9. SINIF FİZİK · ÜNİTE 8 · VEKTÖRLERİN TOPLANMASI VE TOPLAMA YÖNTEMLERİ

Nicelikler arasında toplama işleminin yapılabilmesi için öncelikli olarak toplanacak niceliklerin ölçü birimlerinin aynı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Toplanacak niceliklerin ölçü birimleri aynı değilse istenen ölçü birimine dönüşüm yapılarak toplama işlemi gerçekleştirilir.

Örnek: 2 kg ile 700 g toplanırken sonuç kg cinsinden isteniyorsa 700 g = 0,7 kg dönüşümü yapılır ve toplam 2,7 kg olarak ifade edilir.

Yani toplamaya başlamadan önce sorulacak ilk soru “hangi yöntem” değil, “birimler aynı mı”dır.

Benzer şekilde vektörel niceliklerden kuvvet vektörü ile kuvvet vektörü, hız vektörü ile hız vektörü toplanabilir fakat hız vektörü ile kuvvet vektörü toplanamaz.

Örneğin belli bir yönde hareket eden bir uçak, farklı bir yönde rüzgâra maruz kaldığında istikametinden farklı bir yöne doğru hareket eder. Uçağın o andaki hızını bulmak için motorunun sağladığı hız ile rüzgârın sürükleme hızını toplamak gerekir. Uçak motorunun ve rüzgârın uçağa uyguladığı itme kuvvetleri de toplanarak uçağa etki eden toplam kuvvet bulunabilir ancak uçağın hızı ile rüzgârın uçağa uyguladığı kuvvet toplanamaz.

Dikkat: aynı olayda iki ayrı toplama yapılabiliyor — hızlar kendi arasında, kuvvetler kendi arasında. Yasak olan, ikisini birbirine karıştırmak.

İki veya daha fazla vektörel niceliğin yaptığı etkiyi tek başına yapabilen vektöre bileşke vektör denir.

Bileşke vektör R veya toplanan vektörler A ve B vektörleri ise R(A,B) şeklinde de gösterilebilir. Bileşke vektörü bulmak için vektörlerin toplanması gerekir. Vektörlerin toplanması farklı yöntemlerle yapılabilir.

Tanımdaki “tek başına” sözcüğü kilit. Bileşke, öteki vektörlerin yanına eklenen bir vektör değildir; onların yerine geçen vektördür. Bir çizimde hem A’yı, hem B’yi, hem de R’yi “etki eden kuvvetler” diye saymak en sık yapılan hatadır.

Bileşkenin büyüklüğü için bir sınır verilmiyor. Aşağıdaki iki sınır sayfaya eklendi ve ikisi de kesin doğrudur; sınavda saniyeler kazandırır:

En büyük değer: iki vektör aynı yönde ise bileşkenin büyüklüğü |A| + |B| olur.
En küçük değer: iki vektör zıt yönde ise bileşkenin büyüklüğü |A| − |B|’nin mutlak değeri kadar olur.
Aradaki bütün açılarda bileşke bu iki sayının arasında bir değer alır.

Örnek: 3 birim ile 4 birimlik iki vektörün bileşkesi en çok 7, en az 1 birimdir. Bir soruda “bileşke 9 birim” deniyorsa soru kendi kendisiyle çelişiyordur.

Üçgen yöntemi olarak da ifade edilen bu yöntemde bir vektör diğer vektörün bitiş noktasına taşınır. Taşıma işlemi yapılırken vektörün yönü ve büyüklüğü değiştirilmez. Uç uca ekleme yöntemi iki veya daha fazla sayıda vektörün toplanmasında kullanılabilir.

a) B vektörü yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden A vektörünün bitiş noktasına taşınır.
b) A vektörünün başlangıç noktasından B vektörünün bitiş noktasına yönlü bir doğru parçası çizilir.
c) Yönlü doğru parçası bileşke vektör (R) olarak işaretlenir. Bileşke vektör R = A + B’ye eşittir.

Vektörü “taşımak” serbesttir çünkü bir önceki ünitede öğrendiğin gibi paralel taşınan vektör kendisine eşittir. Taşırken yönü ya da boyu bozarsan yöntem çöker.

Vektörlerin toplanmasında elde edilen sonuç, toplama sırasından bağımsızdır. Başka bir ifadeyle A ve B vektörlerinin toplanması sonucu elde edilen bileşke vektör, değişme özelliği kullanılarak R = A + B ise R = B + A şeklinde bulunur.

Sayfaya eklenen not: ikiden çok vektör varken de gruplama serbesttir — önce A ile B’yi, sonra sonuca C’yi eklemekle önce B ile C’yi, sonra sonuca A’yı eklemek aynı bileşkeyi verir. Paralelkenar bölümünde “önce içlerinden ikisi seçilerek toplanır, sonra bileşkeye diğer vektör eklenir” denmesinin işleyebilmesi zaten buna bağlıdır.

Soru: Aynı düzlemde verilen A, B ve C vektörlerinin toplamını uç uca ekleme yöntemi ile bulunuz.

Çözüm: Uç uca eklenecek vektörlerin sırası A, B ve C vektörleri şeklinde seçilmişse A vektörünün bittiği yere B vektörü, B vektörünün bittiği yere C vektörü yönleri ve büyüklükleri değiştirilmeden taşınır. Burada toplamada kullanılan ilk vektör A vektörü ve son vektör C vektörü olarak belirlenmiş olur. Daha sonra A vektörünün başlangıç noktasından C vektörünün bitiş noktasına yönlü bir doğru parçası çizilir. Böylelikle bileşke vektör uç uca ekleme yöntemi ile R = A + B + C şeklinde elde edilir.

Kaç vektör olursa olsun kural aynı: ilk okun başından son okun ucuna. Aradaki bütün oklar zincirin halkalarıdır; bileşke yalnız zincirin iki ucunu birleştirir.

Soru: Eşit bölmelendirilmiş düzlem üzerinde A, B, C, D, E ve F vektörleri verilmiştir. Uç uca ekleme yöntemi kullanılarak bu vektörlerden elde edilecek bileşke vektör, verilen vektörlerden hangisi ile ifade edilebilir?

Çözüm: Bileşke vektör, R = A + B + C + D + E + F işlemi yapılarak bulunur. Düzlem üzerinde A, B ve C vektörleri uç uca eklenmiş durumdadır. Bu vektörlerden elde edilen bileşke vektör R(A,B,C), F vektörüne eşittir. Düzlem üzerinde D ve E vektörleri de uç uca eklenmiş durumdadır. Bu vektörlerden elde edilen bileşke vektör R(D,E), F vektörüne eşittir. Bu durumda R bileşke vektörü R = F + F + F = 3F şeklinde ifade edilir.

Bu örneğin öğrettiği numara şu: zaten uç uca eklenmiş duran grupları önce sadeleştir. Altı oku tek tek toplamak yerine iki grubu tek okla değiştirdik ve işlem üç terime indi.

İki vektörün toplanmasında kullanılan diğer bir yöntem paralelkenar yöntemidir. Toplanacak vektörlerin sayısı ikiden fazla ise önce içlerinden ikisi seçilerek paralelkenar yöntemiyle toplanır. Seçilen vektörlerin toplanmasından bir bileşke vektör elde edilir. Bu bileşke vektöre seçilmeyen diğer vektör eklenerek toplama işlemine devam edilir. Bu süreç, tüm vektörler işleme dâhil edilene kadar devam eder ve sonucunda tüm vektörlerin bileşke vektörü bulunur.

a) A ve B vektörlerinin yönleri ve büyüklükleri değiştirilmeden başlangıç noktaları aynı noktaya getirilir.
b) A vektörünün bittiği noktadan B vektörüne paralel bir doğru çizilir. Benzer şekilde B vektörünün bittiği noktadan A vektörüne paralel bir doğru çizilir.
c) A ve B vektörlerinin başlangıç noktasından çizilen paralellerin kesişme noktasına yönlü bir doğru çizilir.
ç) Yönlü doğru parçası bileşke vektör (R) olarak işaretlenir. Bileşke vektör R = A + B’ye eşittir.

Dikkat: paralelkenar yöntemi bir seferde yalnız iki vektörü toplar. Üç vektör varsa iki tur, dört vektör varsa üç tur gerekir. Uç uca ekleme ise hepsini tek zincirde toplayabilir — iki yöntemin asıl pratik farkı budur.

Yatay zemin üzerinde sabitlenmiş kancaya F1 ve F2 kuvvetleri uygulanarak kancanın hareket etmesi istenmektedir. Kancaya uygulanan kuvvetler aynı düzlemde olduğuna göre kancanın hareket yönünü ve uygulanan kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğünü paralelkenar yöntemini kullanarak gösteriniz.

Kuvvetlerin büyüklükleri ve açıları yalnız görselde veriyor, bu yüzden sayfada bir sayı uydurmuyoruz. Ama yöntemin cevabı her durumda aynıdır: iki kuvvetin başlangıç noktaları kancada birleştirilir, paralelkenar tamamlanır ve kanca köşegen doğrultusunda, köşegenin ok yönünde hareket eder. Bileşkenin büyüklüğü köşegenin uzunluğudur.

Her satırda bir hücreye tıkla (boş → ✓ → ✗ → boş), sonra “Denetle”ye bas. Cevaplar ders kitabının kendi metninden çıkarılmıştır; çalışma yaprağında boş bırakılmıştır.

a maddesindeki “daima” sözcüğü tuzaktır. Bileşke bazen verilen vektörlerden birine eşit olabilir — altı vektörlü örneğinde R(A,B,C) tam olarak F vektörüne eşit çıkmıştı. Ama daima değil.

Aşağıdaki eşleştirme panosunda düğmelerle her ifadeyi seç; hangi yöntemi tarif ettiği vurgulanır.

Vektörler bir, iki veya üç boyutlu düzlemde incelenebilir. İki boyutta bulunan vektörler için yapılan hesaplamalar, bir boyutta bulunan vektörler için yapılan hesaplamalardan daha karmaşıktır. Bu sebeple hesaplamaları basitleştirmek ve doğru sonuçlar elde etmek için iki boyutta bulunan bir vektör bileşenlerine ayrılabilir.

Bir vektörün koordinat sisteminin eksenleri üzerindeki iz düşümünün her birine bileşen denir.

A vektörünün bileşenleri, A vektörünün eksenler üzerindeki iz düşümüne karşılık gelen ve vektörel toplamları A vektörüne eşit olan vektörlerdir. Bu vektörün iz düşümü, x ekseninde Ax bileşeni ve y ekseni üzerinde Ay bileşeni olarak gösterilir.

Bu bölümün mantığı ters yönde çalışır: önceki iki yöntem iki oku bir oka indiriyordu, bu yöntem bir oku iki oka bölüyor. Sebebi de tanımın içinde yazılı — eğik hesaplar zordur, yatay ve düşey hesaplar kolaydır.

a) A vektörünün başlangıç noktası, kartezyen koordinat sisteminin merkezine getirilir.
b) A vektörünün bitiş noktasından eksenlere paralel doğrular çizilerek düzgün paralelkenar şekli oluşturulur.
c) Koordinat sisteminin orijininden paralel çizginin x eksenini kestiği noktaya kadar yönlü bir doğru çizilir ve bu doğru Ax bileşeni olarak işaretlenir. Benzer şekilde orijinden paralel çizginin y eksenini kestiği noktaya kadar yönlü bir doğru çizilir ve bu doğru Ay bileşeni olarak işaretlenir.

Dik kartezyen koordinat sistemi: koordinat eksenleri birbirine dik olan sisteme dik kartezyen koordinat sistemi denir. Bir cismin bulunduğu yeri tanımlamak için kullanılır. Eksenlerin kesiştiği nokta orijin olarak adlandırılır ve “O” harfi ile gösterilir; bir A cisminin yeri A (x, y, z) şeklinde işaretlenir.

Soru: Kenar uzunlukları 1 birim olan eşit bölmelendirilmiş düzlemde verilen A vektörünün bileşenlerini x-y düzlemi üzerinde çiziniz. Bileşenlerin yönlerini ve büyüklüklerini yazınız.

Çözüm: A vektörünün başlangıç noktasına x-y koordinat sistemi çizilir. A vektörünün bitiş noktasından x ve y eksenlerine paralel doğrular çizilir. Koordinat sisteminin başlangıç noktasından çizilen paralellere kadar vektör çizilir. Bu şekilde A vektörünün x ve y eksenlerindeki bileşenleri Ax ve Ay bulunur. Bu durumda “Ax, −x ve Ay, +y yönündedir.” sonucuna varılır. Birim uzunluktan yararlanılarak Ax ve Ay bileşenleri 3 birim olarak ölçülür.

Bileşenlerin yönü de yazılıyor, sadece büyüklüğü değil: Ax, −x yönünde 3 birim; Ay, +y yönünde 3 birim. Bileşen de bir vektördür, işaretini yazmayı unutma.

Vektörler uç uca ekleme veya paralelkenar yöntemleri kullanılarak toplanabildiği gibi bileşenlerine ayrılarak da toplanabilir.

a) A ve B vektörlerinin bitiş noktalarından x eksenine ve y eksenine dik doğrular çizilir; x ve y eksenleri üzerindeki bileşenler işaretlenir.
b) Aynı eksen üzerindeki bileşenler kendi aralarında toplanır. x ekseni üzerinde elde edilen bileşen Rx, y ekseni üzerinde elde edilen bileşen Ry olarak işaretlenir.
c) Rx ve Ry bileşenleri birbiri ile paralelkenar yöntemiyle toplanarak bileşke vektör elde edilir.

Üçüncü adım önemli: bu yöntem paralelkenar yönteminin yerine geçmiyor, sonunda ona başvuruyor. Farkı şu ki, artık toplanacak iki vektör birbirine dik — bu, en kolay paralelkenar durumudur.

Soru: Eşit bölmelendirilmiş düzlem üzerinde K ve L vektörleri verilmiştir. a) K ve L vektörlerini dik kartezyen koordinat sistemine taşıyıp bileşenlerine ayırınız. b) K − L vektörünü bulunuz.

Çözüm (a): K ve L vektörlerinin başlangıç noktaları yön ve büyüklükler değiştirilmeden dik kartezyen koordinat sisteminin orijini olan O noktasına taşınır. K ve L vektörlerinin uçlarından x ve y eksenlerine paraleller çizilir. Koordinat sisteminin başlangıç noktasından çizilen paralel çizgilerin eksenleri kestiği noktaya kadar ayrı ayrı vektörler çizilir. Böylece bu vektörlerin x ve y eksenlerindeki bileşenleri elde edilir.

Çözüm (b): Lx ve Ly bileşenlerinin yönleri ters alınarak L vektörüne zıt vektör olan −L vektörü elde edilir. x eksenindeki Kx ve −Lx bileşenleri kendi arasında, y eksenindeki Ky ve −Ly bileşenleri kendi arasında toplanarak Kx − Lx = 3 ve Ky − Ly = 4 sonucu bulunur.

Sayfaya eklenen adım: ders kitabı burada duruyor ve bileşke vektörün büyüklüğünü yazmıyor. Oysa bileşenler bulunduktan sonra büyüklük tek satırda çıkar: bileşenler 3 ve 4 birim ve birbirine dik olduğu için K − L vektörünün büyüklüğü, kenarları 3 ve 4 olan dik üçgenin hipotenüsü kadar, yani 5 birimdir. Bu, matematikte gördüğün Pisagor bağıntısıdır.

Genel kural (sayfaya eklendi): bileşenleri Ax ve Ay olan bir vektörün büyüklüğü, kenarları |Ax| ve |Ay| olan dik üçgenin hipotenüsüne eşittir. Çözümlü örnekteki 3-3 bileşenli A vektöründe bu, kenarları 3 ve 3 olan bir dik üçgenin hipotenüsü demektir.

Evinden okuluna en kısa yoldan giden bir öğrencinin izlediği güzergâh, x-y kartezyen koordinat sisteminin kullanıldığı ve kenar uzunlukları 1 birim olan eşit bölmelendirilmiş düzlem üzerinde verilmiştir. Öğrenci, evinden okuluna yalnızca x ve y eksenlerini kullanarak kaç birim ve hangi yönde hareket ederek ulaşabilir?

Evin ve okulun koordinatları yalnız görselde veriyor. Ama sorunun yöntemi nettir ve bu ünitenin özetidir: ev ile okulu birleştiren eğik yer değiştirme vektörü bileşenlerine ayrılır; öğrenci önce x ekseni boyunca Ax kadar, sonra y ekseni boyunca Ay kadar yürürse aynı noktaya varır. Çünkü bileşenlerin bileşkesi vektörün kendisidir — çalışma yaprağının d maddesi de bunu söylüyordu.

Rastgele bir tanım, bir adım ya da bir hesap gelir; doğru cevabı seçersin. Yanlışta gerekçe hemen görünür.