çift çizgi (tanımsız)
−2/(x − 1) + 1 = (x − 3)/(x − 1)
Pozitif: (−∞, 1) ve (3, ∞) · Negatif: (1, 3)

1/(x + 4) + 1 → sıfır x = −5, ℝ − {1}’e örten
1/(x + 2) → iki aralıkta da azalan, sıfırı yok
−2/(x − 1) + 1 → sıfır x = 3, iki aralıkta artan
2/(x + 3) − 1 → sıfır x = −1, asimptotlar x = −3 ve y = −1

1600 km: f(v) = 1600/v → 100 km/sa’te 16 saat, 200’de 8 saat, 800’de 2 saat
Güç: p(t) = 300/t → 2 ≤ t ≤ 100 için maksimum 150 watt, minimum 3 watt

Yardım etkinliği: k(x) = 2000/x
Yirmişer TL bağışla: t(x) = 2000/x + 20
Üç kişi ödemezse: d(x) = 2000/(x − 3)
Sabit mesafe: f(V) = 500/V, görüntü (0, ∞)

1. “Tanım kümesinde azalandır” demek — doğrusu her aralıkta ayrı ayrı azalan.
2. a < 0’ı azalan sanmak — rasyonelde artan yapar.