Bir ok çizmek, iki bilgiyi aynı anda yazmaktır
Bir önceki ünitede kuvvetin ve hızın yön bilgisi gerektirdiğini gördün. Peki bu iki bilgiyi tek bir şekille nasıl yazarız? Cevap yönlü doğru parçası, yani vektör. Okun uzunluğu büyüklüğü, ucu yönü söyler. Bu sayfada iki vektörün ne zaman eşit, ne zaman zıt olduğunu ve bir vektörü reel bir sayı ile çarpınca ne değişip ne değişmediğini adım adım göreceksin.
Vektörel nicelikleri tam ve doğru şekilde ifade edebilmek için bu niceliklerin yön ile büyüklük bilgilerine de ihtiyaç vardır. Örneğin 25 m/s büyüklüğündeki hızla doğrusal yolda hareket eden bir aracın harekete başladıktan 8 s sonraki varış noktasını belirleyebilmek için aracın hızının büyüklüğü ve bunun yanı sıra hangi yöne gittiği bilinmelidir. Bu nedenle hız vektörel bir niceliktir.
Sayıyı biliyoruz: 25 m/s. Süreyi biliyoruz: 8 s. Aracın 200 m yol aldığını da hesaplayabiliriz. Ama nerede olduğunu hâlâ bilemeyiz; çünkü 200 m’nin hangi yöne gidildiği yazılmamıştır.
Vektörel nicelikler, yönlü bir doğru parçası ile gösterilir. Çizimnde d doğrusu üzerindeki vektörde K harfi herhangi bir vektörel niceliği temsil eder; bu amaçla başka küçük veya büyük harfler de kullanılabilir.
Bir fiziksel nicelik K şeklinde tanımlanmışsa K harfinin üzerindeki ok, bu fiziksel niceliğin vektörel olduğunu belirtir. Kuvvet vektörü için F, hız vektörü için v sembolleri kullanılır ve harflerin üzerine ok konur.
Sayfada okları tipografiyle basamadığımız için sembolleri koyu yazıyoruz; defterinde harfin üstüne oku koymayı unutma. Bir sınav sorusunda F ile |F| arasındaki fark, kuvvetin kendisi ile yalnız büyüklüğü arasındaki farktır.
Gösterimdeki B noktasını işaret eden okun yönü vektörel niceliğin yönünü gösterir. K vektörünün yönü A noktasından B noktasına doğrudur.
Vektörel niceliğin büyüklüğü, başka bir deyişle sayı değeridir. K vektörünün büyüklüğü AB uzunluğu kadardır ve |K| ya da K ile gösterilir. Örnekler: F = 30 N, v = 20 m/s.
Aşağıdaki çizimde bir vektörün bütün parçaları etiketli. Ok akışını izle: hareket her zaman başlangıç noktasından bitiş noktasına doğrudur.
Vektörün iki özelliği sayılıyor: yön ve büyüklük. Sınav sorularında bir üçüncü sözcük daha karşına çıkar: doğrultu. İkisi aynı şey değildir ve karıştırılması pahalıya patlar:
Doğrultu, vektörün üzerinde bulunduğu doğrudur — yatay, düşey, kuzey-güney gibi. Yön ise o doğru üzerindeki iki seçenekten biridir — doğu mu batı mı, yukarı mı aşağı mı.
Doğuya bakan bir ok ile batıya bakan bir ok aynı doğrultuda ama zıt yöndedir. 3. etkinliğin amacı da tam olarak “aynı doğrultu üzerinde yer alan farklı vektörlerin yön ve büyüklüklerine yönelik bilimsel çıkarım yapabilme” diye yazılmıştır.
Ünitenin açılış metnine göre vektörler fizik, mühendislik ve matematik disiplinlerinde kullanılır: yapı incelemeleri, mekanik tasarımlar, elektrik ve manyetizma. Bir köprü analiz edilirken köprüye etki eden kuvvetlerin vektörel olarak değerlendirilmesi gerekir; bu, köprünün ayakta durması ve üzerinden geçen araçların güvenliği için önemlidir. Havacılık ve uzay mühendisliğinde roketlerin ve uçakların yönlendirilmesi, yörünge hesaplamaları da vektör kavramını içerir.
Bilgi kutusu: vektörler, modern hâliyle XIX. yüzyılın sonlarında elektromanyetizma yasalarının ifade edilmesi amacıyla kullanılmaya başlanmıştır ve matematiksel işlemlerin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamıştır.
İki veya daha fazla vektörün bazen birbiri ile karşılaştırılması ya da bir vektörün diğer vektör cinsinden ifade edilmesi gerekebilir. Bu işlemleri yapabilmek için eşit vektör, zıt vektör veya reel (gerçek) sayı ile çarpılmış vektör tanımlarından yararlanılır.
Yani bu bölümdeki üç tanım süs değil: bir sonraki ünitede vektörleri toplarken okları yerlerinden oynatacağız ve “oynatınca vektör bozuldu mu” sorusunun cevabı buradaki eşit vektör tanımıdır.
Bir vektör ile başka bir vektörün yönü ve büyüklüğü aynı ise bu iki vektöre eşit vektör denir. Çizimnde A, B ve C vektörleri birbirine eşittir ve bu eşitlik A = B = C şeklinde gösterilir.
Bu durum, vektörün hiçbir özelliği değiştirilmeden bir noktadan başka bir noktaya paralel olarak taşınmasına olanak sağlamaktadır.
Bu cümlenin altını çiz. Bir vektörün nerede durduğu onun kimliğinin parçası değildir; yalnız yönü ve büyüklüğü kimliğidir.
Bir vektör ile başka bir vektörün büyüklüğü aynı olup yönleri ters ise bu iki vektöre zıt vektör denir. Çizimnde D ile E vektörleri zıt vektörlerdir ve bu durum D = −E veya E = −D şeklinde gösterilir.
Zıt vektörlerin büyüklükleri eşittir; değişen tek şey yöndür. Bu yüzden bir vektörün önüne konan eksi işareti “küçültme” değil, “ters çevirme” demektir.
Aşağıdaki panoda düğmelere bas: her düzende iki ok var ve panonun sağı bunların eşit mi, zıt mı, hiçbiri mi olduğunu gerekçesiyle söylüyor. Izgaranın her karesi 1 birim.
| İlişki | Büyüklük | Yön | Doğrultu | Gösterim |
|---|---|---|---|---|
| Eşit vektör | Aynı | Aynı | Aynı | A = B |
| Zıt vektör | Aynı | Ters | Aynı | A = −B |
| Pozitif sayı ile çarpım | Değişebilir | Aynı | Aynı | B = k·A, k > 0 |
| Negatif sayı ile çarpım | Değişebilir | Ters | Aynı | B = k·A, k < 0 |
| İlişkisiz | Farklı olabilir | Farklı olabilir | Farklı | Bir bağıntı yazılamaz |
Son satıra dikkat: iki vektörün doğrultuları farklıysa biri ötekinin reel sayı katı olarak yazılamaz. Reel sayı ile çarpmak vektörü kendi doğrusundan çıkarmaz; yalnız uzatır, kısaltır ya da ters çevirir.
Bir vektör bir reel sayı ile çarpılabilir. Çarpılan sayı 1’den büyük ve pozitif ise vektörün yönü değişmez ancak büyüklüğü artar. Çarpılan sayı 1’den küçük ve pozitif ise vektörün yönü yine değişmez ancak büyüklüğü azalır. Çarpılan sayı negatif ise vektörün yönü öncekine göre zıt yönde olur.
Çizim: A vektörü pozitif 2 ile çarpılırsa 2A, pozitif 1/2 ile çarpılırsa A/2, negatif −1 ile çarpılırsa −A, negatif −3/2 ile çarpılırsa −3A/2 vektörü elde edilir.
Kaydırağı çek: mavi ok sabit A vektörü, turuncu ok k·A. Sayının işareti değişince okun ucunun nasıl ters döndüğüne, büyüklüğü değişince nasıl uzayıp kısaldığına ayrı ayrı bak.
| Vektörün … | Büyüklüğe etkisi | Yöne etkisi | Örnek |
|---|---|---|---|
| 1’den büyük reel sayı ile çarpılması | Büyüklüğünün artmasına neden olur. | Yönünü değiştirmez. | 2A |
| 0 ile 1 arası reel sayı ile çarpılması | Büyüklüğünün azalmasına neden olur. | Yönünü değiştirmez. | A/2 |
| −1 ile 0 arası reel sayı ile çarpılması | Büyüklüğünün azalmasına neden olur. | Yönünü değiştirir. | −A/2 |
| −1’den küçük reel sayı ile çarpılması | Büyüklüğünün artmasına neden olur. | Yönünü değiştirir. | −3A/2 |
Tabloyu ezberlemek yerine iki soruya böl: işaret ne? (yön için) ve mutlak değeri 1’den büyük mü? (büyüklük için). Bu iki soru dört satırın tamamını üretir.
Kontrol noktası dört aralık veriyor ama aralıkların sınırlarını yazmıyor. Sayfaya eklenen üç değer şunlardır; üçü de doğrudan tanımdan çıkar:
k = 1 → 1·A = A. Ne büyüklük ne yön değişir; vektör kendisine
eşittir.
k = −1 → (−1)·A = −A. Büyüklük aynı kalır, yalnız yön ters döner. Yani
−1 ile çarpmak, zıt vektörü elde etmektir — çizimde de −A tam
olarak A’nın zıt vektörüdür.
k = 0 → 0·A. Büyüklüğü sıfır olan sıfır vektörü elde edilir; boyu
olmadığı için bir yönü de yoktur.
k = −1 satırı sınavda çok işe yarar: “A ile B zıt vektördür” demekle “B = −A’dır” demek aynı cümledir.
Eşit bölmelendirilmiş düzlemde verilen bir A vektörü için dört çizim istiyor: a) A’ya eşit bir vektör, b) A’ya zıt bir vektör, c) 3A/2 vektörü, ç) −2A vektörü.
Dördünü de yukarıdaki kaydıraklı panodan okuyabilirsin: eşit için k = 1, zıt için k = −1, üçüncüsü için k = 1,5, dördüncüsü için k = −2. Not: A’ya eşit bir vektörü başka bir yere çizmen serbesttir — eşit vektör paralel taşınabilir.
Eşit bölmelendirilmiş düzlemde A batı yönünde 2 birim, B batı yönünde 2 birim, C doğu yönünde 4 birim, D doğu yönünde 2 birimdir.
a) A vektörüne eşit olan vektör hangisidir?
Bir vektörün başka bir vektöre eşit olabilmesi için iki vektörün yönü ve büyüklüğü aynı
olmalıdır. A vektörü batı yönünde 2 birim uzunluğunda olduğu için eşit olan vektör de batı
yönünde 2 birim uzunlukta olmalıdır. A vektörüne eşit olan vektör B vektörüdür.
b) A vektörüne zıt olan vektör hangisidir?
Bir vektörün başka bir vektöre zıt olabilmesi için büyüklüğü aynı ve yönü zıt olmalıdır.
A vektörü batı yönünde 2 birim uzunluğunda olduğu için zıt olan vektör de doğu yönünde
2 birim uzunlukta olmalıdır. A vektörüne zıt olan vektör D vektörüdür.
c) A vektörü C vektörü cinsinden nasıl yazılabilir?
A vektörü batı yönünde 2 birim uzunluğunda ve C vektörü doğu yönünde 4 birim
uzunluğundadır. C vektörünün yönü A vektörü ile ters, büyüklüğü ise A vektörünün
büyüklüğünün 2 katıdır. Bu nedenle C = −2A veya A = −C/2 şeklinde ifade edilir.
Yukarıdaki dört vektör için her hücreye tıkla (boş → ✓ → ✗ → boş), sonra “Denetle”ye bas. Her satırda tam bir hücre doğrudur.
Yatay zeminde durmakta olan bir koliye F1, F2, F3, F4, F5 ve F6 kuvvetleri yatay zemine paralel olarak ve aynı anda etki etmektedir:
F1 = 20 N · F2 = 10 N · F3 = 10 N · F4 = 20 N · F5 = 20 N · F6 = 10 N
Üç şey sorulur: a) birbirine eşit olan kuvvetler, b) birbirine zıt olan kuvvetler, c) F2, F3, F4, F5 ve F6 kuvvetlerinin F1 cinsinden yazılışı.
Dikkat — bu soruyu yalnız sayılarla çözemezsin. Kuvvetlerin yönleri yalnız görselde verilir; sayfada yönleri uydurup sana yanlış bir cevap anahtarı vermiyoruz. Ama sorunun mantığı şudur ve onu şimdiden kurabilirsin: 20 N’luk üç kuvvet (F1, F4, F5) ancak yönleri de aynıysa birbirine eşittir; yönü F1’e ters olan bir 20 N’luk kuvvet F1’e zıttır ve −F1 diye yazılır. 10 N’luk kuvvetler ise F1’in yarısı büyüklüğündedir; yönü aynı olan F1/2, ters olan −F1/2 olarak yazılır.
| Öğrencinin yaptığı | Neden yanlış | Doğrusu |
|---|---|---|
| “F1 = 20 N, F4 = 20 N, öyleyse F1 = F4.” | Yalnız büyüklükler karşılaştırılmış, yön hiç sorulmamış. | Yönleri de aynıysa eşit, tersse zıt (F4 = −F1). |
| “−A, A’dan küçüktür.” | Eksi işareti büyüklüğe değil yöne etki eder. | |−A| = |A|. Boy aynı, ok ters. |
| “Vektörü yerinden oynatırsam değişir.” | Vektörün kimliği yön + büyüklüktür, konumu değil. | Paralel taşınan vektör kendisine eşittir. |
| “A ile B farklı doğrultuda; B = 2A yazayım.” | Reel sayı ile çarpmak doğrultuyu değiştirmez. | Farklı doğrultudaki iki vektör arasında böyle bir bağıntı yazılamaz. |
| “k = 0,5 negatif değil ama vektörü ters çevirir.” | Yönü çeviren işarettir, 1’den küçük olmak değil. | 0 < k < 1: yön aynı, boy kısalır. |
Antrenör Ceyda; Cihan, Sudem, Hülya, Birol ve Şule’ye beş kulvarlı pistte doğrusal koşular veriyor. Cihan I. kulvarda C’den C1’e, Sudem II. kulvarda S’den S1’e, Hülya III. kulvarda H’den H1’e, Birol IV. kulvarda B’den B1’e, Şule V. kulvarda Ş’den Ş1’e koşacak. Kulvardaki yatay her aralık 50 m. Her koşu bir vektörle gösteriliyor.
Koşucuların başlangıç ve bitiş noktalarını yalnız görselde veriyor. Aşağıdaki panodaki noktalar bu yüzden sayfaya aittir; beş sorunun hepsi bu düzenle cevaplanabilsin diye seçildi. Düğmelerle koşucuları gez.
| Soru | Cevap | Gerekçe |
|---|---|---|
| 2. Hangi sporcular için çizilen vektörler eşittir? | Cihan ve Hülya | İkisi de doğu yönünde 150 m; yön ve büyüklük aynı. |
| 3. Cihan ile Sudem’in vektörleri arasındaki ilişki? | Zıt vektör | Büyüklükleri eşit (150 m), yönleri ters. Sudem = −Cihan. |
| 4. Sudem ile Şule’nin vektörleri büyüklük açısından? | Sudem = 1,5 · Şule | Aynı yönde (batı); 150 m ile 100 m. Pozitif sayı katı. |
| 5. Şule ile Birol’un vektörleri nasıl eşit olur? | Yönlerden biri çevrilmeli | Büyüklükleri zaten eşit (100 m) ama yönleri ters — şu an zıt vektörler. Antrenör Birol’u batıya ya da Şule’yi doğuya koşturursa eşit olurlar. |
5. soru bu ünitenin özeti gibidir: eşitliğe bir adım kalmış iki vektör vardır ve eksik olan tek şey yöndür.
Değerlendirme sorusu şuydu: “Eşit vektör, zıt vektör veya reel sayı ile çarpılmış vektörün günlük hayatta kullanıldığı bir örnek yazınız.” Aşağıdaki dokuz sahne bu sorunun dokuz ayrı cevabı.
Sen sınıfa doğru 10 adım yürürken arkadaşın kantine doğru 10 adım yürüyor. İki hareket zıt vektör: büyüklükler eşit, yönler ters. Beş saniye sonra aranızda 20 adımlık bir mesafe olması bundandır.
Yürüyen merdivende hareketsiz durursan hızın merdivenin hızına eşittir. Aynı yönde yürümeye başlarsan hızın 1’den büyük bir sayı ile çarpılmış gibi büyür; ters yöne yürürsen yön ters döner ve merdiveni yenmeye çalışırsın.
Antrenör “ikiniz de aynı hızla sağ kanada açılın” dediğinde iki oyuncunun hız vektörünün eşit olmasını istiyordur. Biriniz sola açılırsa vektörler zıt olur ve pas hattı kapanır.
Yukarı ok ile aşağı ok aynı asansör kuyusunda, aynı doğrultuda ama zıt yöndedir. İki tuş aynı uzunlukta ok çizer; ok uçlarının yönü işi belirler. Kabin hangi tuşa basıldığını değil, hangi yönün istendiğini bilir.
Haritayı yakınlaştırdığında ekrandaki “200 m” ölçek çubuğu uzar ama gerçek mesafe değişmez. Çizim reel sayı ile çarpılmıştır: yön ve doğrultu aynı, yalnız çizim boyu ölçeğe göre büyümüştür.
Sırayı arkadaşınla aynı yöne aynı kuvvetle ittiğinizde iki kuvvet eşit vektördür. Sen itip o çekerse — ikiniz de aynı büyüklükte — kuvvetler zıt olur, sıra yerinde durur.
Pistin aynı düzlüğünde iki tur atarsan, iki turdaki koşu vektörün eşittir: farklı zamanlarda ve farklı yerlerde yapılmış olması onları farklı yapmaz. Vektörün kimliği yön ve büyüklüktür, ne zaman ve nerede değil.
Çantayı yukarı çekerken uyguladığın kuvvet ile çantanın ağırlığı zıt yönlüdür. Çanta havada asılı kalıyorsa büyüklükler de eşittir, yani ikisi zıt vektördür. Biraz daha kuvvet uygularsan çanta yükselmeye başlar.
Bir oyunda hız artışı veren bir eşya aldığında karakterin hız vektörü 2 ile çarpılmış gibi davranır: gittiğin yön aynı kalır, yalnız daha uzun mesafe alırsın. Ters yöne fırlatan bir tuzak ise negatif sayı ile çarpar.
Rastgele bir vektör ikilisi ya da bir kural gelir; doğru ilişkiyi seçersin. Yanlış cevapta gerekçe hemen görünür.
Vektörün gösterimi, eşit ve zıt vektör, reel sayı ile çarpılmış vektör ve doğrultu-yön ayrımı üzerine test
Vektörel nicelikler, yönlü bir doğru parçası ile gösterilir. Harfin üzerindeki ok
niceliğin vektörel olduğunu belirtir: kuvvet için F, hız için v.
Yön: okun işaret ettiği nokta belirler (A’dan B’ye).
Büyüklük: okun uzunluğu; |K| ya da K ile yazılır. Örnekler:
F = 30 N, v = 20 m/s.
Bir vektör ile başka bir vektörün yönü ve büyüklüğü aynı ise bu iki vektöre eşit
vektör denir (A = B = C).
Bu durum, vektörün hiçbir özelliği değiştirilmeden bir noktadan başka bir noktaya
paralel olarak taşınmasına olanak sağlamaktadır. Konum vektörün kimliğine dâhil
değildir.
Bir vektör ile başka bir vektörün büyüklüğü aynı olup yönleri ters ise bu iki vektöre
zıt vektör denir: D = −E veya E = −D.
Eksi işareti küçültmez, ters çevirir: |−A| = |A|.
Eklenen bağ: zıt vektör, vektörün −1 ile çarpılmış hâlidir.
1’den büyük ve pozitif: yön değişmez, büyüklük artar (2A).
1’den küçük ve pozitif: yön değişmez, büyüklük azalır (A/2).
Negatif: yön öncekine göre zıt olur (−A, −3A/2).
Kontrol noktası dört aralık verir: k > 1 artar-aynı yön · 0 < k < 1
azalır-aynı yön · −1 < k < 0 azalır-yön değişir · k < −1
artar-yön değişir.
Eklenen sınırlar: k = 1 → A · k = −1 → zıt vektör · k = 0 → sıfır vektörü.
A: batı 2 birim · B: batı 2 birim · C: doğu 4 birim · D: doğu 2 birim.
A’ya eşit olan: B (aynı yön, aynı büyüklük).
A’ya zıt olan: D (aynı büyüklük, ters yön).
C = −2A veya A = −C/2.
7. alıştırma: F1 = 20 N · F2 = 10 N · F3 = 10 N · F4 = 20 N · F5 = 20 N ·
F6 = 10 N. Yönler görselde verildiği için eşitlik/zıtlık yalnız sayıya bakarak
söylenemez.
Doğrultu: vektörün üzerinde bulunduğu doğru (yatay, düşey, kuzey-güney).
Yön: o doğru üzerindeki iki seçenekten biri (doğu ya da batı).
Büyüklük: okun boyu; hiçbir zaman negatif olamaz.
Reel sayı ile çarpmak doğrultuyu asla değiştirmez. Farklı doğrultudaki iki vektör
arasında B = k·A bağıntısı yazılamaz.
Cihan doğu 150 m · Hülya doğu 150 m · Sudem batı 150 m · Birol doğu 100 m ·
Şule batı 100 m.
Cihan = Hülya (eşit) · Sudem = −Cihan (zıt) ·
Sudem = 1,5 · Şule (aynı yön, pozitif kat) · Birol = −Şule (zıt).
Şule ile Birol’un eşit olması için yalnız bir yönün çevrilmesi yeterlidir.
Eşit büyüklük, eşit vektör demek değildir. 20 N ile 20 N iki kuvvet, yönleri de
aynıysa eşittir; yönleri tersse zıttır.
Bir sonraki ünitede bu bilgiye ihtiyacın olacak: vektörleri toplarken okları yerlerinden
taşıyacağız ve bunu yapabilmemizin tek gerekçesi paralel taşınan vektörün kendisine
eşit olmasıdır.