Ölçemediğini
hesapla.
Şu kural geçerli: eşlik ve benzerlik koşulları ile bu koşullardan ispatlanan teoremler
“bir binanın yüksekliğinin bulunması, bir nehrin genişliğinin
hesaplanması, haritaların ölçeklendirilmesi” gibi problemlerin çözümünde kullanılır.
Bu ünitede yeni bir teorem yok — 17-20’de öğrendiklerin
gerçek problemlerle karşılaşıyor: bir ayna, bir gölge, bir stor perde ve bir tahterevalli.
Kontrol Noktası’ndaki üç madde, bu ünitedeki her problemin iskeletini veriyor:
· Öncelikle problemin sayısal ve görsel verileri ile ulaşılmak
istenen sonuçlar arasındaki ilişkiler belirlenir.
· Eş ya da benzer üçgenler; bu ilişkilerden yararlanılarak, eşlik ve
benzerlik koşulları ile bu koşullardan hareketle ispatlanan teoremler kullanılarak belirlenir ve
problemin çözümü için gereken strateji oluşturulur.
· Problem farklı yollarla çözülür ve çözümler karşılaştırılır.
1) Modelle. Metindeki her uzunluğu bir doğru parçasıyla,
her diklik/paralellik bilgisini şekle bir işaretle geçir. 31. örnekteki
“tepe TBD ikizkenar üçgeni, göz hizası [KL], yükseklik [TH]” cümlesi tam olarak bu adım.
2) Benzer üçgen çiftini bul. Genellikle biri
ölçebildiğin, öteki ölçemediğin
üçgendir. Aralarındaki bağı kuran şey ışın, gölge, ayna ya da bir paralel doğru olur.
3) Eşleşmeyi yaz. “ABC ∼ DEF” yazarken köşe sırasına dikkat;
orantı buradan kurulur.
4) Tek bilinmeyenli denklem kur ve çöz.
5) Birimi ve mantığı denetle. Metrede mi santimde mi
çalıştın? Çıkan sayı gerçekçi mi?
Ünite pinhole (iğne deliği) ve
camera obscura (karanlık kutu) düzeneğiyle başlıyor:
“günümüzde fotoğraf makinesinin en eski ve ilkel formu kabul
edilir”.
İşleyişi: ışık geçirmez kutunun bir yüzeyine küçük bir delik açılır; dışarıdaki nesneden
yansıyan ışık delikten geçerek karşı yüzeye düşer ve orada nesnenin
baş aşağı bir görüntüsü oluşur.
Delikte kesişen iki ışın kum saati benzerliği kurar:
nesnenin boyu h, görüntünün boyu h′, deliğe uzaklıklar p ve r ise
h′ / h = r / p.
Yani kutuyu uzatırsan görüntü büyür, nesneden uzaklaşırsan
küçülür. Bugünkü fotoğraf makinesinin “odak uzaklığı” dediği şey de aynı orantının adı.
Bu ünitedeki bütün problemler dört araçtan biriyle çözülüyor:
· A.A benzerliği — paralellik, diklik ya da eşit açı varsa.
(Gölge, ayna, lamba, stor perde, lazer.)
· Eşlik ölçütleri — bir şekil kendi kopyalarından kuruluysa.
(Çiçek deseni.)
· Öklid bağıntıları — dik açı ve hipotenüse inen bir yükseklik
varsa. (Abide, gözlem kulesi, Gonca’nın cetveli.)
· Pisagor — iki dik kenar biliniyorsa. (Tepenin yamacı,
tahterevallinin kolu.)
Ayırt edici soru: şekilde
dik açı ve o dik açıdan inen bir yükseklik var mı? Varsa
Öklid, yoksa A.A benzerliği.
31. örnek bir dağcılık kulübünün planlama problemi. Kullanılan fiziksel bilgi tek:
bir nesneden yansıyan ışık ışınının aynayla yaptığı açının ölçüsü ile
göze yansıyan ışının aynayla yaptığı açının ölçüsü eşittir.
Bu eşitlik iki dik üçgende ikinci bir açı eşitliği sağlar ve
A.A benzerliğini açar.
Verilenler: tepenin doğu ve batı yamaçlarının yere değdiği noktalar arası
|BD| = 1350 m ve bu noktaların zirveye uzaklıkları
eşit (yani TBD ikizkenar). Doğu yamacının Hakan’a uzaklığı
|DL| = 527 m, ayna Hakan’dan
|AL| = 2 m uzağa konmuş, göz hizası
|KL| = 150 cm = 1,5 m.
Adım 1: |DA| = 527 − 2 = 525 m.
Adım 2: TBD ikizkenar olduğundan [TH] yüksekliği aynı zamanda
kenarortay ⇒ |BH| = |HD| = 675 m.
Adım 3: |HA| = 675 + 525 = 1200 m.
Yansıma kuralından m(TAD) = m(KAL); ayrıca m(THA) = m(KLA) = 90° ⇒
THA ∼ KLA (A.A).
|TH| / |KL| = |HA| / |LA| ⇒
|TH| / 1,5 = 1200 / 2 ⇒
|TH| = 900 m.
Yamaç noktasından zirveye kadar doğrusal bir yol yürüneceği kabul edilirse yolun uzunluğu
|TD| olur.
THD dik üçgeninde Pisagor:
|TD|² = |TH|² + |HD|²
|TD|² = 900² + 675² = 810 000 + 455 625 =
1 265 625
|TD| = 1125 m.
Kısayol: 675 = 3 · 225 ve 900 = 4 · 225 ⇒ bu bir
3-4-5 üçgeni! Hipotenüs 5 · 225 =
1125. Kök almadan bir satırda.
Uyarı: göz hizası
santimetre (150 cm), öteki bütün uzunluklar
metre cinsinden verilmiş. Orantıyı kurmadan önce
birimi eşitle — çözümde de bu ayrıca yazılı.
Aşağıdaki üç problemin üçünde de aynı şekil var: bir dik açı ve dik köşeden hipotenüse inen bir yükseklik. Şekli tanıdığın anda h² = p · k yazıp geçebilirsin.
Arda, Çanakkale Şehitler Abidesi’nin boyunu ölçmek için elindeki kitabı, abidenin
üst ve alt noktası kitabın uzun ve kısa kenarıyla aynı hizaya
gelecek şekilde gözüne yaklaştırıyor. Kitabın köşesi dik olduğundan
m(BAC) = 90° ve göz hizası ile abide arasındaki doğru
[AH] ⊥ [BC] oluyor.
Verilenler: |BH| = 1,6 m (göz hizası),
|AH| = 8 m (abideye uzaklık).
a) Öklid’den |AH|² = |BH| · |CH|:
8² = 1,6 · |CH| ⇒ 64 = 1,6 · |CH| ⇒
|CH| = 40 m.
Abidenin boyu |BC| = |BH| + |CH| = 1,6 + 40 = 41,6 m.
Aynı ölçümü Arda’dan daha uzun olan Pelin yapsaydı |BH|, |CH| ve |AH| nasıl değişirdi?
· Pelin daha uzun olduğundan göz hizası |BH| artar.
· Abidenin boyu sabit olduğundan
|CH| azalır (|BH| + |CH| = 41,6 değişmez).
· |AH| = √(|BH| · |CH|) ve toplamı sabit iki sayının çarpımı,
sayılar birbirine yaklaştıkça büyür ⇒
|AH| artar.
Günlük karşılığı: uzun boylu biri aynı ölçümü
yapmak için abideden daha uzağa geçmek zorundadır. Kaydırağı
oynattığında canvasın altındaki |AH| değerinin nasıl büyüdüğünü görebilirsin.
Gözlem kulesinin yerden yüksekliği |BC| = 8 m, merdivenin
zeminle temas ettiği noktanın kuleye uzaklığı |AB| = 6 m.
Destek direği [BH] ⊥ [AC] olduğuna göre |BH| soruluyor.
Kule dik durduğundan B köşesi dik açıdır. Merdiven
hipotenüstür; Pisagor’dan
|AC| = √(6² + 8²) = 10 m (yine 3-4-5).
[BH] dik köşeden hipotenüse inen yükseklik olduğundan alan iki türlü yazılır:
|AB| · |BC| = |AC| · |BH|
6 · 8 = 10 · |BH| ⇒ |BH| = 4,8 m.
İkinci yol: Öklid’den |AH| = 6²/10 = 3,6 ve
|HC| = 8²/10 = 6,4; sonra |BH|² = 3,6 · 6,4 = 23,04 ⇒ |BH| = 4,8. Kontrol
Noktası’nın istediği “problem farklı yollarla çözülür ve
çözümler karşılaştırılır” maddesi tam olarak bu.
Gonca, L şeklinde (yani köşesi dik) bir cetvelin iki kenarına
lazer yerleştiriyor. 2 metrelik bir sopayı evinin bulunduğu H
noktasında zemine dik konumlandırıyor ve cetveli sopanın
üzerinde T noktasına, lazerlerden biri Halûk’un evinde belirecek şekilde sabitliyor.
Öteki lazerin yerde belirdiği A noktası ile H arası
5 cm.
Cetvelin köşesi dik ⇒ T’de 90°; sopa zemine dik ⇒
[TH] ⊥ [AB]. Yani [TH],
hipotenüse ait yüksekliktir.
Öklid’den |TH|² = |HA| · |HB|:
200² = 5 · |HB| ⇒ 40 000 = 5 · |HB| ⇒
|HB| = 8000 cm = 80 m.
Dikkat: sopa 2 m
ama ölçüm 5 cm; ikisi de santimetreye çevrilmeden hesaba
girmemeli. Cevap da sonda metreye çevrilir.
Işık düz gittiği için ışığın çizdiği her şekil bir doğru parçasıdır; engeller de dik durduğu için ortaya hep benzer dik üçgenler çıkar. Bu bölümdeki üç problemin üçü de aynı fikirle çözülüyor.
A ve B noktalarındaki lambaların yerden yükseklikleri
6 m ve 10 m; aralarındaki
uzaklık 18 m. Boyu 2 m olan
Necati K noktasında duruyor ve iki gölgesinin boyu eşit.
a) Gölge kaç metre?
|AK| = p, |KB| = q, p + q = 18.
A lambasının gölgesi K’dan uzağa doğru s uzunluğunda ⇒
2 / 6 = s / (p + s) ⇒ 2p + 2s = 6s ⇒
s = p / 2.
B lambasının gölgesi t uzunluğunda ⇒
2 / 10 = t / (q + t) ⇒ 2q + 2t = 10t ⇒
t = q / 4.
Gölgeler eşit: p/2 = q/4 ⇒ q = 2p; p + q = 18 ⇒
p = 6, q = 12 ⇒
gölge = 3 m.
Necati B direğine doğru d metre yürüsün. A lambasının
oluşturduğu gölge B yönünde uzanır ve boyu
(6 + d) / 2 olur.
Gölgenin ucunun B’yi geçmemesi için:
(6 + d) / 2 ≤ 12 − d
6 + d ≤ 24 − 2d ⇒ 3d ≤ 18 ⇒
d ≤ 6 m.
Yani Necati en fazla 6 metre yürüyebilir; tam 6 metrede
gölgesinin ucu tam olarak B direğine değer.
Kaydırakla dene: canvasta Necati’yi 12. metreye
getirdiğinde A gölgesinin ucu B’ye tam denk geliyor — hesabın görsel karşılığı.
Masanın yüksekliği 75 cm, perdeye uzaklığı
30 cm. Şekil 1’de perdenin ucunun yerden yüksekliği
210 cm ve güneş ışınları masa üzerinde en fazla
60 cm uzağa ulaşıyor. Perde 75 cm
indiriliyor; ışınların yeni ulaştığı en uzak mesafe x soruluyor.
Modelleme: perde yere dik olduğundan
m(ABC) = m(DBK) = 90° ⇒ ABC ve DBK dik üçgenlerdir.
Güneş ışınlarının geliş açısı değişmediğinden
ABC ∼ DBK.
Şekil 1: perdenin ucundan masa yüzeyine kalan dikey mesafe
|BC| = 210 − 75 = 135 cm.
Şekil 2: perde 75 cm indiği için
|BK| = 135 − 75 = 60 cm.
Benzerlik oranı |BC| / |BK| = 135 / 60 = 9 / 4 ⇒
|AB| / |DB| = 9 / 4.
Yatay mesafeler: |AB| = 30 + 60 = 90 cm ve
|DB| = 30 + x.
90 / (30 + x) = 9 / 4 ⇒ 30 + x = 40 ⇒
x = 10 cm.
Dikkat edilecek yer: yatay mesafeye
masanın perdeye uzaklığı olan 30 cm de dâhil; yalnız masa
üstündeki 60 cm’i alırsan orantı yanlış kurulur.
Bir desen, bir mekanizma ya da bir döşeme aynı parçanın kopyalarından kuruluyorsa problem benzerlikle değil eşlikle çözülür: bütün parçaların açıları ve kenarları aynıdır, geriye kaç tanesinin bir araya geldiğini saymak kalır.
Nakışçı Semra Hanım, ABC üçgenine eş yeterli sayıda karton
kesip kenarları çakışacak şekilde birleştirerek bir çiçek deseni oluşturuyor.
m(ABC) = 110° ve |AB| < |BC|.
m(BAC) soruluyor.
ABC üçgeni, kendisine eş bir üçgenle en uzun kenarları çakışacak şekilde birleştirilirse bir
dörtgen elde edilir. Bu dörtgenlerden 8 tanesi uzun kenarları
çakışacak şekilde birleştirilince çiçek deseni oluşuyor.
Oluşan desende 16 üçgenin ölçüsü en küçük olan açıları merkezde
bir tam açı oluşturur:
m(ACB) = α alınırsa 16 · α = 360° ⇒
α = 22,5°.
İç açılar toplamından:
110° + 22,5° + m(BAC) = 180° ⇒
m(BAC) = 47,5°.
Merkezde toplanan açıların ölçüleri toplamı tam açı, yani 360°
olmak zorunda — yoksa şekil ya boşluk bırakır ya üst üste biner.
16 parça birleşiyorsa her birinin merkezdeki açısı
360 / 16 = 22,5° olur. Bu açı üçgenin
en küçük açısıdır, çünkü |AB| < |BC| bilgisi
açı-kenar bağıntısıyla hangi açının küçük olduğunu söylüyor
(ünite 14).
Genel kural: bir noktada birleşen n eş parça varsa
merkezdeki açı 360° / n’dir. Karo döşeme, mozaik, kar
tanesi deseni — hepsi bu tek satırla çözülür.
Neden eşlik, benzerlik değil: parçalar
aynı kartondan kesildiği için boyları da aynı. Benzer olsalardı
kenarlar çakışmaz, desen kapanmazdı.
Gülşah’ın tablet ekranının kısa kenarı 12 cm, uzun kenarı
18 cm. Ekrandaki ABC dik üçgeninin [AB] dik kenarı önce ekranın
kısa kenarı kadar büyütülüyor ve üçgen üst kenarda
3 cm’lik bir kısım kaplıyor. Sonra ekran döndürülüp [AB],
ekranın uzun kenarı kadar büyütülüyor; üst kenarda kaplanan
kısım x soruluyor.
Üçgenin biçimi (açıları) değişmediği için iki durum
benzerdir; benzerlik oranı
18 / 12 = 3 / 2.
3 / 12 = x / 18 ⇒
x = 4,5 cm.
Aynı sonuç ikinci yoldan: oran 3/2 olduğuna göre
3 · 3/2 = 4,5. Kontrol Noktası’nın istediği
“iki farklı yol” burada da işliyor.
Bu ünitedeki bütün problemler birkaç kalıbın tekrarı. Arama kutusuna “ayna”, “gölge”, “dik”, “desen” gibi bir sözcük yazarak hangi kalıba baktığını bulabilirsin.
1) Birim karışması.
31. örnekte göz hizası 150 cm, öteki her şey
metre. Alıştırma 2’de sopa 2 m,
ölçüm 5 cm. Orantıyı kurmadan önce
hepsini tek birime çevir; cevabı istenen birime çevirmek
en son adımdır.
2) Eksik parçayı unutmak.
33. örnekte yatay mesafe masanın üstündeki 60 cm değil,
30 + 60 = 90 cm. 31. örnekte |HA|, 525 değil
675 + 525 = 1200 m. Şekli çizerken
her parçayı ayrı ayrı işaretle ve toplarken hiçbirini atlama.
3) Öklid mi, benzerlik mi?
Öklid bağıntıları yalnız dik açıdan hipotenüse inen yükseklik
varsa çalışır. Kitap örneğinde (32. örnek) dik açı
gözde, gözlem kulesinde (17. Sıra Sizde)
kulenin dibinde. Dik açının yerini yanlış işaretlersen
bağıntı doğru görünür ama sonuç yanlış çıkar.
Kontrol Noktası’nın son maddesi “problem farklı yollarla
çözülür ve çözümler karşılaştırılır” diyor. Bunun iki pratik faydası var:
· Sağlama. Gözlem kulesinde |BH| hem alan eşitliğinden
(6·8 = 10·|BH|) hem Öklid’den (√(3,6 · 6,4)) 4,8 çıkıyor. İki
yol aynı sonucu veriyorsa hata olasılığı çok azalır.
· Hız. 31. örnekte 900 ve 675’ten hipotenüs bulunurken
Pisagor’u açmak yerine 3-4-5 üçlüsünü tanımak sonucu tek satırda
veriyor: 1125. Sınavda kazandıran şey ikinci yolu görmek.
Problem durumları karışık sırayla geliyor. Hangi aracı kullanacağını ya da doğrudan sonucu seç.
Problemler ayna, gölge, perde, tahterevalli ve tabletten kurulu. Aşağıdakiler bu yöntemleri kendi hayatında deneyebileceğin hâle getiriyor.
Cep aynasını bahçeye yere koy, binanın tepesini aynada görene kadar geri git. Göz hizanı
(yaklaşık 1,5 m) ve iki mesafeyi ölç.
bina / göz hizası = binaya olan mesafe / aynaya olan mesafe.
31. örneğin birebir aynısı. Aynayı 2 m uzağa koyup binadan 24 m geride durursan bina
1,5 · 24 / 2 = 18 m çıkar — yaklaşık 6 katlı bir bina.
Öğleden sonra dersinde güneş sıranın üzerine düşer ve öğretmen perdeyi biraz indirir.
Işığın sıra üzerinde ne kadar ilerleyeceği 33. örneğin
hesabıdır.
Perdeyi yarıya indirmek ışığı yarıya indirmez — orantı
dikey mesafeler üzerinden kurulur. 135 cm’den 60 cm’e inen
bir dikeyde ışık 60 cm’den 10 cm’e düşüyor; yani
çok daha sert bir değişim.
Akşam sokakta yürürken gölgenin lambaya yaklaştıkça kısaldığını,
uzaklaştıkça uzadığını fark etmişsindir.
18. Sıra Sizde’nin formülü bunu tam olarak veriyor: boyu 2 m olan biri için 6 m’lik lambada
gölge mesafenin yarısı, 10 m’lik lambada
dörtte biri. Lamba ne kadar yüksekse gölge o kadar kısa —
şehir aydınlatmasının yüksek direkler kullanmasının bir sebebi de bu.
Eşit kollu olmayan bir tahterevallide bir uç yere değdiğinde öteki ucun yükselme miktarı
kolların oranına bağlıdır.
16. Sıra Sizde’nin sonucu şaşırtıcı: 120 ve 60 ölçülen bir
tahterevallide desteğin boyu 40 cm; ikisinin ortalaması olan
90 değil. Bağıntı 1/40 = 1/120 + 1/60 — ünite 20’deki
22. örneğin ta kendisi.
Arda’nın kitapla yaptığını sen telefonunla yapabilirsin: telefonun dik köşesini gözüne
yaklaştır, alt kenarı binanın dibine, yan kenarı tepesine hizala.
|AH|² = |BH| · |CH| ⇒ binaya uzaklığın 8 m ve göz hizan
1,6 m ise bina 41,6 m. Tek şart: köşenin
gerçekten dik görünmesi — açı bozulursa Öklid çalışmaz.
Bir ayakkabı kutusuyla camera obscura yapmak bir öğle
arasını alır: bir yüze iğneyle delik, karşı yüze yağlı kâğıt.
Görüntünün boyu h′ = h · r / p ile hesaplanır; kutuyu
uzatırsan (r büyür) görüntü büyür ama sönükleşir.
Fotoğrafçılıkta “zoom yapınca ışık azalır” cümlesinin
arkasındaki geometri budur.
Bir camide, bir metro istasyonunda ya da bir kahve fincanının desenine bak: bir noktada
birleşen eş parçaları say.
Merkezdeki açı = 360° / n. 6 parça birleşiyorsa
60°, 8 parça ise 45°,
çiçek desenindeki gibi 16 parça ise 22,5°. Deseni çizen
kişi bu açıyı seçmiş; sen desene bakıp bulabiliyorsun.
Gonca’nın L cetveli, bir gönye ve bir süpürge sapıyla yapılabilir: sapı dik tut, gönyeyi
sapın üstüne dik köşesi dışa bakacak şekilde yerleştir, bir kenarı hedefe hizala.
Öteki kenarın yerde gösterdiği noktanın sana uzaklığını ölç:
|TH|² = |HA| · |HB|. 2 m’lik sap ve 5 cm’lik ölçümle hedef
80 m uzakta çıkıyor. Ölçüm ne kadar küçükse hedef o kadar
uzaktır — bu yüzden küçük hatalar büyük sapma yaratır.
Tableti yatay çevirdiğinde bir şekil aynı oranda büyür:
12 cm yerine 18 cm’e sığdığı için her uzunluk 3/2 katına
çıkar.
Ama alan 9/4 katına çıkar — yani iki katından fazla.
Uygulamaların “yatay modda daha fazla veri gösterme” tercihi bu sayıdan geliyor.
Alıştırma 3’teki 3 → 4,5 cm değişimi de aynı orantının
küçük hâli.
48 soruluk test · problem çözme stratejisi ve iğne deliği kamerası, aynayla tepe yüksekliği, Öklid’le abide ve gözlem kulesi, stor perde ve iki lambalı gölge problemleri, eş üçgenlerden kurulu çiçek deseni, tahterevalli ve tablet ekranı
Modelle → benzer üçgeni bul → eşleşmeyi yaz → denklem kur →
birimi denetle.
Kontrol Noktası: problem farklı yollarla çözülüp
çözümler karşılaştırılır.
Delikte kesişen ışınlar kum saati benzerliği kurar; görüntü
baş aşağıdır.
h′ / h = r / p
|DA| = 525 · |BH| = |HD| = 675 · |HA| = 1200
|TH| / 1,5 = 1200 / 2 ⇒ |TH| = 900 m
|TD| = 1125 m (3-4-5’in 225 katı)
Öklid: |AH|² = |BH| · |CH|
64 = 1,6 · |CH| ⇒ |CH| = 40 ⇒
|BC| = 41,6 m
Ölçen kişi uzunsa |BH| artar, |CH| azalır,
|AH| artar.
Kule: 6-8-10 ⇒ |BH| = 4,8 m
(6 · 8 = 10 · |BH|)
Gonca: 200² = 5 · |HB| ⇒
80 m
|BC| = 210 − 75 = 135 · |BK| = 135 − 75 = 60
Oran 9/4; yatay 90 = 30 + 60
90 / (30 + x) = 9/4 ⇒ x = 10 cm
s = p/2 ve t = q/4; eşitlikten q = 2p
p = 6, q = 12 ⇒ gölge 3 m
Gölge B’yi geçmesin ⇒
en fazla 6 m yürür.
Bir noktada n eş parça birleşiyorsa merkezdeki açı
360° / n.
16 · α = 360° ⇒ α = 22,5° ⇒
m(BAC) = 47,5°
1/h = 1/120 + 1/60 ⇒ h = 40 cm
Eşit kollu olsaydı 80 cm;
destek B’ye doğru 25 cm kayar.
Tablet: 3/12 = x/18 ⇒ x = 4,5 cm