Altı ölçüm var,
üçü yetiyor.
Bir üçgenin üç kenarı ve üç açısı var. İki üçgenin eş olduğunu göstermek için altısını da ölçmek gerekmez; asgari koşullar vardır. Doğru seçilmiş üç ölçüm üçgeni tek türlü belirler — ama yanlış seçilmiş üçü belirlemez. Bu ünite tam olarak hangi üçlünün işe yaradığını anlatıyor.
Tanım: iki üçgenin köşeleri arasında bire bir eşleme
yapıldığında üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ise
bu üçgenlere eş üçgenler denir. Eşlik ≅ sembolü ile gösterilir.
Eşliğin nereden geldiği dönüşümlerle açıklanıyor:
öteleme, yansıma ve döndürme; bir şeklin kenar uzunluklarını, açı
ölçülerini, çevre uzunluğunu ve alanını korur. Bu yüzden bir üçgen ile onun herhangi bir
dönüşüm altındaki görüntüsü her zaman eştir.
Uyarı: eşlik ilişkisinin sembol temsilinde karşılıklı
köşeler aynı sırada yazılır.
KLM ≅ PRT yazıldığında bu tek bir cümle değil,
altı cümle birden demektir:
K↔P, L↔R, M↔T eşlemesiyle
· |KL| = |PR| · |LM| = |RT| · |KM| = |PT|
· m(K) = m(P) · m(L) = m(R) · m(M) = m(T)
KLM ≅ PTR yazsaydın bambaşka bir şey söylemiş olurdun.
Sıra yanlışsa cümle yanlıştır.
Tanım altı eşitlik istiyor. Ama pratikte bir köprü ayağının ya da bir kartonun altı ölçüsünü
birden ölçmek gereksiz.
Soru şu: iki üçgenin eş olduğunu söyleyebilmek için
bu üçgenlerin asgari hangi elemanlarının eş olması gerekir?
Cevap her seferinde üç ölçüm, ama hangi üçü olduğu önemli.
Aşağıdaki üç bölüm işe yarayan üçlüleri, beşinci bölüm ise
işe yaramayan üçlüleri gösteriyor.
Gerekçe tek cümle: üç kenar uzunluğu bilinen tek bir üçgen
çizilebileceğinden kenar uzunlukları eşit olan iki üçgen eştir.
Sonucu da ayrıca yazıyor: kenar uzunlukları eşit olan iki üçgenin
karşılıklı açı ölçüleri de eşit olur. Yani üç kenarı ölçmek, üç açıyı ölçmeden açıların da
eşit olduğunu söylemeye yeter.
Önerme: bir ikizkenar üçgende üçgenin tepe noktasından çizilen
kenarortay, aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir.
|AB| = |AC| olan ABC ikizkenar üçgeninde [BC] kenarına ait [AH] kenarortayı çizilsin.
Oluşan ABH ve ACH üçgenlerinde:
· |AB| = |AC| (ikizkenarlık)
· |BH| = |HC| (kenarortay, H orta nokta)
· |AH| = |AH| (ortak kenar)
Üç kenar da eşit ⇒ ABH ≅ ACH (K.K.K).
Eşlikten m(BAH) = m(HAC) çıkar ⇒ [AH] açıortaydır.
Yine eşlikten m(BHA) = m(AHC); bu iki açı bütünler olduğundan ikisi de
90° ⇒ [AH] ⊥ [BC] ⇒ [AH] yüksekliktir.
Yukarıdaki ispatın kilit satırı |AH| = |AH|. İlk bakışta boş
bir cümle gibi görünür, oysa eşlik ölçütünün üçüncü ayağını o sağlıyor.
Kural: bir şekli iki üçgene bölen doğru parçası
her iki üçgende birden yer alır. Eşlik sorularının çok
büyük bölümünde üçüncü eşitlik budur.
Aynı hamlenin ikinci hâli ortak açıdır: iki üçgen bir köşeyi
paylaşıyorsa o köşedeki açı ikisinde de aynıdır. Ters açılar da böyledir — kesişen iki doğru
parçası varsa, kesim noktasındaki ters açılar eşittir ve bedava bir eşitlik verir.
ABCD dörtgeninde [AD] ∥ [BC] ve |AD| = |BC| veriliyor; ABC ile ADC üçgenlerinin eş olduğu
gösterilecek.
· |AD| = |BC| (verilen)
· |AC| = |AC| (ortak kenar — köşegen)
· [AD] ∥ [BC] ve [AC] kesen olduğundan iç ters açılardan
m(DAC) = m(ACB)
İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı eşit ⇒
ADC ≅ CBA (K.A.K).
Buradan |DC| = |AB| ve m(DCA) = m(BAC) çıkar; ikinci eşitlik iç ters açı olduğu için
[AB] ∥ [DC] demektir. Yani “karşılıklı iki kenarı hem paralel
hem eşit olan dörtgen paralelkenardır” cümlesinin ispatı bir eşlik ölçütünden ibaret.
Kural: iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı
ölçüsü bilinen tek bir üçgen çizilebileceğinden, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki
açı ölçüleri eşit olan iki üçgen eştir. Eş olan bu üçgenlerin
karşılıklı açıları ve üçüncü kenarları da eştir.
Cümlenin tamamı önemli: “bu kenarlar arasındaki” ifadesi
çıkarılırsa ölçüt çöker — beşinci bölümde tam olarak bunu
göreceksin.
DEF eşkenar üçgeninde:
· E’nin F’ye göre yansıması E′
· F’nin D’ye göre yansıması F′
· D’nin E’ye göre yansıması D′
Bir noktaya göre yansıma demek, o noktanın orta nokta olması
demektir. Eşkenar üçgenin kenarına a dersek her köşenin iki
yanında a uzunluğunda parçalar oluşur.
Hesap: m(F′FE′) = m(F′DD′) = m(D′EE′) =
180° − 60° = 120°. (Eşkenar üçgenin açısı 60°, onun
bütünleri 120°.)
F′FE′, F′DD′ ve D′EE′ üçgenlerinin her birinde
a, 120°, a aynı sırada bulunuyor ⇒ üçü de
eş (K.A.K). Eşlikten üçüncü kenarlar da eşit:
|F′E′| = |E′D′| = |D′F′| ⇒ D′E′F′ eşkenar üçgendir.
ABC üçgeninde [BC] ⊥ [AC], |BC| = 4 cm, |AC| = 7 cm. Üçgen
C köşesi etrafında saat yönünde 90° döndürülüp sonra
3 cm yukarı ötelenıyor; A noktası P noktasına geliyor.
m(BPA) soruluyor.
Dönüşümler uzunlukları koruduğu için oluşan üçgen ilk üçgene
eştir; çözüm buradan
|AB| = |AP| sonucunu çıkarıyor. Demek ki
ABP ikizkenar üçgendir.
m(BAC) = α, m(ABC) = β alınırsa dik üçgende
α + β = 90°. Döndürme sonucu
m(APD) = α ve m(DAP) = β olduğundan
m(BAP) = α + β = 90°.
ABP ikizkenar ve tepe açısı 90° ⇒ taban açıları
(180° − 90°) / 2 = 45° ⇒
m(BPA) = 45°.
Ek not: eş kenarların uzunluğu Pisagor’dan
|AB| = √(4² + 7²) = √65 birimdir; soruda gerekmiyor ama
ikizkenarlığın gerçekten sağlandığını görmek için yararlı.
Bir soruda “döndürüldü”, “ötelendi”,
“yansıtıldı”, “katlandı” ya da
“kesilip üst üste getirildi” geçiyorsa, bir ölçüt aramana bile
gerek yok: oluşan şekil ilkinin eşidir.
Katlama en sık çıkanı: bir kâğıt bir doğru boyunca katlanıyorsa o doğru
yansıma eksenidir; katlanan parça ile yerinde kalan parça eştir,
eksen üzerindeki noktalar yerinde kalır ve eksen, birbirine gelen
iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.
Kural: üç açısının ölçüsü bilinen sonsuz tane üçgen
çizilebileceğinden iki üçgenin karşılıklı açılarının ölçülerinin eşit olması, üçgenlerin eş olması
için yeterli değildir. Karşılıklı ikişer açı ölçüsünün ve bir kenar uzunluğunun eşit olması, iki
üçgenin eş olması için gereken asgari koşullardan biridir.
Açılar üçgenin biçimini belirler, boyunu
belirlemez. Bir kenar uzunluğu, o biçimi tek bir boya sabitler.
m(B) = m(E), |BC| = |EF|, m(C) = m(F) ⇒ ABC ≅ DEF.
Verilen kenar, verilen iki açının ortak kenarıdır. Çizim
sırası şöyle düşünülebilir: kenarı çiz, iki ucundan verilen açılarla birer ışın çıkar; iki ışın
tek bir noktada kesişir. Başka türlüsü yok.
m(B) = m(E), m(C) = m(F), |AB| = |DE| ⇒ yine eş.
Gerekçesi bir önceki bilgiden çıkar: üçgenin iç açılarının
ölçüleri toplamı 180° olduğundan iki açı verildiğinde
üçüncü açı da bellidir. Üçüncü açı hesaplandığında elimizdeki
bilgi A.K.A’ya dönüşür.
Yani A.K.A ve A.A.K ayrı ölçütler değil, aynı ölçütün iki
görünüşüdür. Sınavda “iki açı + herhangi bir kenar” gördüğünde
eşliğe karar verebilirsin.
Kare masa, kare bir örtüyle masanın köşeleri örtünün kenarları üzerinde olacak şekilde tam
örtülüyor. |BK| = 30 cm, |BN| = 40 cm.
m(KAB) = x, m(KBA) = y alınırsa AKB dik üçgeninde
x + y = 90°. Örtünün kenarı doğru olduğundan
m(KAB) + m(LAD) = 90° ⇒ m(LAD) = y, ALD üçgeninden
m(ADL) = x.
Aynı akıl yürütme dört köşede tekrarlanır; masa kare olduğu için
|AB| = |AD| = |DC| = |BC|. Her üçgende
x, kenar, y aynı sırada ⇒ AKB, DLA, CMD, BNC üçgenleri
eştir (A.K.A).
Eşlikten |AK| = |LD| = |MC| = |BN| = 40 ve
|AL| = |MD| = |NC| = |BK| = 30.
a) Örtünün kenarı 30 + 40 = 70 ⇒ alanı
70 · 70 = 4900 cm².
b) Masanın kenarı Pisagor’dan √(30² + 40²) = 50 ⇒ alanı
50 · 50 = 2500 cm².
Önerme: bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarına ait yükseklikler
birbirine eşittir.
|AB| = |AC| olan ABC üçgeninde [BE] ve [CD] yükseklikleri çizilsin.
BEC ve CDB üçgenlerinde:
· [BC] ortak kenar
· m(BEC) = m(CDB) = 90° (yükseklik)
· m(ABC) = m(ACB) (ikizkenarın taban açıları)
İç açılar toplamından m(EBC) = m(DCB) de çıkar. İki açı ve
aralarındaki ortak kenar eşit ⇒
BEC ≅ CDB (A.K.A) ⇒
|BE| = |CD|.
Dikkat: burada iki açı + bir kenar kullanıldı; üç açı
kullanılsaydı hiçbir şey ispatlanamazdı.
Bir ölçütü ezberlemek kolay; neden ölçüt olmadığını görmek kalıcı olanı. Aşağıdaki iki üçlü eşliği garanti etmez ve tam da bu yüzden sınavda en çok tuzak buradan çıkar.
“Üç açısının ölçüsü bilinen sonsuz tane üçgen çizilebilir.”
m(A) = 80°, m(B) = 70°, m(C) = 30° olan bir üçgen çizip her kenarını
iki katına çıkarırsan açılar değişmez ama üçgen değişir.
Bir fotoğrafın büyütülmüş hâli gibi.
Ama boşuna değil: A.A.A eşlik için yetersizdir,
benzerlik için fazlasıyla yeterlidir — hatta bir sonraki
ünitede göreceğin gibi iki açı bile yeter (A.A benzerliği).
K.A.K’teki açı iki kenarın arasındadır. Açı araya değil de
kenarlardan birinin karşısına düşerse ölçüt çalışmaz.
Yandaki canvasta durum şöyle kuruluyor: A köşesinde 35°’lik açı, |AB| = 7 birim ve bu açının
karşısında olmayan |BC| kenarı veriliyor. B merkezli, yarıçapı
|BC| olan çember, karşı ışını iki noktada kesebiliyor —
yani aynı üç veriyle iki farklı üçgen çizilebiliyor.
Kaydırağı büyüttüğünde ikinci kesim noktası kayboluyor: karşı kenar yeterince uzunsa çözüm
tekleşiyor. Bazen tek, bazen iki — “bazen” diyen bir kural,
kural değildir.
Tabloda arama kutusunu kullanabilirsin: “yeterli”, “K.A.K”, “açı” gibi bir sözcük yazınca tablo süzülür.
Bir sonraki ünitede benzerlik ölçütleri gelecek ve adları
neredeyse aynı olacak: K.K.K, K.A.K, A.A. Karışan yer tam
burasıdır, çünkü harfler aynı ama şartlar farklı.
· Eşlikte K.K.K = üç kenar eşit.
Benzerlikte K.K.K = üç kenar orantılı.
· Eşlikte K.A.K = iki kenar eşit +
aradaki açı eşit. Benzerlikte K.A.K = iki kenar
orantılı + aradaki açı eşit.
· Eşlikte iki açı yetmez, bir de kenar ister.
Benzerlikte iki açı yeter (A.A).
Ayırt edici tek soru: “eşit” mi deniyor, “orantılı” mı?
Eşit ⇒ eşlik. Orantılı ⇒ benzerlik. Bir üçüncüsü de var:
benzerlik oranı 1 ise iki üçgen zaten eştir — yani eşlik,
benzerliğin özel hâlidir.
Ölçütlerin hepsinde karşılıklı geçiyor. Bu, ölçümlerin
eşleşen köşelerden alınması demek.
Bir üçgenin kenarları 6, 8, 10; ötekinin 6, 8, 10 ise eştirler. Ama birinin kenarları
6 ve 8, aralarındaki açı 50°; ötekinin
6 ve 8, ama 50° 8 ile 10’un arasında ise
K.A.K uygulanamaz — açı doğru kenar çiftinin arasında değil.
Sembolik gösterimi doğru yazmak bunu kendiliğinden çözüyor: önce
hangi köşe hangisine karşılık geliyor yaz, sonra ölçütü uygula.
Aşağıda verilenler karışık sırayla geliyor. Hangi eşlik ölçütünün uygulandığını — ya da hiçbirinin uygulanamadığını — seç.
Eşliğin günlük karşılığı sanıldığından çok daha yaygın: her seri üretim, her kalıp, her katlama bir eşlik üretir.
A4 kâğıdı köşegeni boyunca ikiye katladığında iki üçgen
tam üst üste gelir. Neden?
Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit, köşegen ortak: iki üçgenin üç kenarı da eşit ⇒
K.K.K.
Bunun bir sonucu var: dikdörtgenin köşegeni onu iki eş üçgene
ayırır, yani her birinin alanı dikdörtgenin yarısıdır. Üçgenin alan formülünü
hatırlamadığın bir soruda bu düşünce seni kurtarır.
Kutudaki iki gönyeden biri 30-60-90, öteki
45-45-90. Aynı kutudan aynı gönyeden iki tane çıkarsa
eştirler — çünkü aynı kalıptan basılmışlar.
Ama iki farklı boy 45-45-90 gönye eş değildir, sadece
benzerdir: açıları aynı, boyları farklı. Ölçüt olarak
A.A.A’nın neden yetmediğinin masa üstündeki hâli tam olarak bu.
Okul kulübü için tasarladığın afişi fotokopide %100 çekersen
çıkan kopya orijinalin eşidir. %70
çekersen benzeridir, benzerlik oranı 0,7.
Fotokopi makinesindeki yüzde, doğrudan
benzerlik oranıdır; %100 ise oran 1 ve benzerlik eşliğe
dönüşür. Bir sonraki ünitenin bütün konusu bu yüzdeyi hesaplamak.
6. örnek aslında evde yapılabilir: kare bir masaya kare bir örtüyü
çapraz serdiğinde dört köşede dört üçgen sarkar.
O dört üçgen eştir; bu yüzden örtü her yönde
aynı kadar sarkar ve masa düzgün görünür. Örtüyü biraz
döndürdüğünde de dört üçgen yine eş kalır, sadece kenar parçaları
30-40’tan 20-50’ye kayar. Yandaki kaydırağın yaptığı tam olarak bu.
Yeni bir ekran koruyucu alırken satıcıya telefon modelini
söylüyorsun, ekranı ölçtürmüyorsun. Çünkü aynı modelin bütün ekranları
eştir.
Ölçüt mü? Üretici için K.K.K yeterli: aynı kalıptan kesilen
camın kenarları aynıysa şekli de aynıdır. Kamera deliğinin yeri de aynı olsun diye
bir referans köşe belirlenir — eşlik yazarken köşe sırasını
korumanın sanayideki karşılığı.
Basketbol sahasının orta çizgisi sahayı iki eş dikdörtgene
böler; bu yüzden hangi yarıda oynadığın oyunun geometrisini değiştirmez, maçın devresinde
taraflar değiştirilir.
Aynı fikir üçgende de var: ikizkenar üçgenin tepe noktasından
çizilen kenarortay üçgeni iki eş üçgene böler (3. örnek). Kalenin ortasından bakan
birinin iki direğe uzaklığı bu yüzden eşittir.
Kâğıt katlama videolarındaki her adım bir yansımadır;
katlanan parça ile altında kalan parça eştir.
Sınav sorusunda “kâğıt [AD] boyunca katlanıyor” ifadesini
gördüğünde otomatik olarak şunları yazabilirsin: katlama çizgisi üzerindeki noktalar
yerinde kalır, katlanan açı korunur,
üst üste gelen kenarlar eşittir. Üç bedava denklem.
Kamp çadırının direği dik durduğunda iki yandaki gergi ipleri, kazıklar direkten
eşit uzaklığa çakılırsa eşit uzunlukta
olur.
Gerekçe 3. örneğin tersi: direk dik ve mesafeler eşitse iki üçgen
K.A.K ile eştir, dolayısıyla ipler eşit. Kampçının pratik
kuralı — “ipleri eşit boy kes, kazıkları eşit mesafeye çak” — bir eşlik ölçütünün kısaltması.
Rekabetçi oyunlarda haritalar genelde döndürme simetrisi
taşır: bir takımın üssünün etrafındaki şekil, ötekinin üssünün 180° döndürülmüş
eşidir.
Sebebi geometrik değil, adalet: dönüşüm uzunlukları koruduğu
için iki takımın koridor uzunlukları, açıları ve mesafeleri birebir aynı olur. Tasarımcının
“dengeli harita” dediği şeyin matematikteki adı eşliktir.
48 soruluk test · eşliğin tanımı ve köşe sırası, K.K.K · K.A.K · A.K.A · A.A.K ölçütleri, A.A.A ve K.K.A’nın yetersizliği, ikizkenar üçgende kenarortay-açıortay-yükseklik, kare masa örtüsü ve döndürme-öteleme örnekleri
Köşeler arasında bire bir eşleme yapıldığında
karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eşit ise üçgenler eştir.
Sembol: ≅
Gösterimde köşe sırası korunur.
Üç kenar uzunluğu eşitse üçgenler eştir.
Gerekçe: üç kenarı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
Sonuç: açılar da eşit çıkar.
İki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse üçgenler eştir.
“Arasındaki” şartı düşerse ölçüt çalışmaz.
İkişer açı + bir kenar eşitse üçgenler eştir.
Kenar açıların arasındaysa A.K.A, karşısındaysa A.A.K; iç açılar toplamı 180° olduğundan
ikisi aynı kapıya çıkar.
Üç açısı bilinen sonsuz tane üçgen çizilebilir.
Açılar biçimi belirler, boyu belirlemez.
Eşlik için yetmez; benzerlik için yeter.
İki kenar + aralarında olmayan açı verildiğinde
iki farklı üçgen çizilebilir (belirsiz durum).
Bazen tek, bazen iki ⇒ ölçüt değil.
Eşlik sorularında üçüncü eşitlik genelde bedavadır:
|AH| = |AH|, ortak açı ya da
ters açılar.
Paralellik varsa iç ters ve
yöndeş açılar da eşitlik verir.
Öteleme · yansıma · döndürme kenarı, açıyı, çevreyi ve alanı
korur.
“Döndürüldü / ötelendi / katlandı” diyen soruda oluşan şekil
ilkinin eşidir, ayrıca ispat gerekmez.
· İkizkenarda tepe kenarortayı = açıortay + yükseklik (K.K.K)
· 90° döndür + ötele ⇒ m(BPA) = 45°
· Kare örtü: 4900 cm², masa: 2500 cm² (A.K.A)
· İkizkenarda eş kenarlara ait yükseklikler eşittir (A.K.A)