Benzeri
zaten şeklin içinde.
Önceki ünitede iki üçgen verilmişti, benzer olup olmadıklarına karar veriyorduk. Burada iş tersine dönüyor: elimizde tek bir üçgen var ve ona benzeyen ikinciyi biz kuruyoruz. “birçok geometrik problemin temelinde iç içe geçmiş benzer üçgenler kullanılmaktadır”. Bu ünite o iç içe geçmeyi görmeyi öğretiyor.
Benzer üçgen kurmanın üç temel yolu var; aşağıdaki gezginde onlara bir dördüncüsü — kesişen doğru parçalarında ters açı — ekleniyor. Dördü de aynı iki soruya cevap veriyor: hangi iki üçgen benzer ve hangi köşe hangisiyle eşleşiyor.
· Bir üçgende farklı iki kenar üzerindeki iki nokta birleştirilerek
bir başka üçgen oluşturulduğunda, bu üçgenlerin ortak köşesini oluşturan kenarların uzunlukları
orantılı ise bu üçgenler Kenar-Açı-Kenar benzerliğine göre benzerdir.
· Bir ABC dik üçgeninin dik köşesinden çizilen yüksekliğin
oluşturduğu üçgenler ABC üçgeni ile benzerdir.
· Bir üçgenin herhangi bir kenarına paralel çizilerek oluşturulan
üçgen, Açı-Açı benzerliğine göre bu üçgene benzerdir. ABC üçgeninde d₁ ∥ d₂ ise
ADE ∼ ABC ve buradan
|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC| olur.
İki noktayı bir kenara paralel olacak şekilde birleştirdiğinde
iki açı birden bedava gelir: tepe açısı
ortak, kesenin oluşturduğu açılar
yöndeş. A.A benzerliği için gereken tam da bu.
Bunun bir sonucu 18. ünitedeki orta tabandı: paralel çizgiyi
kenarların tam ortasından geçirirsen benzerlik oranı 1/2 çıkar.
Ama her paralel çizgi bir benzerlik üretir; orta nokta yalnızca
en bilinen özel hâli.
[DE] ∥ [BC] olduğunda ADE ∼ ABC’den şu orantı çıkar:
|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC|
En sık yapılan hata: paydaya
|DB| yazmak. |AD| / |AB| doğru,
|AD| / |DB| ise |DE| / |BC|’ye eşit DEĞİLDİR.
Ama |AD| / |DB| = |AE| / |EC| doğrudur — çünkü ikisi de aynı
üçgeni aynı biçimde kesiyor. (Bu, bir sonraki ünitede
temel orantı teoremi adıyla ayrıca karşına çıkacak.)
Kural: paylar ve paydalar
aynı üçgenden olmalı. Karışık yazarsan sonuç yanlış çıkar,
üstelik hata sen fark etmeden geçer.
ABC üçgeni şeklinde modellenmiş bir dağda iki dağcı B ve C noktalarından zirveye tırmanıyor.
C’den çıkan dağcı yolun 3/5’ini tırmandığında D noktasında
1500 m yüksekliğe ulaşıyor. Aynı anda B’den çıkan dağcı
yolun yarısındaki E noktasına varıyor.
a) Zirve kaç metre?
|DG| ve |AH| dikey yükseklikler çizilir; ikisi de yere dik olduğundan
paraleldir ⇒ CGD ∼ CHA (A.A).
|DC| / |AC| = |DG| / |AH| ⇒ 3/5 = 1500 / |AH| ⇒
|AH| = 2500 m.
b) E kaç metre yükseldi?
[EF] dikeyinden EBF ∼ ABH ⇒
|BE| / |BA| = |EF| / |AH| ⇒ 1/2 = |EF| / 2500 ⇒
|EF| = 1250 m.
Dikkat: “yolun 3/5’i” tabandan
ölçülüyor; oranı zirveden ölçseydin 2/5 yazman gerekirdi ve sonuç tutmazdı.
İki noktayı birleştirdiğinde çizgi kenara paralel olmak zorunda değil. Ortak köşeyi oluşturan kenarların uzunlukları orantılıysa K.A.K benzerliği yine çalışır — ve bu durumda oluşan üçgen “ters çevrilmiş” bir benzer olabilir.
Üçgensel bir tarlanın etrafına toplam 16 direk eşit
aralıklarla dikilmiş: [AF] kenarı 6,
[FM] kenarı 9 eşit aralığa bölünmüş.
|AM| = 108 m. Seçilen iki direk arasına tel çekilerek
ölçüm yapmadan uzunluğu hesaplanabilecek bir üçgen
isteniyor.
Neden ölçüm gerekmiyor: yeni üçgen AFM’ye
benzerse, üçüncü kenarı da aynı oranda olur ve
|AM| = 108’den doğrudan hesaplanır.
Bütün adaylar F köşesini paylaşıyor — yani
ortak açı hazır. Geriye tek koşul kalıyor:
F’den çıkan iki kenarın oranı tutmalı (K.A.K).
Düz eşleşme — [AF] üzerindeki nokta A’ya, [FM] üzerindeki
nokta M’ye karşılık gelir:
|XF| / |AF| = |YF| / |FM|
· D ve H: 2/6 = 3/9 = 1/3 ⇒ DFH ∼ AFM, |DH| =
36 m
· C ve J: 4/6 = 6/9 = 2/3 ⇒ CFJ ∼ AFM, |CJ| =
72 m
Çapraz eşleşme — [AF] üzerindeki nokta M’ye, [FM]
üzerindeki nokta A’ya karşılık gelir:
|XF| / |FM| = |YF| / |AF|
· Ç ve Ğ: 3/9 = 2/6 = 1/3 ⇒ ÇFĞ ∼ MFA, |ÇĞ| =
36 m
· A ve I: 6/9 = 4/6 = 2/3 ⇒ AFI ∼ MFA, |AI| =
72 m
Bu yüzden tel çekilen doğru parçası her zaman
[AM]’ye paralel değildir: yalnız
düz eşleşmede paraleldir.
ABC üçgeninde D ∈ [AC], m(ABD) = m(DBC) (yani [BD] açıortay),
|AD| = 2|DC| ve |BC| = 6x
birim. |AB| soruluyor.
Açıortayın böldüğü parçalarla kenarlar arasındaki bağıntı bir
paralel çizerek çıkarılır:
C noktasından [BD]’ye paralel bir doğru çizilip [AB]’nin
uzantısını E’de kestiği düşünülsün.
· [BD] ∥ [CE] ve [AC] kesen ⇒ |AD| / |DC| = |AB| / |BE|
(A.A benzerliği).
· [BD] ∥ [CE]: m(DBC) = m(BCE) (iç ters) ve m(ABD) = m(BEC) (yöndeş). Açıortaydan bu iki açı
eşit ⇒ BCE ikizkenar ⇒
|BE| = |BC|.
İkisi birleşince açıortay teoremi çıkar:
|AD| / |DC| = |AB| / |BC|
Soruda 2 = |AB| / 6x ⇒
|AB| = 12x birim.
İkinci temel yol şu: bir ABC dik üçgeninin
dik köşesinden çizilen yüksekliğin oluşturduğu üçgenler ABC üçgeni ile benzerdir.
Tek bir çizgi çekiyorsun ve elinde üç üçgen oluyor: büyük üçgen
ve onun içindeki iki küçük üçgen. Üçünün de iç açıları aynı:
{x, y, 90°}. Bir sonraki ünitedeki Öklid bağıntıları doğrudan
buradan çıkacak.
Bir köprünün yandan görünüşünde [PR] ve [PS] halatları P noktasında
birbirine dik; [PH] ⊥ [RG],
|HK| = 180 m, |RH| = 40 m
ve PRS ≅ TGS.
a) Hangi üçgenler benzer?
PRH üçgeninde m(PRH) = α, m(RPH) = β alınırsa α + β = 90°.
m(RPS) = 90° olduğundan m(HPS) = α; PHS üçgeninden m(PSH) = β. Üç üçgenin de iç açıları
{α, β, 90°} ⇒ PRH, SPH ve SRP üçgenleri A.A’ya göre benzerdir.
b) |PH| kaç metre?
Verilen eşlikten S, [HK]’nın orta noktasıdır ⇒ |HS| = 90 m.
PHR ∼ SHP ⇒ |PH| / |HS| = |RH| / |PH| ⇒
|PH|² = 40 · 90 = 3600 ⇒ |PH| = 60 m.
|RS| = |RH| + |HS| = 40 + 90 = 130 m.
PHR ∼ SPR ⇒ |PR| / |RS| = |RH| / |PR| ⇒
|PR|² = 40 · 130 = 5200 ⇒
|PR| ≈ 72 m.
PHS ∼ RPS ⇒ |PS| / |RS| = |HS| / |PS| ⇒
|PS|² = 90 · 130 = 11 700 ⇒
|PS| ≈ 108 m.
|PR| + |PS| ≈ 180 m; köprünün iki tarafında aynı düzenek
bulunduğundan toplam halat uzunluğu yaklaşık
180 · 2 = 360 m.
Sağlama: Pisagor’dan
72² + 108² ≈ 5184 + 11 664 = 16 848 ve 130² = 16 900 — yuvarlamadan doğan küçük farkla
tutuyor.
ABC dik üçgeninde (dik açı B köşesinde) D ∈ [AC],
m(ABD) = m(BCA), |AD| = 3 ve
|DC| = 12 birim.
a) Hangi üçgenler benzer?
A açısı ABD ile ACB üçgenlerinde ortak; verilen eşitlikle
ikinci açı da eşit ⇒ ABD ∼ ACB (A.A).
Üstelik m(ADB) = 180° − m(A) − m(C) = 90° çıkar; yani
[BD] aslında [AC]’ye ait yüksekliktir ve BDC üçgeni de
ötekilere benzerdir.
b) |BD| kaç birim? BDA ∼ CDB ⇒
|BD| / |DC| = |AD| / |BD| ⇒ |BD|² = 3 · 12 = 36 ⇒
|BD| = 6.
c) |BC| kaç birim? |AC| = 3 + 12 = 15; CBD ∼ CAB ⇒
|BC|² = |DC| · |AC| = 12 · 15 = 180 ⇒
|BC| = 6√5 birim.
Bu ünitenin en güçlü tekniği: şekilde doğrudan benzer üçgen görünmüyorsa bir paralel çiziyorsun ve benzerlik ortaya çıkıyor. Yardımcı paralel ve iki kesişen doğru parçası problemleri baştan sona bu teknik üzerine kurulu.
ABC üçgeninde D ∈ [AC], E ∈ [BC], |AD| = |DC| (D orta nokta),
|AB| = 6, |BE| = 10,
|EC| = 4 birim, m(ABC) = 70°.
m(DEC) soruluyor.
Yardımcı çizim: D’den [AB]’ye paralel [DK], K ∈ [BC].
[DK] ∥ [AB] ⇒ CDK ∼ CAB (A.A), oran
|DC| / |AC| = 1/2.
|CB| = 10 + 4 = 14 ⇒ |CK| = 7,
|AB| = 6 ⇒ |DK| = 3.
E, [KC] üzerinde ve |EC| = 4 olduğundan
|KE| = 7 − 4 = 3.
|DK| = |KE| = 3 ⇒ DKE
ikizkenar.
Yöndeş açılardan m(DKC) = m(ABC) = 70°, yani
tepe açısı 70° ⇒ taban açıları
(180° − 70°) / 2 = 55°.
m(DEK) = 55° ve D, E, C doğrultusunda bütünler ⇒
m(DEC) = 180° − 55° = 125°.
ABC üçgeninde [BE] ∩ [AD] = F, |BD| = 2|DC| ve
|AE| = |EC|. |BF| / |FE| ve |AF| / |FD| soruluyor.
Yardımcı çizim: ADC üçgeninde E’den [DC]’ye paralel [EK],
K ∈ [AD].
|DC| = p alınırsa |BD| = 2p.
[EK] ∥ [DC] ⇒ AKE ∼ ADC, oran |AE| / |AC| = 1/2 ⇒
|EK| = p/2 ve |AK| = |KD|.
a) [EK] ∥ [BD] olduğundan ters ve iç ters açılardan
FKE ∼ FDB (A.A):
|BF| / |FE| = |BD| / |EK| = 2p / (p/2) = 4.
b) Aynı benzerlikten
|KF| / |FD| = |EK| / |BD| = 1/4; |FD| = 4n alınırsa
|KF| = n ve |KD| = 5n.
|AK| = |KD| = 5n olduğundan
|AF| = |AK| + |KF| = 6n ⇒
|AF| / |FD| = 6n / 4n = 3/2.
KLM üçgeninde [LP] ve [MN] kenarortaylar, [LP] ∩ [MN] = {G}.
|GL| = 2|GP| olduğu gösterilecek.
N, [KL]’nin ve P, [KM]’nin orta noktası olduğundan [NP] orta
tabandır: [NP] ∥ [LM] ve
|NP| = |LM| / 2.
[NP] ∥ [LM] olduğundan G kesim noktasında
ters açılar ve paralellikten
iç ters açılar eşit ⇒
GNP ∼ GML (A.A), benzerlik oranı
|NP| / |LM| = 1/2.
Karşılıklı kenarlar da aynı oranda:
|GP| / |GL| = 1/2 ⇒
|GL| = 2|GP|.
Sonuç: bu nokta üçgenin
ağırlık merkezidir ve her kenarortayı köşeden itibaren
2 : 1 oranında böler. Bir kartondan kestiğin üçgeni parmağının
ucunda dengede tutabildiğin nokta tam olarak burasıdır.
Duvara belli bir açıyla dayanmış, birbirine eşit mesafede
15 basamağı bulunan bir merdivenin duvara dayandığı noktanın
yerden yüksekliği 4 metre. 7. basamaktaki kişinin yerden
yüksekliği soruluyor.
Basamaklar merdiven boyunca eşit aralıklı olduğundan her
basamağın oluşturduğu dik üçgen, tepedekiyle
A.A ile benzerdir (ortak zemin açısı + iki dik açı).
Benzerlik oranı 7 / 15 ⇒ yükseklik
4 · 7 / 15 = 28 / 15 ≈ 1,87 m.
Not: merdivenin uzunluğu ya da duvara olan uzaklığı
hiç gerekmedi; benzerlikte tek gereken oran.
Tabloya bir şekil tarifi yaz (“paralel”, “dik”, “kesişen”, “açıortay”) ve hangi hamleyi yapman gerektiğini gör.
[DE] ∥ [BC] olan bir ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ise şunlar
doğrudur:
|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC|
|AD| / |DB| = |AE| / |EC|
Şu ise YANLIŞTIR:
|AD| / |DB| = |DE| / |BC| ✗
Sebebi: ilk kesirde payda küçük üçgenin dışındaki parça,
ikincide büyük üçgenin kenarının tamamı. İki farklı bütünle
oran kurulmuş oluyor. |AD| = 8, |DB| = 4 örneğinde
8/4 = 2 ama |DE| / |BC| =
8/12 = 2/3; ikisi apayrı sayı.
Pratik çare: orantıyı yazmadan önce
iki üçgeni ayrı ayrı çiz ve köşeleri karşılıklı yaz.
“ADE ∼ ABC” yazdıysan payların da paydaların da A ile başlaması gerekir.
Direkli tarlada dört farklı direk çifti benzer üçgen üretiyor, ama
hepsinde tel [AM]’ye paralel değil.
· Düz eşleşmede (D-H ve C-J) kenar oranları
aynı yöne bakıyor ⇒ tel [AM]’ye
paralel.
· Çapraz eşleşmede (Ç-Ğ ve A-I) uzun kenarın karşılığı kısa
kenar oluyor ⇒ tel [AM]’ye paralel değil, ama üçgenler yine
benzer.
Yani “benzerse paraleldir” cümlesi
yanlıştır. Doğrusu: “paralelse
benzerdir”. Ok tek yönlü.
Şekiller karışık sırayla geliyor. Benzerliği ortaya çıkarmak için hangi hamleyi yapman gerektiğini — ya da sonucu — seç.
Bu ünitenin hamlesi — “şekle bir çizgi ekle, benzerlik çıksın” — günlük hayatta genellikle zaten çizilmiş hâlde karşına çıkıyor.
Bir merdivenin her basamağı zemine paralel; bu yüzden
basamakların oluşturduğu üçgenlerin hepsi
birbirine ve merdivenin tamamına benzer.
Merdiven probleminin hesabı budur: 15 basamaklı, tepesi 4 m’de olan bir merdivende
7. basamak 4 · 7/15 ≈ 1,87 m yüksekliktedir. Basamak
sayısını bilmek yetiyor; merdivenin boyunu ölçmene gerek yok.
Bir binanın boyunu ölçmek için telefonunu kolunu uzatarak tutup ekranda binanın
kaç santimetre göründüğünü işaretlersin.
Gözün, telefon ekranı ve bina iç içe iki üçgen oluşturur;
telefon ekranı binanın paraleli olduğu için A.A benzerliği
çalışır:
ekrandaki boy / kol uzunluğu = gerçek boy / binaya uzaklık.
Kamera düzeneği sorularının cepteki hâli.
Sahadaki pota ile senin gölgen aynı anda yere düşer. Güneş ışınları paralel geldiği için
iki dik üçgen A.A ile benzerdir.
Potanın gölgesi 8 m, seninki 2,4 m ve boyun 1,6 m ise pota
1,6 · 8 / 2,4 ≈ 5,3 m. Resmî pota yüksekliği 3,05 m
olduğuna göre ölçtüğün şey direğin tepesi, çemberin
kendisi değil — hangi noktanın gölgesini ölçtüğüne dikkat.
Kartondan bir üçgen kesip parmağının ucunda dengede tutmayı dene. Dengede kaldığı tek nokta
ağırlık merkezidir ve kenarortayların kesiştiği yerdedir.
Kenarortaylarda gösterilen |GL| = 2|GP| bunun ölçüsü:
o nokta her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 böler. Yani
köşeye iki kat daha uzaktır. Denemeden önce bunu işaretle,
ilk seferde tutturursun.
Bir evin çatı iskeletine ya da köprü kirişlerine bak: hepsi
iç içe geçmiş üçgenlerden oluşur. Sebebi mühendislik:
üçgen, kenarları sabitken şeklini değiştiremeyen tek çokgendir.
Köprü halatları da böyle: P’de dik kesişen iki halat, ayak ve zemin
üç benzer üçgen üretiyor ve tek
bir ölçüm (40 m) bütün halatların uzunluğunu veriyor.
Direkli tarla tam bir saha problemi: 16 direkli üçgen bir tarlada, iki direk arasına
metre açmadan ne kadar tel gerektiğini hesaplamak.
Tek bilinen uzunluk |AM| = 108 m; doğru direk çifti
seçilince |CJ| = 72 m ve |DH| =
36 m doğrudan çıkıyor. Ölçüm yerine benzerlik kullanmak, tarlada yürünecek yüzlerce
metreyi ortadan kaldırıyor.
Oyun ekranının köşesindeki küçük harita, sahanın ölçekli bir
benzeridir. Minimap’te iki takım arasındaki mesafe 3 piksel görünüyorsa gerçek mesafe
o oranın tam katıdır.
Deneyimli oyuncuların “oraya 6 saniyede varır” demesi
aslında bir benzerlik hesabı: minimap ölçeği × koşu hızı. Şekle bakmadan
oranla düşünmek, bu ünitenin tam olarak öğrettiği şey.
Yürüyüş uygulamaları “rotanın %60’ını tamamladın, 1500 m
yüksektesin” der. Eğim sabitse zirve yüksekliğini kendin hesaplayabilirsin:
1500 / 0,6 = 2500 m.
Dağ yolu probleminin aynısı. Dikkat edilecek tek şey oranın nereden
ölçüldüğü: “yolun 3/5’i tırmanıldı” ile “zirveye 3/5 kaldı” bambaşka iki şey.
Dikiş kalıplarında bir bedeni öteki bedene çevirmek için kalıbın kenarları
aynı oranda büyütülür — kalıbın kendisi bir üçgen olmasa da
içindeki her üçgen benzer kalır.
Kalıbı büyütürken yalnız bir yönde çekersen elbise
bozulur; iki yönde aynı oranda büyütürsen
benzerlik korunur. Terzinin “orantılı büyüt” dediği şey,
bu ünitenin tek cümlelik özeti.
48 soruluk test · benzer üçgen kurmanın dört yolu, 16 direk problemi ve düz/çapraz eşleşme, dağcı ve köprü problemleri, dik üçgende üç benzer üçgen, yardımcı paralel çizme tekniği, ağırlık merkezi ve açıortay teoremi
Bir kenara paralel çizilen doğru parçası A.A benzerliği
üretir.
|AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC|
Ayrıca |AD|/|DB| = |AE|/|EC|.
Ortak köşeyi oluşturan kenarlar orantılıysa
K.A.K benzerliği çalışır.
Paralellik şart değildir.
Dik üçgende dik köşeden hipotenüse inen yükseklik
üç benzer üçgen üretir.
Üçünün de açıları {x, y, 90°}.
|AM| = 108 m · [AF] 6, [FM] 9 aralık.
D-H: 36 m · C-J: 72 m
Ç-Ğ: 36 m · A-I: 72 m
(çapraz eşleşme)
Yolun 3/5’inde 1500 m ⇒ zirve
2500 m.
Yolun yarısında ⇒ 1250 m.
Oran tabandan ölçülür.
[DK] ∥ [AB] çizilir ⇒ |CK| = 7, |DK| = 3, |KE| = 3.
DKE ikizkenar, tepe açısı 70° ⇒ taban 55° ⇒
m(DEC) = 125°.
[EK] ∥ [DC] çizilir ⇒ |EK| = p/2, |AK| = |KD|.
|BF|/|FE| = 4
|AF|/|FD| = 3/2
|RH| = 40, |HS| = 90 ⇒ |PH| = 60 m.
|RS| = 130 ⇒ |PR| ≈ 72, |PS| ≈ 108.
Toplam halat ≈ 360 m.
· Ağırlık merkezi kenarortayı 2 : 1 böler.
· Açıortay teoremi: |AD|/|DC| = |AB|/|BC|
· “Paralelse benzerdir” doğru;
“benzerse paraleldir” yanlış.