Aynı biçim,
başka boy.
Eşlikte iki üçgen aynıydı. Benzerlikte ise açılar aynı, kenarlar orantılı: biri ötekinin k katı. Bu tek sayı sayesinde piramidin yüksekliği gölgesinden, denizin derinliği iki geminin arasından, bir ilin uzaklığı haritadaki santimetreden hesaplanabiliyor.
Tanım iki koşulu birlikte veriyor:
m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) ve
|AB| / |DE| = |BC| / |EF| = |AC| / |DF| = k ise
ABC ∼ DEF ve bu üçgenlerin benzerlik
oranı k’dır.
Benzerlik ∼ sembolü ile gösterilir ve — eşlikte olduğu gibi —
karşılıklı köşeler aynı sırada yazılır. Ders kitabı ayrıca
yazdığı bir cümle var, bu ünitenin en çok işe yarayan cümlelerinden:
benzer iki üçgenin benzerlik oranı 1 ise bu üçgenler eş üçgenlerdir.
Yani eşlik, benzerliğin özel hâlidir.
Benzerlik oranı k ise:
· Her kenar k katı olur.
· Çevre de k katı olur — çünkü çevre kenarların toplamıdır ve
her terim k ile çarpılmıştır. 8. örnek tam olarak bunu kullanıyor.
· Alan ise k² katı olur —
çünkü hem taban hem yükseklik k katına çıkar, alan da ikisinin çarpımının yarısıdır.
Kısacası: uzunluk k, alan k². Kenarları 2 katına çıkan bir
üçgenin alanı 4 katına çıkar; “iki katına” değil.
A.A benzerliği için iki açı gerekir; sorularda bunlar genellikle
verilmez, görülür:
· Ortak açı: iki üçgen bir köşeyi paylaşıyorsa o açı ikisinde
de aynıdır (9., 12., 14. örneklerin hepsi bunu kullanır).
· Ters açılar: iki doğru parçası kesişiyorsa kesim
noktasındaki ters açılar eşittir.
· Yöndeş ve iç ters açılar: paralellik varsa eşitlik hazırdır.
· Dik açılar: iki üçgende de 90° varsa bir eşitlik zaten var,
bir tane daha bulmak yeter.
Bir soruda paralellik ya da diklik gördüğünde
önce açı eşitliği ara; benzerlik oradan gelir.
Kural: iki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Eşlikteki K.K.K’dan tek farkı “eşit” yerine “orantılı” demesi.
Rüzgâr, yaz tatilinde gideceği illeri 1 / 2 000 000 ölçekli
haritada işaretleyip bir ABC üçgeni oluşturuyor; üçgenin çevresini
39 cm ölçüyor. Rotanın kuş uçuşu uzunluğu soruluyor.
1 / 2 000 000 ölçek demek, haritadaki her uzunluğun gerçeğinin
iki milyonda biri olması demek. Gerçek rota A′B′C′ üçgeniyle modellenirse iki üçgenin
üç kenarı da aynı oranda ⇒ K.K.K
benzerliği, benzerlik oranı 2 000 000.
Çevreler de aynı oranda olduğundan:
39 · 2 000 000 = 78 000 000 cm
1 km = 100 000 cm olduğundan
78 000 000 / 100 000 = 780 km.
Harita ölçeği 1 / n yazıldığında bu, haritanın gerçeğe
benzerlik oranıdır. Üç şey doğrudan çıkar:
· Haritadaki uzunluk × n = gerçek uzunluk
· Haritadaki çevre × n = gerçek çevre
· Haritadaki alan × n² = gerçek alan
Son satır en çok hata yapılan yer: 1/1000 ölçekli bir planda 5 cm² görünen bir oda
5000 cm² değil, 5 · 1000² =
5 000 000 cm² = 500 m² olur.
Birim çevirmeyi de unutma: 1 km = 100 000 cm,
1 m = 100 cm.
Birim kareli zeminde [AC] bir yürüyüş yolu; A ve B noktalarındaki iki hareketli
aynı anda, aynı yöne, sabit hızlarla yola çıkıyor. Hızlı olan,
yavaş olanı C noktasında yakalıyor. Hızların oranı soruluyor.
Çözümde [DC] ve [AE] çizilip D ile E birleştiriliyor: |DC| = 2,
|AE| = 3 birim ve [DC] ∥ [AE]. Paralellikten
iç ters açılar eşit ⇒ CDB ∼ AEB
(A.A).
Buradan |BC| / |AB| = |DC| / |AE| = 2 / 3;
|BC| = 2k, |AB| = 3k alınır.
Aynı t süresinde A’dan çıkan hareketli |AB| + |BC| = 5k,
B’den çıkan hareketli |BC| = 2k yol alır.
Yol = hız · zaman eşitlikleri taraf tarafa bölünürse
V₁ / V₂ = 5 / 2 bulunur.
Dikkat: zaman ikisinde de aynı olduğu için sadeleşiyor;
hızların oranı yolların oranına eşit.
Kural: iki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise bu üçgenler
benzerdir. Karşılıklı iki açısının ölçüsü eşit olan üçgenlerin üçüncü açı ölçüleri de eşittir ve
karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
Eşlikte üç açı bile yetmiyordu; benzerlikte iki açı yetiyor.
Sebebi basit: iç açılar toplamı 180° olduğundan iki açı eşitse üçüncüsü de eşittir, yani
biçim aynıdır — benzerliğin istediği de sadece biçim.
Gemilerin her biri 30 m uzunlukta; I–II arası
770 m, II–III arası 470 m.
Buradan gemi boyları eklenerek
|BC| = 30 + 770 = 800 m,
|CD| = 30 + 470 = 500 m.
[BE], [CF] ve [DG] dikey (birbirine paralel) olduğundan
yöndeş açılardan m(ABE) = m(ACF) = m(ADG) ve
m(AEB) = m(AFC) = m(AGD).
a) A.A’dan ABE ∼ ADG;
|AB| = x alınırsa
x / (x + 1300) = 15 / 28
28x = 15x + 19 500 ⇒ 13x = 19 500 ⇒ x = 1500 m.
b) A.A’dan ABE ∼ ACF;
|CF| = y alınırsa
1500 / 2300 = 15 / y ⇒ y = 23 m.
A ve B noktalarına aynı görüş açısına sahip özdeş iki kamera
yerleştirilmiş; ADE üçgensel bölgesi her iki kameranın görüş alanında.
|AD| = 30, |DE| = 15, |AE| = 25 m.
Kameralar aynı görüş açısına sahip olduğundan
m(EAD) = m(ABE). Ayrıca
AEB açısı ABE ile ADE üçgenlerinin ortak açısıdır.
İki açı eş ⇒ ABE ∼ DAE (A.A) ve
m(BAE) = m(ADE).
|AB| = x alınırsa x / 30 = 25 / 15 ⇒
x = 50 m.
Kalıp: bir üçgenin içinde, ortak açıyı paylaşan
ikinci bir üçgen varsa ve bir açı daha eşitse — bu iç içe benzerlik
kalıbıdır ve sınavda en sık çıkan şekildir.
ABC ve EDC dik üçgenlerinde [DE] ⊥ [AC], |EC| = 7,
|AB| = 6, |FC| = 2 cm.
|AF| soruluyor.
m(CAB) = x, m(ABC) = y alınırsa ABC dik üçgeninden
x + y = 90°. Aynı hesap FDC, EDC ve EFC üçgenlerinde
tekrarlanınca şekildeki bütün dik üçgenlerin iç açıları
{x, y, 90°} çıkıyor ⇒ hepsi birbirine benzer (A.A).
CBA ∼ EFC olduğundan
|FC| / |AB| = |EC| / |AC| ⇒ 2 / 6 = 7 / |AC| ⇒
|AC| = 21 cm.
F, [AC] üzerinde olduğundan |AF| = 21 − 2 = 19 cm.
ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC], [DE] ∥ [BC],
m(ABE) = m(EBC) (yani [BE] açıortay),
|AD| = 8, |DB| = 4, |EC| = 5 cm.
a) [DE] ∥ [BC] ⇒ ADE ∼ ABC (A.A) ⇒
|DE| / |BC| = |AD| / |AB| = 8 / 12 = 2 / 3.
b) [DE] ∥ [BC] olduğundan iç ters açılardan
m(DEB) = m(EBC); açıortaydan m(EBC) = m(DBE) ⇒ m(DEB) = m(DBE) ⇒
DBE ikizkenar ⇒ |DE| = |DB| = 4.
Orandan |BC| = 4 · 3 / 2 = 6 cm.
Ayrıca |AE| / |EC| = |AD| / |DB| = 2 ⇒ |AE| = 10 cm.
Kalıp: paralel + açıortay
birlikte görülürse ikizkenar üçgen çıkar. Bu, sınavda tek başına bir soru tipidir.
Kural: iki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve
bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
Eşlikteki K.A.K ile aynı cümle, tek farkla: “eşit” yerine
“orantılı”. “Bu kenarların oluşturduğu açı” şartı yine
vazgeçilmez.
· |AB| = 32 km · |BC| = 40 km
· |CD| = 72 km · |AC| = 48 km
· ABCD bir dörtgen ve [AB] ∥ [DC].
[AB] ∥ [DC] ve [AC] kesen olduğundan iç ters açılardan
m(BAC) = m(ACD).
Bu açıyı oluşturan kenarların oranları:
|AB| / |AC| = 32 / 48 = 2 / 3
|AC| / |DC| = 48 / 72 = 2 / 3
İki oran eşit ve aralarındaki açı eş ⇒
ABC ∼ CAD (K.A.K).
Üçüncü kenarlar da aynı oranda: 40 / x = 2 / 3 ⇒
x = |AD| = 60 km.
KLM üçgeninde P ve N noktaları kenarlar üzerinde:
|PK| = 6, |PL| = 10,
|NK| = 8, |NM| = 4,
|LM| = 14 ışık yılı. |PN| soruluyor.
Önce tam kenarlar: |KL| = 6 + 10 = 16,
|KM| = 8 + 4 = 12.
K açısı KPN ve KML üçgenlerinin ortak açısıdır. Bu açıyı
oluşturan kenarların oranları:
|KP| / |KM| = 6 / 12 = 1 / 2
|KN| / |KL| = 8 / 16 = 1 / 2
⇒ KPN ∼ KML (K.A.K), benzerlik oranı 1/2 ⇒
|PN| = |LM| / 2 = 7 ışık yılı.
Dikkat: KP ile KL, KN ile KM eşleşmiyor —
çapraz eşleşiyor. Bu yüzden [PN] ile [LM]
paralel değildir. Oranlar aynı olduğu hâlde şekil
“ters çevrilmiş” bir benzerlik.
Uzunlukları 48 cm olan iki özdeş çubuğun üzerinde
aynı hizada A ve B noktaları işaretlenmiş. Çubuklar
Şekil 1’de A’da, Şekil 2’de B’de kesiştiriliyor; uçlar arasındaki mesafeler sırasıyla
4 – 12 ve 16 – 8 cm ölçülüyor.
|AB| = x soruluyor.
A’da kesiştirildiğinde iki yanda birer ikizkenar üçgen oluşur
(çubuklar özdeş, işaretler aynı hizada). Tepe açıları ters açı
olduğundan eşit ⇒ iki üçgen benzerdir (K.A.K), oran kolların
oranıdır:
p / (48 − p) = 4 / 12 = 1 / 3 ⇒ 3p = 48 − p ⇒
p = |A’nın kısa kolu| = 12 cm.
Şekil 2’de aynı düşünce B için:
(12 + x) / (36 − x) = 16 / 8 = 2 ⇒ 12 + x = 72 − 2x ⇒ 3x = 60 ⇒
x = 20 cm.
Bu, 10. Sıra Sizde’de kanıtlatılıyor, 7. Uygulama’da da soruluyor: “üçgen şeklinde bir kâğıt, iki kenarının orta noktasını birleştiren doğru boyunca kesiliyor; oluşan üçgenin ilk üçgene benzer olmasının nedenini açıklayınız.”
DEF üçgeninde K, [DE]’nin ve L, [DF]’nin orta noktası.
a) |EF| = 2|KL| olduğunu göster.
· D açısı ortak.
· |DK| / |DE| = 1/2 ve |DL| / |DF| = 1/2 ⇒ oranlar eşit.
İki kenar orantılı + aradaki açı eş ⇒ DKL ∼ DEF (K.A.K),
benzerlik oranı 1/2.
Üçüncü kenarlar da aynı oranda ⇒ |KL| = |EF| / 2, yani
|EF| = 2|KL|.
b) [KL] ∥ [EF] olduğunu göster.
Benzerlikten m(DKL) = m(DEF). Bu iki açı, [DE] keseni
üzerindeki yöndeş açılardır; yöndeş açılar eşitse doğrular
paraleldir ⇒ [KL] ∥ [EF].
Orta taban: bir üçgenin iki kenarının orta noktasını
birleştiren doğru parçası; üçüncü kenara paraleldir ve
uzunluğunun yarısına eşittir.
Bunun iki kullanışlı sonucu var:
· Orta tabanın ayırdığı küçük üçgenin çevresi büyük üçgenin
çevresinin yarısı, alanı
dörtte biridir (k = 1/2 ⇒ alan k² = 1/4).
· Üç orta taban birden çizilirse üçgen dört eş üçgene
bölünür; dördü de büyük üçgene benzerdir, oranları 1/2.
Ters yön de doğru: bir kenarın orta noktasından
ikinci kenara paralel çizilen doğru, üçüncü kenarı da
ortalar. (Sonraki ünitede sık kullanılacak.)
Aşağıdaki tablo iki ünitenin ölçütlerini yan yana koyuyor. Arama kutusuna “eşit”, “orantılı”, “A.A” gibi bir sözcük yazarak süzebilirsin.
1) “Eşit” mi, “orantılı” mı?
K.K.K ve K.A.K adları iki ünitede de var. Eşlikte kenarlar
eşit, benzerlikte orantılı.
A.A ise yalnız benzerlikte bir ölçüttür — eşlikte
üç açı bile yetmez.
2) Oran = uzunluk, oranın karesi = alan.
Benzerlik oranı 3 olan iki üçgende çevreler oranı 3, alanlar oranı
9’dur. “Kenarlar 3 katıysa alan da 3 katıdır” cümlesi
yanlıştır.
3) Köşe sırası ≠ şekildeki sıra.
Yıldız haritası örneğinde KPN ∼ KML çıkıyor; P ile M, N ile L
eşleşiyor. Şekilde P, L’ye daha yakın diye “KPN ∼ KLM” yazarsan oranlar tutmaz. Önce
hangi kenarın hangi kenarla orantılı olduğunu bul, gösterimi
ona göre yaz.
Bonus: K.K.A benzerlikte de ölçüt
değildir. İki kenarın oranı ve aralarında olmayan bir açı
verildiğinde yine iki farklı biçim elde edilebilir.
Durumlar karışık sırayla geliyor. Hangi ölçütün uygulandığını — ya da hiçbirinin uygulanamadığını — seç.
Benzerliğin günlük hayattaki işi hep aynı: ulaşabildiğin bir uzunluğu ölçüp, ulaşamadığını hesaplamak.
Fotoğrafı iki parmakla büyüttüğünde açılar değişmez, sadece
uzunluklar aynı oranda artar — yani ekrandaki her hâli
orijinaline benzerdir.
Bu yüzden “16:9” ya da “4:3” gibi en-boy oranı videonun
boyutundan bağımsızdır. Videoyu tam ekran yaptığında oran korunmuyorsa görüntü
eziliyor demektir; bu artık benzerlik değil.
Telefonundaki harita uygulamasının köşesinde “500 m” yazan
küçük bir çubuk var. Yakınlaştırdıkça o sayı değişiyor —
benzerlik oranını güncelliyor.
8. örneğin cep telefonundaki hâli bu: ekranda cetvelle 3 cm ölçtüğün bir yol,
çubuk 500 m gösteriyorsa yaklaşık 1,5 km’dir. Rota
üçgen bile olsa çevre aynı oranla büyür.
Tribünden çektiğin fotoğrafta arkadaşın kaleye yakın durduğu için
minicik çıkmış. Boyunun fotoğraftaki uzunluğu, gerçek boyuyla
orantılıdır — oran, uzaklığa bağlıdır.
12. örnekteki kamera hesabının aynısı: nesne uzaklığı
iki katına çıkarsa görüntü yarıya iner. Fotoğrafta kalenin yüksekliğini bildiğin için
arkadaşının boyunu bile hesaplayabilirsin.
Fen projesi için 1/50 ölçekli bir köprü maketi yaptın. Maketin bir kirişi
4 cm ise gerçeği 2 m.
Ama malzeme hesabı yaparken dikkat: maketin yüzey alanı
gerçeğin 50² = 2500’de biri, hacmi
ise 50³ = 125 000’de biridir. “Yarı boy maket yarı boya
ister” cümlesi bu yüzden yanlıştır.
Kulüp sunumunda logoyu köşesinden çekerek büyütürsen
benzerlik korunur. Kenarından çekersen yalnız bir yön uzar ve
logo bozulur.
Tasarım programlarındaki Shift tuşuyla büyütme alışkanlığının
matematikteki adı budur: bütün kenarları aynı k ile çarp.
Sadece birini çarparsan açılar değişir ve şekil artık benzer değildir.
Öğle arasında bahçeye çık: kendi boyunu ve gölgeni ölç, sonra ağacın gölgesini ölç.
Güneş ışınları paralel geldiği için iki üçgen A.A ile benzerdir
(biri güneş açısı, biri dik açı).
boy / gölge = ağaç / ağacın gölgesi
Boyun 1,7 m, gölgen 2 m, ağacın gölgesi 9 m ise ağaç
1,7 · 9 / 2 = 7,65 m. Tales’in piramitlerde yaptığı da
birebir buydu; bir sonraki ünitenin açılış konusu.
A4’ü ortadan ikiye katlarsan A5 olur ve
en-boy oranı değişmez. A serisi tam olarak bunun için
tasarlanmıştır: her boy bir öncekine benzerdir, oran
√2’dir.
Bu yüzden fotokopide “A4 → A5 küçült” dediğinde makine
%71 yazar: 1/√2 ≈ 0,707. Alan ise yarıya iner —
k² = 1/2.
Dört kişilik keki sekiz kişilik yapmak için bütün malzemeleri
2 ile çarparsın — bu bir orantı,
benzerliğin sayısal kardeşi.
Ama kalıbın yarıçapını 2 katına çıkarırsan hacim
8 katına çıkar ve kek taşar. Mutfakta bile geçerli:
uzunluk k, alan k², hacim k³.
9. örnek bir dalış planı gibi okunabilir: deniz tabanı düzgün eğimliyse,
iki noktada ölçtüğün derinlik aradaki her noktanın
derinliğini verir.
Nedeni tek bir cümle: taban doğrusal olduğu için bütün dikey ölçümler
aynı eğimli doğruya kadar uzanır ve oluşan üçgenler
A.A ile benzerdir. 770 ve 470 metrelik aralıklar,
15 ve 28 metrelik iki derinlik ölçümüyle birleşince kıyıya
uzaklık 1500 m çıkıyor.
48 soruluk test · benzerlik tanımı ve oran k, K.K.K · A.A · K.A.K ölçütleri, çevre k ve alan k² kuralı, harita ölçeği, üç gemi ve iki kamera problemleri, orta taban teoremi ve eşlik-benzerlik ayrımı
Karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenarlar
orantılı ise üçgenler benzerdir.
Sembol ∼, oran k.
k = 1 ⇒ eşlik.
Karşılıklı üç kenar orantılıysa üçgenler benzerdir.
Harita ölçeği tam olarak budur: 1/n ⇒ benzerlik oranı n.
İki açı eşse yeter. Üçüncü açı da eşit çıkar, kenarlar
orantılı olur.
Bu ünitenin en çok kullanılan ölçütü.
İki kenar orantılı + bu kenarların oluşturduğu açılar
eş ⇒ benzer.
“Bu kenarların oluşturduğu” şartı vazgeçilmez.
Kenarlar k · çevre k ·
alan k²
(Hacim k³.)
Kenarlar 2 katıysa alan 4 katıdır.
Ortak açı · ters açı · yöndeş açı · iç ters açı · iki dik açı.
A.A için iki tanesini bulman yeter.
İki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara
paralel ve yarısı kadardır.
Küçük üçgen: çevre 1/2, alan 1/4.
· Harita: 39 cm çevre ⇒ 780 km
· Gemiler: |AB| = 1500 m, |CF| = 23 m
· Kameralar: |AB| = 50 m
· Kasabalar: |AD| = 60 km
· Yıldızlar: |PN| = 7 ışık yılı
· “Eşit” ⇒ eşlik, “orantılı” ⇒ benzerlik.
· Alan oranı k, k² değil demek yaygın hata.
· Köşe sırası şekildeki komşuluğa değil,
orana göre yazılır.
· K.K.A benzerlikte de ölçüt değildir.