Üç teorem,
tek kaynak.
Bu ünitedeki üç teoremin üçü de benzerlikten çıkıyor. Tales paralel doğruları, Öklid dik üçgenin içindeki üç benzer üçgeni, Pisagor da Öklid’in iki bağıntısını topluyor. Tales’in Mısır piramitlerinin yüksekliğini gölgesinden ölçmesi de, Pisagor teoreminin 300’den fazla kanıtı olması da aynı zincirin halkaları.
Teorem: birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen
üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
d₃ ∥ d₄ ∥ d₅ ve bunları kesen iki farklı doğru d₁, d₂ olmak üzere
|AB| / |BC| = |DE| / |EF|.
Tales şöyle tanıtılır: geometrinin sadeleştirilmesine ve
daha anlaşılır olmasına önemli katkılarda bulunmuştur; ortaya koyduğu Tales teoremi ile paralel
doğrular ve kesenler arasındaki ilişkileri açıklayarak temel geometrik ilkeleri daha erişilebilir
hâle getirmiştir. Piramitlerin yüksekliğini ölçerken kullandığı yöntem de buydu: toprağa dikili
bir çubuğun gölgesiyle piramidin gölgesini karşılaştırmak.
d₃ ∥ d₄ ∥ d₅ üç paraleli, d₁ ve d₂ kesenlerini A-B-C ve D-E-F noktalarında kessin.
A noktasından d₂’ye paralel bir doğru çizilirse, bu doğru d₄
ve d₅’i iki noktada keser ve iki paralelkenar oluşur.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan bu noktaların A’ya uzaklıkları
|DE| ve |DF| olur.
Böylece elde edilen iki üçgen A.A ile benzerdir (ortak A açısı
+ paralellikten yöndeş açı) ve
|AB| / |AC| = |DE| / |DF|
çıkar. Orantının içler-dışlar düzenlemesiyle bu,
|AB| / |BC| = |DE| / |EF| ile aynı şeydir.
Kısacası: Tales teoremi bağımsız bir keşif değil,
benzerliğin paralel doğrulara uygulanmış hâlidir.
Meral A, B ve C noktalarına çubuklar dikiyor. Emine A ile B’nin hizasına gelerek
E, A ile C’nin hizasına gelerek D
noktasını işaretliyor. Ölçülen değerler:
|BC| = 5 m, |AC| = 12 m, |DE| = 25 m ve
[BC] ∥ [ED]. Göletin genişliği |CD| soruluyor.
[BC] ∥ [ED] olduğundan ABC ∼ AED:
|AC| / |AD| = |BC| / |ED|
A, C, D doğrusal olduğundan |AD| = |AC| + |CD| = 12 + |CD|.
12 / (12 + |CD|) = 5 / 25 = 1 / 5
12 · 5 = 12 + |CD| ⇒ 60 = 12 + |CD| ⇒
|CD| = 48 m.
Ne öğretiyor: göle hiç girmeden, yalnız kıyıda
üç ölçüm yaparak genişliği bulmak. Tales’in piramitlerde
yaptığı da tam olarak buydu.
Kontrol Noktası’ndaki ilk madde: bir ABC üçgeninde d₁ ∥ d₂
olmak üzere |AD| / |DB| = |AE| / |EC|’dir.
Bu, Tales teoreminin üçüncü paralelin tek bir noktaya büzülmüş
hâli: iki kesen A köşesinde birleşiyor. Aynı şekilde
|AD| / |AB| = |AE| / |AC| = |DE| / |BC| de doğrudur — ama
bu iki orantıyı karıştırmamak gerekir; ikisi ayrı bütünlerle
kurulmuştur.
ABC üçgeninde E, F ∈ [AC], D ∈ [AB], [DF] ∥ [BE],
[DE] ∥ [BC], |AF| = 4,
|FE| = 3 cm. |EC| soruluyor.
Birinci paralel — [DF] ∥ [BE], ABE üçgeninde:
|AD| = p, |DB| = k dersek
p / k = |AF| / |FE| = 4 / 3.
İkinci paralel — [DE] ∥ [BC], ABC üçgeninde:
|AE| / |EC| = p / k = 4 / 3.
|AE| = |AF| + |FE| = 4 + 3 = 7 olduğundan
7 / |EC| = 4 / 3 ⇒
|EC| = 21 / 4 cm.
Kalıp: iki paralel varsa
aynı oran (p/k) iki ayrı üçgende birden karşımıza çıkar;
onu köprü olarak kullanırız.
Boyu 1,6 m olan Şükrü’nün günün belli bir saatindeki gölgesi
2,4 m. Aynı anda bir ağacın gölgesi
33 m. Ağacın boyu soruluyor.
Güneş ışınları paralel geldiğinden iki dik üçgen
A.A ile benzerdir (biri güneş açısı, biri dik açı).
1,6 / 2,4 = |ED| / 33
|ED| = 33 · (2/3) = 22 m.
Tarihsel not: ünitenin açılışında anlatılan
Tales’in piramit ölçümü birebir bu yöntem — [ED] toprağa
dikili çubuk, [AH] piramidin yüksekliği,
[DF] ve [HF] ise iki gölge.
Arif, rüzgâr türbininin boyunu basit bir kamera düzeneğiyle ölçüyor. Türbinin kameradaki
görüntüsünün uzunluğu |AB| = 4 cm, kameranın genişliği
|FB| = 15 cm, türbinin kameranın ayağına uzaklığı
|DG| = 3000 cm.
Görüntü düzlemi ile türbin paralel olduğundan iki üçgen A.A ile
benzerdir:
|DC| / |AB| = |DG| / |FB|
|DC| = 4 · 3000 / 15 = 800 cm, yani
8 m.
Dikkat: bütün uzunluklar
cm cinsinden verilmiş; oranı kurarken birimleri karıştırma.
Sonucu metreye çevirmek son adımdır, ortada değil.
23. örneğin yanındaki kutu bu şekli özetliyor: A, E, D
ve B, E, C noktaları doğrusal, [AB] ∥ [CD] olmak üzere a/d = b/c = e/f.
İki paralel doğru parçası, uçlarından çaprazlama birleştirildiğinde
kum saatine benzeyen bir şekil çıkar. Kesim noktasındaki
ters açılar ve paralellikten gelen
iç ters açılar benzerliği hemen verir.
Mum alevinin ışığı karton kutuya açılan delikten geçip karşı yüzeyde
baş aşağı bir görüntü oluşturuyor.
[AB] ∥ [CD], |AB| = 12 cm,
|BH| = 16 cm, |HD| = 8 cm.
[AB] ∥ [CD] ve B, H, D doğrusal olduğundan
m(ABD) = m(BDC) (iç ters),
m(BAH) = m(HCD) (iç ters),
m(BHA) = m(DHC) (ters açı) ⇒
AHB ∼ CHD (A.A).
|BH| / |HD| = |AB| / |CD|
16 / 8 = 12 / |CD| ⇒ |CD| = 6 cm.
Fizikteki adı: bu düzenek
iğne deliği kamerası (pinhole); görüntünün baş aşağı
çıkmasının sebebi de bu benzerliğin ters yönlü olması.
ABC ve DCB dik üçgenlerinde m(ABC) = m(DCB) = 90°, [AC] ∩ [BD] = {E},
[AB] ∥ [DC] ∥ [EF], |AB| = b, |DC| = c, |EF| = a.
Bağıntı elde edilecek.
|BF| = x, |FC| = y olsun.
· [AB] ∥ [EF] ⇒ EFC ∼ ABC ⇒
a / b = y / (x + y)
· [DC] ∥ [EF] ⇒ EFB ∼ DCB ⇒
a / c = x / (x + y)
İkisi taraf tarafa toplanır:
a/b + a/c = (y + x) / (x + y) = 1
a parantezine alınıp bölünürse
1/a = 1/b + 1/c.
Kısayol: bu bağıntının bir başka yazılışı
a = b·c / (b + c)’dir. |AB| = 6 ve |DC| = 12 verilen
13. Sıra Sizde 2’de |EF| = 6·12 / 18 = 4 cm.
|AB| = |AC| ve |BC| = 28 cm olan ikizkenar bir karton, önce
[AD] boyunca C köşesi B ile çakışacak şekilde, sonra [EF] boyunca B köşesi D ile çakışacak
şekilde katlanıyor. Son şekilde AED üçgeninin çevresi 42 cm.
EFD üçgeninin çevresi soruluyor.
· Birinci katlamadan [AD] ⊥ [BC] ve D, [BC]’nin orta noktası ⇒
|BD| = |DC| = 14 cm.
· İkinci katlamadan [EF] ⊥ [BD], |ED| = |EB| ve
|BF| = |FD| = 7 cm.
Açı takibiyle EAD üçgeninin de ikizkenar olduğu çıkar:
|EA| = |ED| = x. E ve F, [AB] ve [BD]’nin orta noktaları
olduğundan [EF] orta tabandır ⇒ |EF| = y iken
|AD| = 2y.
AED çevresi: x + x + 2y = 42 ⇒
x + y = 21.
EFD çevresi: |EF| + |FD| + |DE| = y + 7 + x = 21 + 7 = 28 cm.
Teorem: bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi,
bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
BAC dik üçgeninde [AH] ⊥ [BC], |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h, |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olmak
üzere üç bağıntı:
h² = p · k ·
b² = k · a ·
c² = p · a
Üçü de bir önceki ünitedeki “dik köşeden inen yükseklik üç benzer
üçgen üretir” maddesinden çıkıyor. Aşağıdaki gezginde hangisinin hangi benzerlikten geldiğini
tek tek görebilirsin.
1) h² = p · k
ABH ve CAH üçgenlerinde ikisi de dik; m(BAH) = m(ACH) (ikisi de m(ABH)’nin tümleri) ⇒
ABH ∼ CAH.
|BH| / |AH| = |AH| / |CH| ⇒
h² = p · k.
2) c² = p · a
B açısı ABH ile ABC’de ortak; ikisinde de dik açı var ⇒
ABH ∼ CBA.
|AB| / |CB| = |BH| / |BA| ⇒
c² = p · a.
3) b² = k · a
C açısı ACH ile ACB’de ortak; ikisinde de dik açı var ⇒
ACH ∼ BCA.
|AC| / |BC| = |CH| / |CA| ⇒
b² = k · a.
Hafızada tutma yolu: her dik kenarın karesi,
kendi ayağı × hipotenüs; yüksekliğin karesi ise
iki ayağın çarpımı.
Çatı ABC üçgeni şeklinde tasarlanmış; [BA] ⊥ [CA] (tepe açısı
dik) ve [AD] ⊥ [BC]. Verilenler:
|BD| = 18 m ve |BC| = 68 m.
Önce eksik parça: |DC| = 68 − 18 = 50 m.
a) |AD| kaç m?
Öklid’den |AD|² = |BD| · |DC| = 18 · 50 = 900 ⇒
|AD| = 30 m.
b) |AB| yaklaşık kaç m?
|AB|² = |BD| · |BC| = 18 · 68 = 1224 ⇒
|AB| = √1224 ≈ 35 m.
c) |AC| kaç m?
|AC|² = |DC| · |BC| = 50 · 68 = 3400 ⇒
|AC| = 10√34 ≈ 58,3 m.
Sağlama: 1224 + 3400 = 4624 ve 68² = 4624 —
Pisagor tutuyor. Öklid’in iki bağıntısını topladığında
Pisagor’un kendisi çıkıyor; bir sonraki bölümün ispatı tam olarak bu.
ABC ve DBE dik üçgenlerinde B, F, E, C doğrusal; [BA] ⊥ [CA], [AE] ⊥ [BC], [BD] ⊥ [DE],
[DF] ⊥ [BE]. |AC| = 12 cm,
|CE| = 6 cm, |BF| = 3 cm.
|DB| soruluyor.
Birinci üçgen: BAC dik üçgeninde [AE] hipotenüse ait
yükseklik ⇒ |AC|² = |CE| · |CB| ⇒
12² = 6 · |CB| ⇒ |CB| = 24 cm.
Buradan |BE| = 24 − 6 = 18 cm.
İkinci üçgen: BDE dik üçgeninde [DF] hipotenüse ait
yükseklik ⇒ |DB|² = |BF| · |BE| ⇒
|DB|² = 3 · 18 = 54 ⇒
|DB| = √54 = 3√6 ≈ 7,35 cm.
Kalıp: iki dik üçgen zincirlendiğinde birinin
çıktısı (24) ötekinin girdisi oluyor. Böyle sorularda
hangi hipotenüsün hangi yüksekliğe ait olduğunu yazarak başla.
A, B, C, E evlerinde [AE] ⊥ [BC],
[BA] ⊥ [CA], B, E, C doğrusal.
|AE| = 12 m, |BC| = 25 m ve
|AC| > |AB|. |AC| soruluyor.
Öklid’den |AE|² = |BE| · |EC| ⇒
|BE| · |EC| = 144, ayrıca
|BE| + |EC| = 25.
Toplamı 25, çarpımı 144 olan iki sayı: 9 ve 16.
|AC| > |AB| olduğundan |EC| > |BE| ⇒ |EC| = 16.
|AC|² = |EC| · |BC| = 16 · 25 = 400 ⇒
|AC| = 20 m.
Not: “|AC| > |AB|” koşulu boşuna verilmemiş —
o olmasaydı 9 mu 16 mı olduğunu seçemezdik ve iki farklı
cevap çıkardı.
Teorem: bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının
kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir:
a² + b² = c².
MÖ 6. yüzyılda Antik Yunan matematikçisi
Pisagor ve “Pisagor Okulu”nda yetişen öğrenciler teoremi sistematik olarak çalışmış ve
kanıtlamış; Pisagor teoremini yalnızca geometrik şekiller üzerinde değil
sayıların arasındaki ilişkileri anlamak için de kullanmış.
Teoremin 300’den fazla kanıtı vardır ve Öklid’in
Elemanlar adlı eserinde ayrıntılı olarak ele alınmıştır.
12. Uygulama’da teorem Öklid teoremi kullanılarak
ispatlatıyor. Üç satırlık iş:
Dik köşeden hipotenüse yükseklik indirilir; hipotenüs
p ve k parçalarına ayrılır ve
a = p + k olur.
Öklid’in iki bağıntısı:
c² = p · a ve
b² = k · a
Taraf tarafa toplanır:
b² + c² = k · a + p · a = a · (k + p) = a · a = a².
Yani dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine
eşittir. 300 kanıttan biri, üç satır.
Kısa kenarı 120 cm, uzun kenarı
240 cm olan dikdörtgen yazı tahtası, A-D-C
noktalarındaki vidalar kırılınca B noktası etrafında
dönüyor. E, ilk konumdaki [AD] ile son konumdaki [C′D′] kenarının kesim noktası ve
|AE| = 30 cm. |EC′| soruluyor.
1) EAB dik üçgeni:
|EB|² = |EA|² + |AB|² = 30² + 240² = 900 + 57 600 =
58 500
2) EC′B dik üçgeni: döndürme uzunlukları koruduğundan
|EB| değişmez ve |C′B| = 120 cm.
|EB|² = |EC′|² + |C′B|² ⇒ 58 500 = |EC′|² + 14 400 ⇒
|EC′|² = 44 100 ⇒
|EC′| = 210 cm.
Püf noktası: |EB|’yi
kökten çıkarmaya hiç gerek yok — iki dik üçgende de
karesi kullanılıyor. Kökle uğraşmak burada zaman kaybı.
Birim kareli zeminde A noktası, sırayla I, II ve III numaralı doğru parçalarına göre
yansıtılarak A′, B′ ve C′ noktaları elde ediliyor. |A′C′|
soruluyor.
Yansımalar uzunlukları korur, ama burada işimize yarayan
şey noktaların birim kareli zemindeki
yeni koordinatları.
A′B′C′ dik üçgeninde dik kenarlar 16 ve 12 birim çıkıyor:
|A′C′|² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 ⇒
|A′C′| = 20 birim.
Dikkat: 12-16-20, ünlü
3-4-5 üçlüsünün 4 katı. Birim kareli zeminde çalışırken
bu üçlüleri tanımak hesabı bitirir.
ABC eşkenar üçgeninde [DE] ∥ [AB], [AD] ⊥ [BC], [EF] ⊥ [AD], D ∈ [BC] ve E ∈ [AC].
|AB| / |FB| oranı soruluyor.
· Eşkenar üçgende bütün açılar 60°. [AB] ∥ [DE] olduğundan
yöndeş açıdan m(EDC) = 60° ⇒ EDC de eşkenar.
|ED| = |DC| = |CE| = 2x alınsın.
· Eşkenar üçgende [AD] hem açıortay hem yükseklik hem kenarortay ⇒
|BD| = |DC| = 2x ⇒ kenar
|AB| = |BC| = |AC| = 4x.
· ADC üçgeninde [FE] orta taban ⇒ |FE| = x.
Birinci Pisagor — FED dik üçgeninde:
|FD|² = |ED|² − |FE|² = (2x)² − x² = 3x² ⇒
|FD| = x√3.
İkinci Pisagor — FDB dik üçgeninde:
|FB|² = |FD|² + |BD|² = 3x² + 4x² = 7x² ⇒
|FB| = x√7.
|AB| / |FB| = 4x / (x√7) = 4 / √7 = 4√7 / 7.
a² + b² = c² eşitliğini sağlayan tam sayı üçlüleri sınavda
kök almadan sonuç verir:
3 – 4 – 5 ·
5 – 12 – 13 ·
8 – 15 – 17
7 – 24 – 25 ·
9 – 40 – 41 ·
20 – 21 – 29
Katları da üçlüdür: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50, 12-16-20…
Örneklerde 30-40-50 (masa örtüsü),
12-16-20 (yansımalar) ve
5-12-13 zaten geçiyor.
Teoremin karşıtı da doğrudur: bir üçgende
a² + b² = c² sağlanıyorsa o üçgen dik üçgendir.
Kenarları 8, 15, 17 verilen bir üçgenin dik olduğunu böyle anlarsın.
Pisagor’dan tek satırda çıkan, sınavda sürekli işe yarayan iki oran:
45° – 45° – 90° ⇒ kenarlar
1 : 1 : √2
(Bir karenin köşegeni kenarının √2 katıdır.)
30° – 60° – 90° ⇒ kenarlar
1 : √3 : 2
(Kenarı a olan eşkenar üçgenin yüksekliği a√3 / 2’dir;
27. örnekte kullanılan √3 buradan gelir.)
Nereden çıkıyor: eşkenar üçgeni yüksekliğiyle
ikiye böl — 30-60-90 üçgeni elde edilir. Kareyi köşegeniyle ikiye böl —
45-45-90 üçgeni elde edilir. İkisi de tek bir Pisagor
uygulamasıyla bulunur.
Pisagor uygulamasının 6. adımında bir soru sorulur: “üçgenin bir iç açısının ölçüsü
90°’den büyükse (ya da küçükse) bu açının karşısındaki kenar uzunluğu ile diğer kenarlar
arasındaki ilişkiyi bulunuz.” Kontrol Noktası’ndaki cevap:
m(BCA) > 90° ⇒ c² > a² + b²
m(BCA) < 90° ⇒ c² < a² + b²
Bunlar Pisagor’un yerine geçmez, onu tamamlar: iki kenar sabitken
aradaki açı büyüdükçe karşı kenar uzar.
Üç üçgende de aynı iki kenar var: 3 ve 4 birim. Fark
aralarındaki açıda:
· DEF: m(E) = 90° · ABC:
m(B) > 90° · KLM: m(L) < 90°
DEF (dik): Pisagor’dan
|DF| = 5 birim.
ABC (geniş): önce üçgen eşitsizliği —
4 − 3 < |AC| < 4 + 3 ⇒ 1 < |AC| < 7. Ayrıca açı 90°’den büyük olduğundan
|AC| > |DF| = 5. İkisi birleşir:
5 < |AC| < 7.
KLM (dar): açı 90°’den küçük olduğundan
|KM| < 5; üçgen eşitsizliğinden de |KM| > 1 ⇒
1 < |KM| < 5.
Yöntem: önce
üçgen eşitsizliğiyle geniş aralığı bul, sonra
açı bilgisiyle daralt.
ABC üçgeninde |AB| = 5, |AC| = 12
birim ve m(BAC) > 90°. |BC|’nin alabileceği tam sayı
değerlerinin toplamı soruluyor.
Alt sınır (açıdan): açı 90° olsaydı
|BC| = √(5² + 12²) = 13 olurdu. Açı 90°’den büyük olduğuna
göre |BC| > 13.
Üst sınır (üçgen eşitsizliğinden):
|BC| < 5 + 12 = 17.
13 < |BC| < 17 ⇒ tam sayılar
14, 15, 16 ⇒ toplam
45.
Uyarı: 13 ve 17 dâhil
değil — 13 dik açıya, 17 doğrusallığa karşılık gelir; ikisi de bu üçgende yasak.
ABC eşkenar üçgeninde D ∈ [BC], |BD| = 2 cm ve
|DC| = 8 cm. |AD| soruluyor.
Kenar: |BC| = 2 + 8 = 10 cm ⇒ eşkenar olduğundan
bütün kenarlar 10.
A’dan [BC]’ye yükseklik [AH] indirilir; eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortaydır ⇒
|BH| = |HC| = 5 cm.
Pisagor’dan |AH|² = 10² − 5² = 75.
D noktası B’den 2 cm uzakta, H ise 5 cm uzakta ⇒
|DH| = 5 − 2 = 3 cm.
ADH dik üçgeninde Pisagor:
|AD|² = |AH|² + |DH|² = 75 + 9 = 84 ⇒
|AD| = 2√21 cm.
ABCD dörtgeninde [AC] ⊥ [BD],
|AB| = 9, |BC| = 17,
|AD| = 24 cm. |DC| soruluyor.
Köşegenlerin kesim noktası E olsun; dört küçük dik üçgen oluşur. Parçalara
|AE| = m, |EC| = n, |BE| = r, |ED| = s densin. Dört kez Pisagor:
|AB|² = m² + r²
|BC|² = n² + r²
|AD|² = m² + s²
|DC|² = n² + s²
Birinci ile dördüncüyü toplarsan m² + r² + n² + s²; ikinci ile üçüncüyü toplarsan yine
m² + r² + n² + s². Yani
|AB|² + |DC|² = |BC|² + |AD|².
81 + |DC|² = 289 + 576 ⇒ |DC|² = 784 ⇒
|DC| = 28 cm.
Not: bu bağıntı yalnız
köşegenleri dik olan dörtgenlerde geçerlidir;
diklik yoksa hiçbir şey söylemez.
B, C, D doğrusal; [AB] ⊥ [BC],
[CD] ⊥ [DE], |AB| = 12,
|DE| = 6, |BD| = 24 cm.
C noktası [BD] üzerinde serbestken |AC| + |CE|’nin
alabileceği en küçük değer soruluyor.
|BC| = x dersek |CD| = 24 − x ve
|AC| = √(12² + x²), |CE| =
√(6² + (24 − x)²).
Yansıtma hamlesi: E noktasını [BD] doğrusuna göre yansıt,
E′ elde edilsin. |CE| = |CE′| olduğundan toplam
|AC| + |CE′| olur; bu toplam ancak A, C, E′
doğrusal olduğunda en küçüktür (iki nokta arasındaki en kısa
yol doğru parçasıdır).
A ile E′ arasındaki dikey fark 12 + 6 = 18, yatay fark
24 ⇒
en küçük değer = √(18² + 24²) = √(324 + 576) = √900 =
30 cm.
Tanıdık geldi mi: 18-24-30, yine
3-4-5 üçlüsünün 6 katı.
Arama kutusuna “paralel”, “dik”, “yükseklik”, “hipotenüs” gibi bir sözcük yaz; hangi teoremi kullanman gerektiğini gör.
1) Öklid’de hangi parça hangi kenarla eşleşir?
c² = p · a’da p,
c kenarının ayağıdır — yani c dik kenarının hipotenüs üzerine
düşen izdüşümü. Karşı taraftaki parçayı yazarsan sonuç yanlış çıkar ama
hesap “sorunsuz” görünür.
Çare: her zaman
“dik kenarın karesi = kendi ayağı × hipotenüs” diye oku.
2) Yükseklik hipotenüse mi ait?
Öklid bağıntıları yalnız dik köşeden hipotenüse inen yükseklik
için geçerlidir. Bir dik kenara ait yükseklikte
hiçbiri çalışmaz. Şekilde dik açının nerede olduğunu
önce işaretle.
3) Tales’te payda karışması.
|AB| / |BC| = |DE| / |EF| (parça/parça) ve
|AB| / |AC| = |DE| / |DF| (parça/bütün) — ikisi de doğru, ama
karıştırılırsa ikisi de yanlış olur. Yazmadan önce
“iki tarafta da aynı şeyi mi ölçüyorum” diye sor.
Benzerlik (ünite 18) ⇒
dik köşeden yükseklik üç benzer üçgen verir (ünite 19) ⇒
Öklid bağıntıları ⇒ ikisi toplanınca
Pisagor.
Tales ise aynı zincirin öteki dalı: benzerliğin
paralel doğrulara uygulanmış hâli.
Bu yüzden bu ünitede ezberlenecek şey üç ayrı formül değil,
tek bir fikir: aynı biçimdeki üçgenlerde
karşılıklı kenarların oranı sabittir. Formüller o fikrin
farklı şekillerdeki görünüşleri.
Durumlar karışık sırayla geliyor. Hangi teoremi kullanacağını — ya da sonucu — seç.
Tales piramitleri gölgesinden ölçtü, Pisagor sayıların ilişkilerini aradı, Öklid hepsini Elemanlar’da topladı. Bugün aynı üç fikir cebindeki telefonda, okulun bahçesinde ve oynadığın oyunun içinde çalışıyor.
Telefon ekranlarının boyu köşegen olarak verilir. En-boy
oranı 19,5 : 9 olan 6,1 inçlik bir ekranın gerçek eni ve boyu
Pisagor’la bulunur.
Aynı köşegen uzunluğunda ama daha kare bir ekranın
alanı daha büyüktür. “6,1 inç” tek başına ekranın ne kadar
geniş olduğunu söylemez — reklamların söylemediği şey tam olarak bu.
Öğle arasında bahçeye çık: boyunu ve gölgeni ölç, sonra ağacın gölgesini ölç.
Tales’in piramit yöntemi hiç değişmeden çalışır.
Örnekte 1,6 m boy, 2,4 m gölge ve 33 m ağaç gölgesi
22 m veriyor. Tek şart: iki ölçümün
aynı anda yapılması — güneşin açısı dakikalar içinde değişir.
Bir ayakkabı kutusuna iğneyle delik aç, karşı yüzeye yağlı kâğıt yapıştır, karanlık bir odada
mum tut: görüntü baş aşağı çıkar.
Görüntünün boyu kum saati benzerliğiyle hesaplanır:
|AB| = 12 cm alev, delik 16 cm uzakta, yüzey delikten 8 cm ötede ⇒ görüntü
6 cm. Kutuyu uzatırsan görüntü büyür — kaydırakla
deneyebilirsin.
Duvardaki boşluk 125 cm ve almak istediğin televizyon 55 inç (≈ 140 cm
köşegen). Sığar mı?
16 : 9 oranında köşegeni 140 cm olan ekranın eni Pisagor’dan yaklaşık
122 cm çıkar — sığar.
Köşegenle eni karıştırmak, alışverişte en pahalıya patlayan geometri hatasıdır.
Futbol sahasında köşe bayrağından ceza sahasının uzak köşesine atılan pasın uzunluğu, iki dik
mesafenin hipotenüsüdür.
15. Sıra Sizde 2’sindeki park sorusu birebir aynı: 120 m ve 90 m kenarlı bir
dikdörtgende köşegen 150 m. Kenardan dolaşmak
210 m; kısa yol
60 metre kazandırıyor. (Ama hızlar farklıysa
süreyi hesaplaman gerekir — 210/2 = 105 s, 150/1,5 = 100 s.)
İnşaatta bir köşenin gerçekten dik olup olmadığını anlamak için usta bir kenarda
3 birim, ötekinde 4 birim
işaretler ve aradaki mesafeyi ölçer: tam 5 çıkarsa köşe diktir.
Bu, Pisagor teoreminin karşıtıdır: a² + b² = c² sağlanıyorsa
üçgen dik üçgendir. Gönye taşımadan diklik kontrol etmenin en eski yolu; Mısır’da ip
gerdirenler de aynı üçlüyü kullanıyordu.
5 metrelik bir merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaktaysa üst ucu duvarda
4 metre yükseğe dayanır — yine 3-4-5.
Merdiveni duvara yaklaştırdıkça tırmanılan yükseklik artar
ama devrilme riski de artar; güvenlik kuralı “duvara olan
uzaklık merdiven boyunun dörtte biri” der. Yani 5 m’lik merdiven için
1,25 m — ulaşılan yükseklik ≈ 4,84 m.
Açık dünya oyunlarında iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayan kod, birebir
Pisagor teoremidir: yatay fark ve dikey farkın karelerinin
toplamının karekökü.
Oyun geliştiricileri hız için genellikle karekökü hiç almaz,
yalnız kareleri karşılaştırır — 26. örnekteki “|EB|’yi kökten çıkarmaya gerek yok”
püf noktasının aynısı. Aynı fikir, aynı tasarruf.
Bir nehrin kenarında yürüyüp karşıya geçmen gereken bir rotada uygulamanın seçtiği nokta,
alıştırma 10’daki gibi yansıtma yöntemiyle bulunur.
Fikir tek cümle: hedefi karşı tarafa yansıt, düz çizgi çek.
12 ve 6 metrelik iki dikey, 24 metrelik bir yatayla birleştiğinde en kısa yol
30 m çıkıyor — ışığın aynadan yansırken izlediği yol da
tam olarak budur.
48 soruluk test · Tales ve temel orantı teoremi, kum saati benzerliği, Öklid’in üç bağıntısı ve ispatı, Pisagor teoremi ve Öklid’den ispatı, Pisagor üçlüleri ve özel üçgenler, dar/dik/geniş açı karşılaştırması, gölet · gölge · mum · çatı · yazı tahtası problemleri
Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde
orantılı doğru parçaları oluşturur.
|AB|/|BC| = |DE|/|EF|
ABC üçgeninde d₁ ∥ d₂ ise
|AD|/|DB| = |AE|/|EC|
Ayrıca |AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC|.
[AB] ∥ [CD] ve çaprazlar E’de kesişiyorsa
a/d = b/c = e/f.
Mum örneği: 16/8 = 12/|CD| ⇒
|CD| = 6 cm.
h² = p · k
b² = k · a
c² = p · a
Yükseklik hipotenüse ait olmalı.
a² + b² = c²
İspatı: Öklid’in c² = p·a ve
b² = k·a bağıntıları toplanır, p + k = a kullanılır.
Karşıtı da doğrudur.
m(C) > 90° ⇒ c² > a² + b²
m(C) = 90° ⇒ c² = a² + b²
m(C) < 90° ⇒ c² < a² + b²
3-4-5 · 5-12-13 · 8-15-17
7-24-25 · 9-40-41 · 20-21-29
Katları da üçlüdür: 12-16-20, 30-40-50…
45-45-90 ⇒ 1:1:√2 ·
30-60-90 ⇒ 1:√3:2
· Gölet: |CD| = 48 m
· Ağaç: 22 m · Türbin: 800 cm
· Mum: 6 cm · |EC| = 21/4
· Çatı: h = 30 m, |AB| ≈ 35 m
· Tahta: |EC′| = 210 cm
· Yansımalar: 20 birim
· Öklid’de her dik kenar kendi ayağıyla eşleşir.
· Yükseklik hipotenüse ait değilse Öklid çalışmaz.
· Tales’te parça/parça ile
parça/bütün karıştırılmaz.
· Ekran boyu köşegendir, en değil.