Yarım parabol,
yan yatmış hâli.
f(x) = x² grafiğinin sağ yarısını alıp y = x doğrusuna göre çevirirsen elde ettiğin eğri f(x) = √x’tir. Bir yerden başlar, hiç geri dönmez, hep artar. Üstüne a, r ve k düğmelerini takınca bütün karekök fonksiyonları çıkar: başlangıç noktası (−r, k), gidiş yönü a’nın işareti.
f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = √x şeklinde tanımlı f fonksiyonuna karekök referans fonksiyonu denir. Negatif bir sayının karekökü gerçek sayılarda tanımsız olduğu için eğri x = 0’dan başlar ve sağa doğru gider. Alanı bilinen bir karenin kenarını bulmak, standart sapma hesaplamak, bir yapının taşıma kapasitesini kestirmek — hepsinin arkasında bu fonksiyon vardır.
Karekökün içi negatif olamaz: tanım kümesi [0, ∞). Karekök hiçbir zaman negatif değer üretmez: görüntü kümesi [0, ∞). Grafik yalnızca birinci bölgede yaşar.
√x = 0 yalnız x = 0 için sağlanır; fonksiyonun tek sıfırı budur. Tanımlı olduğu her yerde pozitiftir (x = 0’da sıfır), x < 0 için ise tanımsızdır.
a < b ise √a < √b olur; yani fonksiyon tanımlı olduğu her yerde daima artandır. Bir kere yükselmeye başlar ve hiç dönmez — bu yüzden de bire birdir.
Sürekli arttığı için maksimum değeri yoktur. Minimum değerini başlangıç noktasında alır: x = 0’da f(0) = 0. Tanım kümesi kapalı bir aralıksa uçlar iki değeri birden verir.
Değer kümesi [0, ∞) seçilirse örtendir. Ama değer kümesi ℝ olarak verilirse negatif sayılara karşılık gelen hiçbir x bulunmadığı için örten değildir. Cevap, değer kümesinin ne yazdığına bağlı.
f(−x)’i hesaplayamayız, çünkü negatif sayılar tanım kümesinde yok. Tanım kümesi orijine göre simetrik olmadığı için teklik-çiftlikten söz edilemez. “Ne tek ne çift” demekle “sorulamaz” demek arasındaki fark budur.
Bire bir mi? Farklı x değerleri farklı karekök verdiği için evet.
Örten mi? Değer kümesi ℝ; negatif sayılara karşılık gelen x
yok, dolayısıyla hayır.
Sıfırı? √x = 0 ⇒ x = 0.
İşareti? Tanımlı olduğu aralıkta daima pozitif.
Artan-azalan? a < b iken f(a) < f(b); daima artan.
Uç değerler? Minimum f(0) = 0, maksimum
f(20) = √20 = 2√5 (yaklaşık 4,47). Artan bir fonksiyonda uç
değerler hep aralığın iki ucundadır.
Bütün karekök fonksiyonları g(x) = a · √(x + r) + k (a ≠ 0) biçimindedir ve hepsi aynı referans eğrinin taşınmış, gerilmiş ya da ters çevrilmiş hâlidir. Aşağıdaki kaydıraklarla üçünü de oynat; soluk kesikli eğri hep referans fonksiyondur.
a = −1 → x eksenine göre yansıma. Eğri aşağı sarkar.
|a| > 1 → dikey daralma. a = 2 ise her y değeri 2 katına
çıkar, eğri dikleşir.
|a| < 1 → dikey genişleme. a = ½ ise eğri yatıklaşır.
İşaret ile büyüklük ayrı ayrı çalışır: a = −2 hem yansıtır hem 2 kat daraltır.
√(x + r) → x ekseni boyunca negatif
yönde r birim öteleme. İçeriye artı yazınca grafik sola gider; en çok karıştırılan yer burası.
+ k → y ekseni boyunca pozitif yönde k birim öteleme.
Dışarıdaki sayı beklendiği gibi davranır.
İkisi birlikte eğrinin başlangıç noktasını (−r, k)’ya taşır.
h(x) = −√x → x eksenine göre yansıma
m(x) = 2√x → 2 kat dikey daralma
h(x) = √(x + 2) → x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme
h(x) = √x + 2 → y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme
h(x) = √(x + 1) + 3 → x’te negatif yönde 1, y’de pozitif yönde 3 birim öteleme
Cebirsel olarak söylersek: √(x + 2) “bağımsız değişkenin 2 fazlasının karekökünü al” demektir — değişikliği kök alınmadan önce yapar, bu yüzden yatay hareket eder. √x + 2 ise “karekökü aldıktan sonra 2 ekle” demektir — değişiklik kök alındıktan sonra yapılır, bu yüzden dikey.
a, r, k ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere g(x) = a · √(x + r) + k fonksiyonunun grafiği üç adımda çizilir. Aşağıdaki düğmelerle adımları tek tek izleyebilirsin: örnek fonksiyon g(x) = 2 · √(x + 5) − 4.
Tanım kümesi: x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5 ⇒ [−5, ∞)
Görüntü kümesi: a > 0 olduğundan [−4, ∞)
Sıfırı: 2√(x + 5) − 4 = 0 ⇒ √(x + 5) = 2 ⇒ x + 5 = 4 ⇒
x = −1
Bire bir mi? g(x₁) = g(x₂) yazılıp sadeleştirilince
x₁ = x₂ çıkar; evet.
Örten mi? Değer kümesi [−4, ∞) alınırsa evet — görüntü
kümesiyle çakışıyor.
Tek mi çift mi? Grafik ne y eksenine ne orijine göre
simetrik; ne tek ne çift.
Önce yatay öteleme (r), sonra a ile çarpma, en son dikey öteleme (k). Sırayı bozarsan yanlış grafik çıkar: 2√(x + 5) − 4 fonksiyonunda önce −4 ötelenip sonra 2 ile çarpılsaydı sonuç 2√(x + 5) − 8 olurdu. Çünkü a ile çarpma, dışarıdaki sabiti de çarpar.
g(x) = a · √(x + r) + k fonksiyonunun bütün nitel özellikleri iki tabloya sığar. Farkı yaratan tek şey a’nın işaretidir; r ve k sadece eğriyi taşır.
Tanım kümesi [−r, ∞)
Görüntü kümesi [k, ∞)
Daima artandır
Minimum değeri k, bu değeri x = −r noktasında alır
Maksimum noktası yoktur
Bire birdir; değer kümesi ℝ ise örten değildir
İşareti: k ≥ 0 ise daima pozitif; k < 0 ise sıfırından önce negatif, sonra pozitif
Tanım kümesi [−r, ∞) — a’nın işareti tanım kümesini
değiştirmez, çünkü kökün içi aynı
Görüntü kümesi (−∞, k]
Daima azalandır
Maksimum değeri k, bu değeri x = −r noktasında alır
Minimum noktası yoktur
Bire birdir; değer kümesi ℝ ise örten değildir
Tanım kümesi: Kökün içi negatif olamaz, x + r ≥ 0 ⇒ x ≥ −r.
Görüntü kümesi: Her x için √(x + r) ≥ 0’dır. a > 0 ise
a·√(x + r) ≥ 0, iki tarafa k eklenirse g(x) ≥ k. a < 0 ise
eşitsizlik yön değiştirir: a·√(x + r) ≤ 0 ve g(x) ≤ k.
Eşitlik her iki durumda da yalnız x = −r için sağlanır — bu yüzden uç değer tam orada.
Artanlık: x₁ < x₂ ⇒ √(x₁ + r) < √(x₂ + r). Pozitif a
ile çarpınca sıra korunur (artan), negatif a ile çarpınca sıra ters döner (azalan).
Bire birlik: Fonksiyon hep aynı yönde gittiği için aynı
değeri iki kez veremez.
Ders kitabının özet kutusunda görüntü kümesi tek satırda “[k, ∞)” diye yazılmış, ama aynı kutunun iki satır altında “a < 0 ise fonksiyonun maksimum değeri k’dır” deniyor. İkisi birden doğru olamaz: maksimumu k olan bir fonksiyonun görüntü kümesi (−∞, k]’dır. Doğrusu yukarıdaki iki tabloda yazılı; sınavda a’nın işaretine bakmadan görüntü kümesi yazma.
Arama kutusuna bir sayı ya da kelime yaz (“azalan”, “−5”, “maksimum”) — tablo anında süzülür. Sınav tekrarında bu tabloyu tek tek örtüp kendine sormak en hızlı yöntemdir.
Bir karekök fonksiyonu görünce sırayla üç şeye bak: 1) Kökün içini sıfır yapan x kaç? Cevap −r, tanım kümesi oradan başlar. 2) Dışarıdaki sabit kaç? O k, uç değer odur. 3) Kökün önündeki katsayı artı mı eksi mi? Artıysa artan ve minimum, eksiyse azalan ve maksimum.
Tanım kümesi [−5, 4] gibi kapalı bir aralıksa fonksiyon artan olduğu için minimumunu sol uçta, maksimumunu sağ uçta alır. f(x) = √(x + 5) − 1 için f(−5) = −1 ve f(4) = 2; görüntü kümesi tam olarak [−1, 2]. Azalan bir fonksiyonda (a < 0) uçlar yer değiştirir.
Karekök fonksiyonu “başta hızlı artan, sonra yavaşlayan” her ilişkiyi modeller. Sarkacın periyodu, üretim kârı, fren mesafesi — üçünde de aynı eğri var.
İpin ucuna bağlı bir cisim küçük bir açıyla bırakılırsa gidip gelmeye başlar. Bir tam
gidiş gelişe periyot denir ve T saniye,
l metre, g metre/saniye² olmak üzere
T = 2π · √(l / g) ile hesaplanır.
Yer çekimi ivmesinin 9 m/s² olduğu bir ortamda √9 = 3 olduğu için model sadeleşir:
f(x) = (2π / 3) · √x. Boy 1 ile 9 metre arasında
değişiyorsa fonksiyon artan olduğundan minimum f(1) = 2π/3 ≈
2,09 saniye, maksimum f(9) = 2π ≈ 6,28 saniye’dir.
Boy 9 kat arttığında periyot yalnız 3 kat artar — karekökün yavaşlığı budur.
Bir fabrikada üretim maliyeti x TL iken olası kâr
f(x) = √(x + 200) − 10 ile modelleniyor (200 TL sabit
masraf, 10 TL iskonto).
x = 25 ⇒ √225 − 10 = 5 TL
x = 200 ⇒ √400 − 10 = 10 TL
x = 700 ⇒ √900 − 10 = 20 TL
x = 1400 ⇒ √1600 − 10 = 30 TL
Maliyet 25’ten 1400’e (56 kat) çıkarken kâr yalnız 6 kat artıyor. Tanım kümesi
x ≥ −200; problem gereği x ≥ 0 alınır ve o zaman kâr en az √200 − 10 ≈ 4,14 TL olur.
f: [−1, ∞) → [0, ∞), f(x) = √(x + 1) ve
g: [−1, ∞) → (−∞, 0], g(x) = −√(x + 1) fonksiyonlarının
grafikleri üzerinde A(0, f(0)), B(0, g(0)), C(8, g(8)) ve D(8, f(8)) noktaları işaretlenip
ABCD dörtgeni çiziliyor.
f(0) = 1, g(0) = −1, g(8) = −3, f(8) = 3 olduğundan noktalar
A(0, 1), B(0, −1), C(8, −3), D(8, 3)’tür.
[AB] ve [DC] kenarları y eksenine paralel, uzunlukları 2 ve 6 birim; aralarındaki uzaklık
8 birim. Bu bir yamuktur:
Alan = (2 + 6) / 2 · 8 = 32 birimkare.
Not: g fonksiyonu f’nin x eksenine göre yansımasıdır, bu yüzden şekil x eksenine göre
simetriktir — hesabı yarısını bulup ikiyle çarparak da yapabilirsin.
√(x + 5) grafiği referans eğrinin 5 birim SOLA kaymış hâlidir, sağa değil. Kontrolü kolay: kökün içini sıfır yapan x değeri eğrinin başladığı noktadır. x + 5 = 0 ⇒ x = −5, yani başlangıç noktası solda.
a < 0 ise görüntü kümesi (−∞, k]’dır, [k, ∞) değil. h(x) = −2√(x + 4) + 3 fonksiyonunun tanım kümesi [−4, ∞), görüntü kümesi (−∞, 3]; maksimum değeri 3 ve bu değeri x = −4’te alıyor.
Kökün önündeki katsayı ne olursa olsun tanım kümesi yalnız kökün içine bakar. 3√(x − 3) + 4 ile −2√(x − 3) + 1 fonksiyonlarının tanım kümesi aynıdır: [3, ∞). Değişen şey artanlık ve görüntü kümesidir.
2√(x + 5) = 4 denkleminde önce kökü yalnız bırak: √(x + 5) = 2. Sonra kare al: x + 5 = 4. Katsayıyı yalnız bırakmadan kare alırsan 4(x + 5) = 16 gibi yanlış bir denklem çıkar. Ayrıca −√(x + 1) = 3 gibi bir denklemin çözümü yoktur: sol taraf hiç pozitif olamaz.
“Karekök fonksiyonu örten değildir” cümlesi eksiktir. Değer kümesi ℝ verildiyse örten değildir; ama değer kümesi görüntü kümesiyle aynı yazılmışsa (ör. g: [−5, ∞) → [−4, ∞)) örtendir. Önce soruda değer kümesinin ne olduğuna bak.
Tanım kümesi [−r, ∞) olduğu için orijine göre simetrik değildir. Yine de sınav sorularında “ne tek ne çift” cevabı beklenir; gerekçe olarak grafiğin ne y eksenine ne orijine göre simetrik olduğunu göstermek yeterlidir. Grafiğe bakmak en hızlı yol.
Sorular her açılışta karışıyor; yanlış cevapta gerekçesini de göreceksin.
Parktaki uzun zincirli salıncak, kısa zincirli olandan daha yavaş gidip gelir. Sebebi periyot bağıntısı: zincir 4 kat uzasa gidiş geliş süresi yalnız 2 kat artar. Kendi ağırlığının hiç etkisi yoktur — formülde kütle yok.
Fren mesafesi hızın karesiyle arttığı için, ters çevirince hız = katsayı · √mesafe çıkar. Kaza incelemelerinde asfalttaki fren izinin uzunluğundan aracın hızı böyle hesaplanır: iz iki kat uzunsa hız iki kat değil, yalnız √2 ≈ 1,41 kat fazlaydı.
Ekran alanı iki katına çıksın istiyorsan köşegeni iki katına çıkarman gerekmez; √2 ≈ 1,41 katı yeter. 32 inç ekranın iki katı alan için 45 inç yeterlidir — mağazada işine yarayacak bir hesap.
Birçok oyunda seviye, toplanan puanın kareköküyle artar. Başlangıçta her oyun bir seviye atlatır, ilerledikçe aynı seviye için çok daha fazla puan gerekir. Karekök eğrisinin yatıklaşması tam olarak bu his.
İlk hafta çalışmaya başladığında netlerin hızla yükselir; aynı artışı bir ay sonra almak çok daha fazla saat ister. Bu azalan getiri, karekök eğrisinin şeklidir. Vazgeçme sebebi değil, beklenti ayarı.
Okul bahçesine kare biçiminde 400 m² alan ayrıldıysa bir kenarı √400 = 20 metredir. Alanı 4 katına çıkarmak isteyen bir kenarı yalnız 2 katına çıkarır: 40 metre, 1600 m².
Karekök fonksiyonlar testi · referans fonksiyonun nitel özellikleri, a-r-k dönüşümleri, üç adımlı çizim, tanım ve görüntü kümeleri, sınırlı aralıkta uç değerler, sarkaç periyodu ve üretim kârı modelleri
f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = √x
Tanım [0, ∞) · Görüntü [0, ∞) · Sıfır 0
Daima artan · Bire bir · Minimum 0 (x = 0)
Maksimumu yok · Tanımlı olduğu yerde pozitif
a < 0 → x eksenine göre yansıma
|a| > 1 → dikey daralma · |a| < 1 → dikey genişleme
√(x + r) → x ekseni boyunca negatif yönde r birim
+ k → y ekseni boyunca pozitif yönde k birim
1. √x grafiği r birim sola ötelenir → √(x + r)
2. Değerler a katına eşlenir → a·√(x + r)
3. Grafik k birim yukarı ötelenir → a·√(x + r) + k
Başlangıç noktası (−r, k)
Tanım [−r, ∞) · Görüntü [k, ∞)
Daima artan · Bire bir · Örten değil (değer kümesi ℝ ise)
Minimum k, x = −r · Maksimum yok
Tanım [−r, ∞) · Görüntü (−∞, k]
Daima azalan · Bire bir · Örten değil (değer kümesi ℝ ise)
Maksimum k, x = −r · Minimum yok
g(x) = 2√(x + 5) − 4
Tanım [−5, ∞) · Görüntü [−4, ∞) · Sıfır x = −1
Artan · Bire bir · Ne tek ne çift
Minimum −4, x = −5’te
√(x + 4) − 3 → [−4, ∞) ve [−3, ∞)
√(x − 2) + 1 → [2, ∞) ve [1, ∞)
2√(x + 1) → [−1, ∞) ve [0, ∞)
3√(x − 3) + 4 → [3, ∞) ve [4, ∞)
−2√(x + 5) − 6 → [−5, ∞) ve (−∞, −6]
√(x + 5) − 1, [−5, 4] → min −1 (x = −5), maks 2 (x = 4), sıfır x = −4
2√(x + 1) + 3, [−1, 8] → min 3, maks 9, sıfırı yok
−√(x + 2), [−2, 14] → maks 0, min −4, sıfır x = −2
−2√(x + 3) − 6, [−3, 6] → maks −6, min −12, sıfırı yok
Sarkaç: T = 2π√(l/g); g = 9 için f(x) = (2π/3)√x
1-9 m arası → 2π/3 ile 2π saniye
Üretim kârı: √(x + 200) − 10 → 25, 200, 700, 1400 TL maliyet için 5, 10, 20, 30 TL kâr
ABCD yamuğu: A(0,1), B(0,−1), C(8,−3), D(8,3) → 32 birimkare