Filmi geri sar:
aynı yol, ters yön.
Bir fonksiyon x’i alıp y üretir. Ters fonksiyon aynı işlemi geri alır: y’yi alır, x’i geri verir. Grafik olarak bakarsan y = x doğrusuna göre aynadaki görüntüsüdür. Tek bir şart var: fonksiyonun tersi yine bir fonksiyon olacaksa fonksiyon bire bir ve örten olmalı.
Televizyon ekranının köşegenini inçten santimetreye çeviren bir fonksiyon düşün: 1 inç 2,54 cm olduğuna göre f(x) = 2,54x. Peki elindeki santimetre değerinden inç bulmak istersen? Aynı fonksiyonu geri çalıştırman gerekir. İşte bu geri çalıştıran fonksiyona f’nin tersi denir ve f⁻¹ ile gösterilir.
f(x) = 2x + 4 fonksiyonunda bağımsız değişken x, bağımlı değişken y’dir:
x: −1, 0, 1, 2 → y: 2, 4, 6, 8
Şimdi iki sütunun yerini değiştir:
x: 2, 4, 6, 8 → y: −1, 0, 1, 2
Bu yeni eşleme de bir fonksiyondur ve cebirsel temsili
f⁻¹(x) = (x − 4) / 2’dir. Ters fonksiyon bulmanın en
pratik yolu tam olarak budur: x ile y’nin yerini değiştir,
sonra y’yi yalnız bırak.
1. Fonksiyonu y = f(x) biçiminde yaz.
2. x ile y’yi takas et.
3. Yeni denklemde y’yi yalnız bırak; elde ettiğin ifade
f⁻¹(x)’tir.
Örnek: y = 3x + 1 → x = 3y + 1 → x − 1 = 3y →
f⁻¹(x) = (x − 1) / 3.
Kontrol: f(2) = 7 ve f⁻¹(7) = 2. Fonksiyon ile tersi
birbirini geri alıyorsa doğru bulmuşsundur.
Her bağıntının tersi fonksiyon değildir. Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi
için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.
Neden bire bir? Bire bir olmayan bir fonksiyonda iki farklı
x aynı y’yi verir. Takas ettiğinde o tek y değeri iki farklı sonuç üretmek zorunda kalır —
bu bir fonksiyon değildir. f(x) = x² için f(−1) = f(1) = 1; ters çevirince 1 hem −1’e hem
1’e gitmek zorunda kalır.
Neden örten? Örten olmayan bir fonksiyonda değer
kümesinde karşılığı olmayan elemanlar vardır. Takas edince onlar ters fonksiyonun tanım
kümesine düşer ama karşılıkları olmaz — yine fonksiyon çıkmaz. f(x) = 1/x fonksiyonu
ℝ − {0} → ℝ olarak verilirse tersi fonksiyon değildir; ℝ − {0} → ℝ − {0} olarak verilirse
tersi kendisidir.
Ters fonksiyonun en kullanışlı özelliği budur:
f: A → B ise f⁻¹: B → A’dır.
f’nin tanım kümesi f⁻¹’in görüntü kümesi, f’nin görüntü kümesi f⁻¹’in tanım kümesi olur.
Bir soruda ters fonksiyonun görüntü kümesi soruluyorsa aslında
asıl fonksiyonun tanım kümesi soruluyordur; ters fonksiyonu
bulmana bile gerek yok.
Bir fonksiyonun tersinin grafiği, fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. Sebebi basit: (a, b) noktası f’nin grafiğindeyse (b, a) noktası f⁻¹’in grafiğindedir ve bu iki nokta y = x doğrusuna göre simetriktir. Aşağıdaki düğmelerle beş fonksiyon türünü ve terslerini gez.
f(x) = x² fonksiyonunun grafiğinde (3, 9) noktası vardır. Tersinde (9, 3) noktası olur. Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktası (6, 6)’dır ve y = x doğrusu üzerindedir; ayrıca doğru parçası y = x’e diktir. Simetri tam da bu demek.
Bazı fonksiyonların grafiği zaten y = x doğrusuna göre simetriktir; onların tersi kendisidir. En bilinen ikisi: f(x) = x ve f(x) = 1/x (ℝ − {0} → ℝ − {0} olarak tanımlıysa). Bu tür fonksiyonlarda f(f(x)) = x olur.
Doğrusal fonksiyonların tersi de doğrusal fonksiyondur. ℝ’den ℝ’ye tanımlı f(x) = ax + b (a ≠ 0) fonksiyonu zaten bire bir ve örtendir; hiçbir daraltmaya gerek kalmaz.
y = ax + b → x = ay + b → x − b = ay →
f⁻¹(x) = (x − b) / a
Eğim a iken tersinin eğimi 1/a olur — bu da y = x
doğrusuna göre yansımanın doğal sonucudur.
Bir soğutucu dolap, içindekileri ortam sıcaklığına göre 12 °C soğutacak biçimde
programlanmış. Ortam 22 °C ise dolabın içi 10 °C oluyor.
a) Ortam sıcaklığı x, dolap içi y olsun:
y = f(x) = x − 12
b) Şimdi dolap içi x, ortam y olsun:
y = g(x) = x + 12
c) g’nin grafiği f’nin grafiğinin y = x doğrusuna göre
simetriği olduğundan g = f⁻¹.
ç) Ortam sıcaklığı [−4, 18] aralığındaysa
f(−4) = −16 ve f(18) = 6 olduğundan f: [−4, 18] → [−16, 6].
Ters fonksiyonda kümeler takas olur:
g = f⁻¹: [−16, 6] → [−4, 18].
Açılış ücreti 80 TL, kilometre başına 25 TL. Alınan mesafe x km olmak üzere ödenecek
ücret f(x) = 80 + 25x TL.
Tersini alalım: y = 80 + 25x → x = 80 + 25y →
f⁻¹(x) = (x − 80) / 25. Bu fonksiyon ücretten mesafeyi
verir.
Ücret 680 TL ile 1080 TL arasındaysa:
f⁻¹(680) = 600/25 = 24 km
f⁻¹(1080) = 1000/25 = 40 km
Yani mesafe [24, 40] km. Bu, f: [24, 40] → [680, 1080] ile
f⁻¹: [680, 1080] → [24, 40] eşleşmesinin ta kendisi.
f(x) = 1/x referans fonksiyonu ℝ − {0} → ℝ − {0} biçiminde verilirse bire bir ve örtendir; tersi kendisidir. Ondan türetilen fonksiyonların tersleri de hep aynı yöntemle bulunur.
f: ℝ − {0} → ℝ, f(x) = 1/x biçiminde verilirse fonksiyon
örten değildir (0 değeri hiç alınmaz) ve tersi fonksiyon olmaz.
f: ℝ − {0} → ℝ − {0} biçiminde verilirse hem bire bir hem
örtendir; tersi vardır ve f⁻¹(x) = 1/x, yani kendisidir.
Cebirsel ifade değişmedi, sadece değer kümesi düzeltildi.
y = 1/(x + 4) − 2 → x = 1/(y + 4) − 2 → x + 2 = 1/(y + 4) →
y + 4 = 1/(x + 2) →
f⁻¹(x) = 1/(x + 2) − 4
Tersin fonksiyon olabilmesi için f bire bir ve örten olmalı. f’nin tanım kümesi
A = ℝ − {−4}, değer kümesi
B = ℝ − {−2} seçilmelidir.
Kontrol: f⁻¹ ifadesinin paydası x + 2, yani ℝ − {−2}’de tanımlı; dışarıdaki sabit −4, yani
görüntü kümesi ℝ − {−4}. Kümeler tam takas olmuş.
g(x) = a/(x + r) + k biçimindeki bir fonksiyonun tanım kümesi ℝ − {−r}, görüntü kümesi
ℝ − {k}’dır. Tersi alındığında bu ikisi takas olur:
g⁻¹’in tanım kümesi ℝ − {k}, görüntü kümesi ℝ − {−r}.
Zaten ters fonksiyonun cebirsel ifadesi de g⁻¹(x) = a/(x − k) − r
biçimindedir — r ile k yer değiştirip işaret değiştirir.
Örnekler: g(x) = 2/x + 4 (ℝ − {0} → ℝ − {4}) ⇒
g⁻¹(x) = 2/(x − 4).
h(x) = 1/x + 8 ⇒ h⁻¹(x) = 1/(x − 8); h⁻¹’in görüntü kümesi
ℝ − {0}, iki aralıkta da azalan, maksimum-minimum noktası yok.
Bu ünitenin en çok dikkat isteyen kısmı burası. f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonu bire bir değildir: f(−1) = f(1) = 1. Değişkenleri takas edince 1 değerine hem −1 hem 1 karşılık gelir — bu bir fonksiyon değil. Çözüm: tanım kümesini daraltmak.
g(x) = x² − 4 fonksiyonunu ele alalım. Tanım kümesini nasıl daralttığına göre iki farklı
ters çıkar:
g: [0, ∞) → [−4, ∞) seçilirse (sağ yarı)
⇒ g⁻¹(x) = √(x + 4)
g: (−∞, 0] → [−4, ∞) seçilirse (sol yarı)
⇒ g⁻¹(x) = −√(x + 4)
İkisi de doğru; hangisinin isteneceğini sorudaki tanım kümesi belirler. Kök alırken
artı mı eksi mi koyacağını buradan okursun.
g(x) = a(x + r)² + k biçimindeki bir fonksiyonun tersi, tanım kümesi [−r, ∞) alındığında
adım adım şöyle çıkar:
y = a(x + r)² + k → x = a(y + r)² + k → (x − k)/a = (y + r)² →
√((x − k)/a) = y + r →
g⁻¹(x) = √((x − k)/a) − r
Örnek: k(x) = (x + 2)² + 1, k: [−2, ∞) → [1, ∞) ⇒
k⁻¹(x) = √(x − 1) − 2.
Örnek: m(x) = 4(x − 1)² + 2, m: [1, ∞) → [2, ∞) ⇒
m⁻¹(x) = ½·√(x − 2) + 1.
Karekök fonksiyonun tersi karesel, karesel fonksiyonun (daraltılmış hâlinin) tersi karekök. İkisi birbirinin aynadaki görüntüsü — bu yüzden bu iki ünite birlikte çalışılır.
f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = √x fonksiyonu zaten bire bir ve
örtendir; daraltmaya gerek yok.
y = √x → x = √y → f⁻¹(x) = x² (tanım kümesi [0, ∞)).
Dikkat: f⁻¹(x) = x² yazarken tanım kümesini [0, ∞) olarak belirtmezsen ifade bire bir
olmaz. Ters fonksiyon cebirsel ifade + tanım kümesi
ikilisidir; yalnız ifadeyi yazmak eksik cevaptır.
y = √(x + 3) − 2 → x = √(y + 3) − 2 → x + 2 = √(y + 3) →
(x + 2)² = y + 3 →
f⁻¹(x) = (x + 2)² − 3
Tersin fonksiyon olabilmesi için f bire bir ve örten olmalı; bu yüzden
A = [−3, ∞) ve B = [−2, ∞)
seçilir. f⁻¹ ise [−2, ∞) → [−3, ∞) olur.
Kare almadan önce kökü yalnız bırakmayı unutma — bu
ünitenin en sık hatası.
Ters fonksiyon problemlerinin hepsi aynı kalıptadır: bir olay iki yönden sorulur. “x verildiğinde y kaç olur?” ve “y verildiğinde x kaç olmalıydı?” İkinci soru, birincisinin ters fonksiyonudur.
Depodaki suyun yüksekliği (cm), geçen zamana (dk) bağlı olarak
h(t) = t² + 2 ile modelleniyor.
a) 0-15 dakika aralığında h(0) = 2 cm, h(15) = 227 cm.
Tanım kümesi [0, 15], görüntü kümesi [2, 227]. a < b
iken h(a) < h(b) olduğundan artan.
b) Zamanı yükseklikten bulmak için t’yi çekelim:
h − 2 = t² ⇒ t(h) = √(h − 2). Bu, h’nin ters
fonksiyonudur; grafiği h’nin grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir.
Tanım kümesi [2, 227], görüntü kümesi [0, 15]. Bu fonksiyon
da artandır — bir fonksiyon artansa tersi de artandır.
Uçurtmanın yerden yüksekliği h(t) = t² + 2t ile
modelleniyor. Zamanı yükseklikten bulmak için tamkareye tamamlayalım:
h = t² + 2t = (t + 1)² − 1 ⇒ (t + 1)² = h + 1 ⇒
t(h) = √(h + 1) − 1 (t ≥ 0 olduğu için artı kök).
440 metre yüksekliğe ulaşana kadar geçen süre:
t = √441 − 1 = 21 − 1 = 20 saniye.
Tanım kümesi [0, 440], görüntü kümesi [0, 20]; her iki fonksiyon da artan ve bire birdir.
Mağaza, satış fiyatı 250 ile 750 lira arasında olan cihazlara 50 lira ekleyerek garanti
süresini uzatıyor.
a) f(x) = x + 50, tanım kümesi [250, 750], görüntü kümesi
[300, 800].
b) f⁻¹(x) = x − 50, tanım kümesi [300, 800], görüntü
kümesi [250, 750].
c) İki grafik y = x doğrusuna göre simetriktir; biri
diğerinin tersidir. İkisi de eğimi 1 olan paralel doğrulardır.
Bu tipte soru, tersin var olması için hangi kümelerin seçilmesi gerektiğini sorar.
f: ℝ − {a} → ℝ − {b}, f(x) = 4/(x − 7) + 2 ⇒
a = 7, b = 2; f⁻¹(x) = 4/(x − 2) + 7
g: [−5, ∞) → [b, ∞), g(x) = (x + 5)² − 1 ⇒
b = −1; g⁻¹(x) = √(x + 1) − 5
h: [a, ∞) → [b, ∞), h(x) = √(x − 6) + 4 ⇒
a = 6, b = 4; h⁻¹(x) = (x − 4)² + 6
f⁻¹(x) ters fonksiyonu gösterir; 1/f(x) ise fonksiyonun çarpmaya göre tersidir. f(x) = 2x için f⁻¹(x) = x/2 iken 1/f(x) = 1/(2x). Üstteki −1 bir üs değil, gösterim işaretidir.
“x² − 4 fonksiyonunun tersi √(x + 4)’tür” cümlesi eksiktir. Hangi yarının alındığı yazılmalı: [0, ∞) alınırsa √(x + 4), (−∞, 0] alınırsa −√(x + 4). Tanım kümesi verilmemişse fonksiyonun tersi fonksiyon bile değildir.
x = √(y + 3) − 2 denkleminde doğrudan kare alırsan hata yaparsın. Önce −2’yi karşıya at: x + 2 = √(y + 3), sonra kare al: (x + 2)² = y + 3. Sonuç f⁻¹(x) = (x + 2)² − 3. Aynı hata rasyonelde de olur: önce sabiti karşıya at, sonra kesri ters çevir.
“f⁻¹’in görüntü kümesi nedir?” sorusunun cevabı f’nin tanım kümesidir. Ters fonksiyonu bulup üzerinde işlem yapmaya gerek yok. Aynı şekilde “f⁻¹ artan mı azalan mı?” sorusunun cevabı da f’ninkiyle aynıdır.
Ters fonksiyonun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir; y eksenine ya da x eksenine göre değil. y eksenine göre simetri f(−x), x eksenine göre simetri −f(x) demektir — üçü üç ayrı şey.
Bire bir olmak tek başına yetmez. f: ℝ − {0} → ℝ, f(x) = 1/x bire birdir ama örten olmadığı için tersi fonksiyon değildir. Değer kümesini ℝ − {0} yaparsan sorun kalkar. Soruda ok işaretinin sağındaki kümeye her zaman bak.
Sorular her açılışta karışıyor; yanlış cevapta gerekçesini de göreceksin.
Mağaza %20 indirim yapıyorsa ödediğin fiyat f(x) = 0,8x. Kasada 480 TL ödediysen etiket fiyatı neydi? Ters fonksiyona ihtiyacın var: f⁻¹(x) = x / 0,8 ⇒ 600 TL. “%20 indirimden sonra %20 ekleyince aynı fiyat” sanmak klasik hatadır — 480 + 96 = 576, 600 değil.
Fahrenheit’ı Celsius’a çeviren fonksiyon C = (F − 32) · 5/9. Tersi F = 9C/5 + 32. Yurt dışındaki bir arkadaşın “bugün 86 derece” dediğinde ilk fonksiyonu, sen “30 derece” dediğinde ikincisini kullanırsın.
100 TL karşılığı 1200 elmas veriliyorsa f(x) = 12x. İstediğin karakter 3600 elmas tutuyorsa kaç TL gerekir? f⁻¹(x) = x/12 ⇒ 300 TL. Fiyat listelerini iki yönden okumak, ters fonksiyonu kullanmaktan başka bir şey değil.
Dört yanlış bir doğruyu götürüyorsa, d doğru ve y yanlış için net n = d − y/4. Deneme sonunda “kaç net yaptım” sorusu bu fonksiyondur; “şu neti tutturmak için kaç doğru gerekir” sorusu ise tersidir.
4 kişilik kek tarifi 300 g un istiyorsa x kişi için gereken un u(x) = 75x. Elinde 450 g un varsa kaç kişilik yaparsın? u⁻¹(x) = x/75 ⇒ 6 kişilik. Mutfakta ters fonksiyonu farkında olmadan kullanırsın.
Sabit tempoda koşarken mesafeden süreyi bulan fonksiyon ile süreden mesafeyi bulan fonksiyon birbirinin tersidir. Uygulama ekranında “5 km’yi 30 dakikada” yazıyorsa iki bilgiyi de aynı doğrudan okuyorsun demektir; grafik y = x doğrusuna göre çevrildiğinde diğerini verir.
Ters fonksiyonlar testi · ters alma adımları, bire birlik ve örtenlik şartı, y = x simetrisi, doğrusal-rasyonel-karesel-karekök fonksiyonların tersleri, tanım kümesi daraltma ve gerçek hayat modelleri
Tersin de fonksiyon olması için fonksiyon
bire bir ve örten olmalı
Tersin grafiği, fonksiyonun grafiğinin
y = x doğrusuna göre simetriği
f: A → B ise f⁻¹: B → A — kümeler takas olur
f artansa f⁻¹ de artan, f azalansa f⁻¹ de azalandır
1. y = f(x) yaz
2. x ile y’yi takas et
3. y’yi yalnız bırak
Kontrol: f(a) = b ise f⁻¹(b) = a olmalı
Doğrusal fonksiyonun tersi de doğrusaldır
f(x) = ax + b ⇒ f⁻¹(x) = (x − b)/a
x ⇒ x · 4x ⇒ x/4 · x − 2 ⇒ x + 2 · 3x + 1 ⇒ (x − 1)/3
x − 4 ⇒ x + 4 · 3x ⇒ x/3 · 2x + 1 ⇒ (x − 1)/2
1/x (ℝ−{0} → ℝ−{0}) ⇒ tersi kendisi
a/(x + r) + k ⇒ a/(x − k) − r
1/(x + 4) − 2 ⇒ 1/(x + 2) − 4, A = ℝ−{−4}, B = ℝ−{−2}
2/x + 4 ⇒ 2/(x − 4) · 1/x + 8 ⇒ 1/(x − 8)
4/(x − 7) + 2 ⇒ 4/(x − 2) + 7, a = 7, b = 2
ℝ → ℝ tanımlıysa bire bir değildir, tersi yoktur
x² − 4, [0, ∞) → [−4, ∞) ⇒ √(x + 4)
x² − 4, (−∞, 0] → [−4, ∞) ⇒ −√(x + 4)
(x − 3)², [3, ∞) → [0, ∞) ⇒ √x + 3
(x + 2)² + 1, [−2, ∞) → [1, ∞) ⇒ √(x − 1) − 2
4(x − 1)² + 2, [1, ∞) → [2, ∞) ⇒ ½√(x − 2) + 1
√x, [0, ∞) → [0, ∞) ⇒ x² (tanım [0, ∞))
√x + 4, [0, ∞) → [4, ∞) ⇒ (x − 4)²
√x − 1, [0, ∞) → [−1, ∞) ⇒ (x + 1)²
√(x − 2), [2, ∞) → [0, ∞) ⇒ x² + 2
√(x + 3) − 2, [−3, ∞) → [−2, ∞) ⇒ (x + 2)² − 3
√(x − 6) + 4, [6, ∞) → [4, ∞) ⇒ (x − 4)² + 6
Soğutucu: f(x) = x − 12, f⁻¹(x) = x + 12
[−4, 18] → [−16, 6], ters [−16, 6] → [−4, 18]
Taksimetre: f(x) = 80 + 25x, f⁻¹(x) = (x − 80)/25
[680, 1080] TL → [24, 40] km
Su deposu: h(t) = t² + 2, [0, 15] → [2, 227]
Tersi: t(h) = √(h − 2), [2, 227] → [0, 15], ikisi de artan
Uçurtma: h(t) = t² + 2t ⇒ t(h) = √(h + 1) − 1;
440 m için 20 saniye
Garanti: f(x) = x + 50, [250, 750] → [300, 800]
1. f⁻¹(x) ile 1/f(x)’i karıştırmak — biri ters fonksiyon,
diğeri çarpmaya göre ters.
2. Karesel fonksiyonda tanım kümesini daraltmayı unutmak;
kökün önündeki artı-eksi işareti oradan gelir.