Grafiği okumak,
fonksiyonu tanımaktır.
Bir günlük sıcaklık grafiğine bakıp “en yüksek kaç dereceydi, ne zaman düşmeye başladı, hangi saatlerde sıfırın altındaydı” diyebiliyorsan aslında bir fonksiyonun maksimumunu, azalan aralığını ve işaretini okuyorsun demektir. Bu ünite o günlük okumaya matematiğin adlarını veriyor.
A boş kümeden farklı ve A ⊂ ℝ olmak üzere, her x ∈ A için bir ve yalnız bir f(x) ∈ ℝ varsa f’ye A’dan ℝ’ye tanımlı bir fonksiyon denir ve f: A → ℝ, y = f(x) şeklinde gösterilir. Bu cümlede iki şart birden var: tanım kümesindeki hiçbir eleman açıkta kalmayacak ve hiçbiri iki karşılık almayacak.
Grafik 1 · f: ℝ → [−2, ∞)
Tanım kümesindeki her x ∈ ℝ için yalnız bir f(x) ∈ [−2, ∞) olduğundan
f fonksiyondur.
Grafik 2 · g: [0, ∞) → ℝ
Tanım kümesindeki bir x, ℝ’de birden fazla elemanla eşleştiğinden
g fonksiyon değildir.
Grafik 3 · h: [−4, 4] → [−3, 3]
Tanım kümesindeki bir x, [−3, 3] içinde birden fazla elemanla eşleştiğinden
h fonksiyon değildir.
Deposunda 600 litre yakıt bulunan bir tankerin vanası açıldığında dakikada 20 litre akıyor.
Süre x dakika, kalan yakıt f(x) litre olmak üzere
f(x) = 600 − 20x.
Tanım kümesi [0, 30] (30. dakikada depo boşalır), görüntü
kümesi [0, 600]. Her zaman değeri için kalan yakıt tek bir
sayıdır, dolayısıyla bu ilişki bir fonksiyon belirtir. Ama her doğrusal ilişki fonksiyon
vermez: x = 3 gibi dikey bir doğru da doğrusaldır ve tek bir
x’e sonsuz y karşılık geldiği için fonksiyon değildir.
f: A → B olmak üzere A tanım kümesi, B değer kümesidir. Tanım kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir; ikisi eşitse fonksiyon örtendir.
Bir şehrin belli bir gününe ait bütün ölçümlerde en düşük sıcaklık −10 °C, en yüksek 16 °C
ölçülmüşse ve o günün grafiğinde sıcaklık −8 °C ile 12 °C arasında değişiyorsa:
değer kümesi [−10, 16], görüntü
kümesi [−8, 12]. Görüntü kümesi değer kümesinin
gerçek alt kümesidir, dolayısıyla fonksiyon örten değildir.
Aynı ölçümler yalnız son 5 yıl için yapılmış olsaydı ve aralık [−8, 12] çıksaydı iki küme
eşit olurdu; o zaman fonksiyon örten olurdu.
Sürtünmesiz ortamda serbest bırakılan bir cismin yerden yüksekliği
h(t) = h₀ − ½ · g · t² ile bulunur (h₀ ilk yükseklik,
g ≈ 9,8 m/sn²). 200 metreden bırakılan cisim için:
t = 0 → 200 m · t = 1 → 195,1 m · t = 2 → 180,4 m · t = 3 → 155,9 m ·
t = 4 → 121,6 m · t = 5 → 77,5 m · t = 6 → 23,6 m · t ≈ 6,39 → 0 m.
Aralıklar eşit uzunlukta olduğu hâlde düşüş miktarı sürekli
artıyor (4,9 → 14,7 → 24,5 → 34,3 …). Bu yüzden grafik doğru değil, eğri çıkar —
gerçek yaşamdaki her ilişki doğrusal fonksiyonla ifade edilemez.
f fonksiyonunda f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerine fonksiyonun sıfırı denir. Grafik üzerinde sıfırlar, eğrinin x eksenini kestiği noktaların apsisleridir. Sıfırlar aynı zamanda işaret değişim noktalarıdır: eğri x ekseninin üstündeyse f(x) > 0, altındaysa f(x) < 0’dır.
Grafiğin köşe noktaları: (0, 4) · (2, 0) · (6, −8) · (10, 0) · (15, 12) · (20, 6) · (24, 2).
Tanım kümesi: [0, 24]
Görüntü kümesi: [−8, 12]
Sıfırları: 2 ve 10
Pozitif olduğu aralıklar: [0, 2) ∪ (10, 24]
Negatif olduğu aralık: (2, 10)
Azalan: [0, 6] ve [15, 24]
Artan: [6, 15]
Maksimum: 12 (x = 15) · Minimum: −8 (x = 6)
| x | 0 | 2 | 10 | 24 |
| f(x) | + | 0 | − | + |
Tabloda sıfırlar sınır olarak yazılır; iki sıfır arasındaki her aralıkta işaret sabittir. Tanım kümesi dışında kalan yerlere “Tanımsız” yazılır — aşağıdaki çözümlü örnekteki f ve g fonksiyonlarının tablolarında olduğu gibi.
Bir aralıkta a > b iken f(a) > f(b) oluyorsa fonksiyon o
aralıkta artandır; a > b iken
f(a) < f(b) oluyorsa azalandır.
Bir fonksiyon tanım kümesinin tamamında artan olabilir (çözümlü örnekteki g gibi) ya da
aralıklara bölünebilir. Artan-azalan aralıkları yazarken uç noktalar
dâhil edilerek yazılır: [−3, −1], [−1, 4] gibi.
[a, b] aralığındaki her x için f(x) ≤ f(m) şartını sağlayan
f(m) değerine f fonksiyonunun maksimum değeri,
f(x) ≥ f(n) şartını sağlayan f(n) değerine
minimum değeri denir.
Dikkat: değer y eksenindedir, nokta x eksenindedir.
“Maksimum değeri 12’dir, bu değeri x = 15 noktasında alır” cümlesindeki iki sayı
birbirine karıştırılmamalıdır.
Çözümlü örnekteki f ve g fonksiyonları ile bu sayfadaki sıcaklık fonksiyonunun bütün nitel özellikleri aşağıda. Arama kutusuna “artan”, “bire bir” ya da bir sayı yaz.
Bir yarış parkurunun mesafe-yükseklik grafiği verildiğinde sorulan dört şey hep aynıdır: tanım ve görüntü kümesi (parkurun uzunluğu ve yükseklik aralığı), artan-azalan aralıklar (tırmanışlar ve inişler), maksimum-minimum değerler (tepe ve çukur) ve bire birlik (aynı yükseklikten iki kez geçiliyor mu). Parkurda bir tepe varsa fonksiyon bire bir değildir: iniş ve çıkışta aynı yükseklik iki farklı mesafede görülür.
Tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesindeki karşılıkları da farklıysa fonksiyon
bire birdir. Cebirsel yazılışı:
a ≠ b iken f(a) ≠ f(b) — ya da eşdeğer olarak f(a) = f(b) ⇒ a = b.
Grafikte: yatay bir doğru grafiği en fazla bir noktada
kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Bir tepe ya da çukur varsa bire bir değildir.
Tanım kümesindeki elemanlar, değer kümesinin hiçbir elemanı
açıkta kalmayacak şekilde eşleşiyorsa fonksiyon örtendir. Yani her y₀ ∈ B için
y₀ = f(x₀) olacak şekilde en az bir x₀ ∈ A bulunmalıdır.
Kısaca: görüntü kümesi = değer kümesi ise örten,
görüntü kümesi değer kümesinden küçükse örten değildir.
f ve g gerçek sayılarda tanımlı ve değerli olsun.
f örten değildir: −4 = f(x₀) olacak şekilde bir x₀ ∈ ℝ
yoktur; yani değer kümesindeki −4 açıkta kalıyor.
g örtendir: grafiği incelendiğinde değer kümesindeki her
bağımlı değişkene karşılık gelen bir bağımsız değişken bulunur.
Karışmasın: “bire bir” tanım kümesinden bakar (iki x aynı
yere gitmesin), “örten” değer kümesinden bakar (hiçbir y boşta kalmasın). Bir fonksiyon
ikisinden birini, ikisini birden ya da hiçbirini sağlayabilir.
Fonksiyon fikrine ilk olarak Antik Yunan ve Babilliler döneminde rastlanır. Babilliler gökyüzünü uzun süre gözleyerek zaman ile konum arasında düzenli ilişkiler kurmuş, özellikle Venüs’ün hareketlerinin döngüsel tekrarını tespit ederek belirli tarihlerdeki konumunu öngörebilmişlerdir. Mısırlılar Nil Nehri’nin taşma zamanlarını tahmin etmek için Güneş’in yıllık hareketlerini ve Sirius yıldızının doğuşunu gözlemlemiştir. Öklid fonksiyon terimini kullanmasa da iki nicelik arasındaki ilişkileri geometrik yöntemlerle tarif etmiştir. 16. yüzyılda René Descartes’ın analitik geometriyi geliştirmesi ve dik koordinat sisteminin ortaya çıkmasıyla fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri gelişmiştir. 18. yüzyılda Leonhard Euler bugün kullandığımız f(x) gösterimini getirmiş, 19. yüzyılın başlarında Dirichlet fonksiyon tanımını bugünkü biçimine kavuşturmuştur.
f, g: ℝ → ℝ olmak üzere her x₀ ∈ ℝ için f(−x₀) = f(x₀) şartını sağlayan f fonksiyonuna çift fonksiyon, g(−x₀) = −g(x₀) şartını sağlayan g fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine, tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Bir fonksiyonun tek ya da çift olma zorunluluğu yoktur.
1. yol (cebirsel): f fonksiyonunun [−7, 7] aralığındaki her
x için f(−x) = f(x) şartını sağladığı görülür — örneğin f(−7) = f(7) = −2 ve
f(−3) = f(3) = 3. Bu nedenle f çift fonksiyondur.
g fonksiyonunda ise g(−x) = −g(x) sağlanır: g(−4) = −g(4) = 5 ve g(−2) = −g(2) = 1;
yani g tek fonksiyondur.
2. yol (grafik): f’nin grafiği y eksenine göre simetrik
olduğu için çift, g’nin grafiği orijine göre simetrik olduğu için tektir.
Tek fonksiyon 0’da sıfırdır. g(−0) = −g(0) yazılırsa g(0) = −g(0) ⇒ 2g(0) = 0 ⇒ g(0) = 0. Yani sıfırda tanımlı her tek fonksiyonun grafiği orijinden geçer.
Hem tek hem çift olan tek fonksiyon her yerde 0 değerini alandır: f(−x) = f(x) ve f(−x) = −f(x) birlikte f(x) = −f(x), yani f(x) = 0 verir.
Aşağıda iki fonksiyonun grafiği veriliyor ve on ayrı özellik isteniyor. Cevapların tamamı aşağıda; sınavda sorulan sıra da genelde budur.
Tanım kümesi: [−3, 6)
Görüntü kümesi: [−4, 5]
Sıfırı: 2
Pozitif olduğu aralık: [−3, 2)
Negatif olduğu aralık: (2, 6)
Artan olduğu aralıklar: [−3, −1] ve [4, 6)
Azalan olduğu aralık: [−1, 4]
Maksimum değeri: 5, x = −1 noktasında
Minimum değeri: −4, x = 4 noktasında
Bire bir mi: a ≠ b iken f(a) = f(b) olan noktalar
bulunduğu için bire bir değildir.
Tanım kümesi: [−7, 6]
Görüntü kümesi: [−2, 5]
Sıfırı: −5
Pozitif olduğu aralık: (−5, 6]
Negatif olduğu aralık: [−7, −5)
Artan olduğu aralık: [−7, 6] — tanım kümesinin tamamı
Azalan olduğu aralık: yoktur
Maksimum değeri: 5, x = 6 noktasında
Minimum değeri: −2, x = −7 noktasında
Bire bir mi: a ≠ b iken g(a) ≠ g(b) olduğundan
bire birdir.
g fonksiyonu tanım kümesinin tamamında artan olduğu için aynı değeri iki kez almaz — bu yüzden bire birdir. f fonksiyonu ise önce artıp sonra azalıp tekrar arttığı için bir maksimum ve bir minimum tepesi taşır; bir tepe varsa bire birlik bozulur. Kısa kural: tanım kümesinin tamamında artan (ya da tamamında azalan) her fonksiyon bire birdir.
“Maksimum değeri kaçtır?” sorusunun cevabı y, “maksimumu nerede alır?” sorusunun cevabı x’tir. Sıcaklık grafiğinde maksimum değer 12, maksimum noktası x = 15.
Değer kümesi soruyla birlikte verilir; görüntü kümesi grafikten okunur. İkisi eşitse fonksiyon örtendir. “Görüntü kümesi nedir?” diye sorulduğunda değer kümesini yazmak en sık yapılan hatadır.
Grafikte içi dolu nokta uç noktanın dâhil, içi boş nokta hariç olduğunu gösterir. Yukarıdaki f fonksiyonunun tanım kümesi [−3, 6) — sağ uç dâhil değil. Aralık yazarken bu ayrım puan kaybettirir.
Bire birlik tanım kümesinden, örtenlik değer kümesinden bakar. f(x) = x² fonksiyonu ℝ’den ℝ’ye ne bire birdir (f(−2) = f(2)) ne örtendir (−4 hiç elde edilmez).
Tek fonksiyon, f(−x) = −f(x) şartını sağlayan fonksiyondur; fonksiyonun değerlerinin tek sayı olmasıyla ilgisi yoktur. Aynı şekilde bir fonksiyon ne tek ne çift olabilir — bu bir eksiklik değildir.
f, [−3, −1] ve [4, 6) aralıklarında artandır ama [−3, −1] ∪ [4, 6) aralığında artandır denmez: iki aralıktan birer nokta alıp karşılaştırdığında kural bozulur. Artanlık her aralık için ayrı ayrı yazılır.
Sorular her açılışta karışıyor; yanlış cevapta gerekçesini de göreceksin.
Pil yüzdesinin saate bağlı grafiği: şarjda artan, kullanımda azalan. Maksimum 100, minimum 0; görüntü kümesi [0, 100]. Aynı yüzdeyi gün içinde birkaç kez gördüğün için fonksiyon bire bir değildir.
Denemelere göre net grafiğin haftalarca artıp bir hafta düşerse o hafta azalan aralıktır. En yüksek netini aldığın hafta maksimum noktası, netin değeri maksimum değerdir.
f(x) = 30 + 20x doğrusal ve artandır; hiçbir yerde azalmaz. Tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [30, ∞). Sıfırı yoktur çünkü ücret hiç 0 olmaz — açılış bedeli her zaman vardır.
Uygulamanın yükseklik-mesafe grafiğinde tepeler ve inişler var. İki farklı mesafede aynı yükseklikten geçtiysen bire bir değil; parkurun en yüksek noktası maksimum, en alçak noktası minimumdur.
Haftalık ekran süresi grafiğinde sınav haftası bir minimum, tatil bir maksimum yapar. “Hangi haftalarda azaldı?” sorusu tam olarak azalan aralığı sorar.
“Bugün sıcaklık kaç saat sıfırın altındaydı?” sorusu, fonksiyonun negatif olduğu aralığın uzunluğudur. Sıfırın altına girip çıktığı saatler fonksiyonun sıfırlarıdır.
Eve olan uzaklığın zamana bağlı grafiği: sabit hızla giderken doğrusal, durakta beklerken yatay. Yatay parça ne artandır ne azalan — o aralıkta fonksiyon sabittir.
Kasadaki paranın aya bağlı grafiği eksiye düşerse fonksiyon negatif demektir; sıfır noktası kasanın tam boşaldığı aydır. Bütçe konuşmasının tamamı işaret incelemesidir.
Dikilen bir fidanın boyunun yıllara bağlı grafiği artan ve bire birdir: aynı boyu iki farklı yılda görmezsin. Bu yüzden “boyu 150 cm olduğunda kaç yaşındaydı?” sorusunun tek bir cevabı vardır.
Fonksiyonların nitel özellikleri testi · fonksiyon olma şartı, tanım-değer-görüntü kümeleri, sıfırlar ve işaret, artan-azalan aralıklar, maksimum-minimum, bire birlik ve örtenlik, tek-çift fonksiyonlar ve çözümlü grafik okumaları
Her x ∈ A için bir ve yalnız bir f(x) ∈ ℝ.
Grafikte: dikey doğru testi — her dikey doğru grafiği
en fazla bir noktada kesmeli.
Tanım kümesi A · Değer kümesi B · Görüntü kümesi f(A) ⊆ B
f(A) = B ⟺ f örtendir.
f(x) = 0 sağlayan x → fonksiyonun sıfırı
Eğri x ekseninin üstünde → pozitif, altında → negatif.
Tanım dışı bölgelere işaret tablosunda “Tanımsız” yazılır.
a > b iken f(a) > f(b) → artan
a > b iken f(a) < f(b) → azalan
f(x) ≤ f(m) → maksimum değer f(m); f(x) ≥ f(n) → minimum değer f(n)
Değer y’de, nokta x’tedir.
Farklı x’ler farklı görüntü → bire bir (yatay doğru testi)
Değer kümesinde açıkta eleman yok → örten
Tamamında artan/azalan olan fonksiyon bire birdir.
f(−x) = f(x) → çift, y eksenine simetrik
g(−x) = −g(x) → tek, orijine simetrik
Tek fonksiyon için g(0) = 0. Bir fonksiyon ne tek ne çift olabilir.
Tanım [−3, 6) · Görüntü [−4, 5] · Sıfır 2
Pozitif [−3, 2) · Negatif (2, 6)
Artan [−3, −1] ve [4, 6) · Azalan [−1, 4]
Maks 5 (x = −1) · Min −4 (x = 4) · Bire bir değil
Tanım [−7, 6] · Görüntü [−2, 5] · Sıfır −5
Pozitif (−5, 6] · Negatif [−7, −5)
Tamamında artan, azalan aralığı yok
Maks 5 (x = 6) · Min −2 (x = −7) · Bire bir
Taksimetre: f(x) = 30 + 20x, tanım [0, ∞), görüntü [30, ∞)
Tanker: f(x) = 600 − 20x, tanım [0, 30], görüntü [0, 600]
Serbest düşme: h(t) = h₀ − ½ · g · t² — doğrusal değil