Noktalar
düz değil,
çember çizer.
Bir önceki ünitede iki paralel doğruya göre ardışık yansımanın bir öteleme verdiğini gördük. Peki doğrular kesişirse? Cevap: her nokta, doğruların kesim noktası etrafında çembersel bir yol izler ve ortaya dönme dönüşümü çıkar. Türk-İslam süslemelerindeki 12 köşeli yıldızlar da tam bu yolla üretilmiştir.
Kural: kesişen doğrulardan birine göre yansıma dönüşümü uygulanarak elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulandığında yeni bir geometrik dönüşüm elde edilir. Bir önceki ünitede doğrular paraleldi ve sonuç ötelemeydi; burada doğrular bir D noktasında kesişiyor ve sonuç bambaşka.
Matematik yazılımında ABC üçgeni f doğrusuna göre yansıtılıp A′B′C′’yü, sonra onu D’de
kesişen g doğrusuna göre yansıtıp A″B″C″’yü oluşturtuyor ve şunları ölçtürüyor:
· [AA″], [BB″] ve [CC″] paralel değildir, kesişir.
(Ötelemede bunlar paralel olurdu.)
· |AA″|, |BB″| ve |CC″| birbirinden farklıdır. Yani
noktalar eşit uzaklık gitmiyor — sonuç bir öteleme
değildir.
· |AD| = |A′D| = |A″D|. Her nokta, kesim noktasına olan
uzaklığını koruyor.
· Üçgenin yönü değişmiyor — iki yansıma, yönü iki kez
çevirip başa döndürüyor.
13. adım çok şey anlatıyor: A″ noktası için “İzi Göster”
açılıyor ve doğrular üzerindeki bir nokta sürüklenerek A″’nün izi çıkarılıyor.
Oluşan iz bir çemberdir. Buradan çıkan ilk
varsayım: “A noktasını A″ noktasına eşleyen dönüşüm, A noktasını
doğrusal olarak hareket ettirmez.”
Bu, ötelemeden en keskin ayrımdır: ötelemede her nokta
düz bir çizgi boyunca gider; burada
çember yayı boyunca. Ve çemberin merkezi hep aynı yerdedir:
doğruların kesim noktası D.
· Düzlemde bir şekle kesişen iki doğrudan birine göre yansıma
dönüşümü uygulanıp elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulanırsa
şekil üzerindeki noktalar çembersel bir yol çizer ve görüntüleriyle eşleşir.
· Şekil üzerindeki noktaların görüntüleri, her bir noktanın
doğruların kesim noktası etrafında ve doğrular arasındaki açının ölçüsünün iki katı kadar açıyla
belirli bir yönde hareket etmesi sonucu oluşur.
· Elde edilen dönüşüm dönme dönüşümüdür.
· Doğruların kesim noktası dönme merkezi; doğrular arasındaki açının
ölçüsünün iki katı olan açı ölçüsü değeri ise dönme açısıdır. Dönme merkezi ve dönme açısı,
dönme dönüşümünün bileşenleridir.
Bir önceki üniteyle yan yana koy: paralel doğrular → 2d kadar
öteleme, kesişen doğrular → 2α kadar dönme. İkisinde de
sonuç iki katıdır; yalnız biri uzunluğun, öteki açının.
Tanım: dönme dönüşümü, düzlemdeki tüm noktaları dönme merkezi ve dönme açısı yardımıyla belirli bir yönde hareket ettirerek yine düzlemdeki tüm noktalara dönüştüren bir dönüşümdür. Bir dönmeyi tarif etmek için üç şey söylemen gerekir: merkez neresi, açı kaç derece, yön saat yönünde mi tersinde mi.
Aynı açıyla ama farklı merkezlerle yapılan iki dönme, aynı
dönüşüm değildir. Şeklin yönü ikisinde de aynı kadar döner ama
şekil bambaşka yerlere gider. Kaydırağı sabit tutup merkez
düğmelerini değiştirerek bunu yukarıdaki çizimde görebilirsin.
Tek istisna, dönme merkezinin şeklin üzerinde olduğu durumdur:
o zaman o nokta yerinde kalır, şekil onun etrafında döner.
Bir de şu: dönme merkezi, dönmede yerinde kalan tek noktadır.
Yansımada sabit kalan sonsuz nokta vardı (bütün bir doğru), ötelemede hiç yoktu, dönmede
tam bir tane. Üç dönüşümü ayırt etmenin en kısa yolu budur.
5. Uygulama ABC üçgenini D noktası etrafında bir α sürgüsü kadar döndürtüp A′B′C′’yü oluşturtuyor, sonra tek tek ölçtürüyor: kenar uzunlukları, iç açı ölçüleri, çevre uzunluğu, alan ve köşelerin dönme merkezine uzaklıkları. Sonuç, öteki iki dönüşümdekiyle aynı: hepsi değişmez.
· Dönme dönüşümü, düzlemdeki tüm noktaları dönme merkezi ve dönme
açısı yardımıyla belirli bir yönde hareket ettirerek yine düzlemdeki tüm noktalara dönüştüren
bir dönüşümdür.
· Bir şekle dönme dönüşümü uygulandığında şekil üzerindeki
herhangi bir nokta ile bu noktanın görüntüsünün dönme merkezine uzaklıkları birbirine eşit
olur.
· Bir şeklin dönme dönüşümü altındaki görüntüsü ile şekil eştir.
İkinci madde, elle çizim yaparken kullanacağın kuraldır: her köşeyi merkeze birleştir, o
doğru parçasını uzunluğunu değiştirmeden istenen açı kadar
döndür, ucunu işaretle.
· Geometrik dönüşümler, düzlemdeki tüm noktaları yine düzlemdeki
tüm noktalara bire bir eşler.
· Geometrik dönüşümler, uzaklıkları koruduğundan açıları da korur.
Bu nedenle bir şekil ile şeklin dönüşümler altındaki görüntüleri eştir.
İkinci maddedeki mantık zinciri güzeldir ve ezberlenecek bir şey değildir:
uzaklıklar korunuyorsa üçgenin üç kenarı da aynı kalır;
üç kenarı aynı olan iki üçgen eştir; eş üçgenlerin
açıları da eşittir. Yani açıların korunması bir
ek kural değil, uzaklığın korunmasının sonucudur.
Türk kültürüne ait sanat eserlerinde sıklıkla geometriden faydalanılmış; özellikle mimari eserlerdeki süsleme uygulamalarında, geleneksel halı ve kilimlerde geometrik dönüşümler kullanılmıştır. Görsel 4.1’deki Türk-İslam süslemesinde desenler çoğunlukla dönme dönüşümü kullanılarak oluşturulmuş: 12 köşeli yıldız etrafında dizili yıldız motifleri, 12 köşeli yıldızın merkez noktası etrafında 30° döndürülerek elde edilmiştir.
Üç görsel var: Görsel 1 Orta Asya Türk kültürüne ait
bir süsleme, Görsel 2 Antik Yunan Dönemi’ne ait bir duvar
süslemesi, Görsel 3 Mısır kültürüne ait ahşap süsleme örneği.
a) Görsel 1’de 1 numaralı desene d₁’e göre yansıma uygulandığında
2 numaralı desen oluşur; 2’nin d₂’ye göre görüntüsü 3 numaralı deseni oluşturur.
d₁ ve d₂ kesişen doğrular olduğundan 3 numaralı desen, 1 numaralı
desenin dönme dönüşümü uygulanmış hâlidir. Sonra 3’e d₃, dört desenlik parçaya d₄,
beş desenlik parçaya d₅, ona da d₆ uygulanarak 7 desenli süsleme tamamlanır.
Çıkarım: görseldeki süsleme sadece yansıma dönüşümü
kullanılarak elde edilebilir.
b) Görsel 2’de 1 numaralı desene öteleme uygulanarak 2 numaralı
desen elde edilmiştir. Aynı sonuç iki yansımayla da bulunur: önce d₁’e göre yansıtılıp 3 numaralı
desen, sonra d₁’e paralel olan d₂’ye göre yansıtılıp 2 numaralı
desen oluşturulur.
c) Görsel 3’te 3 numaralı desen, 1 numaralı desene
dönme uygulanarak elde edilmiştir: 1’e d₁’e göre yansıma → 2;
2’ye d₂’ye göre yansıma → 3. Doğrular kesiştiğinden desen,
doğruların kesim noktası etrafında, doğrular arasındaki açının iki katı kadar döndürülmüş olur.
Üç şıkkın ortak dersi: öteleme de dönme de yansımalarla
kurulabilir. Yansıma, üç dönüşümün içinde en temel olanıdır.
Görsel 4.2 geleneksel Türk halı ve kilim örneklerini gösteriyor:
halı ve kilim desenleri oluşturulurken geometrik şekiller
kullanılmış, desenlerin yerleştirilmesinde ise geometrik dönüşümlerden yararlanılarak estetik bir
görünüm elde edilmiştir.
Bir kilime baktığında hangi dönüşümün kullanıldığını şöyle ayırt edebilirsin:
· Motif yan yana aynen tekrarlanıyorsa → öteleme
· Motif bir eksenin iki yanında ters çevrilmişse → yansıma
· Motif bir merkez etrafında çark gibi diziliyorsa → dönme
Çoğu geleneksel desende üçü birden vardır; bordür ötelemeyle,
göbek dönmeyle, iki yan simetriyle kurulur.
Aşağıdaki ipuçları karışık sırayla geliyor. Her biri için doğru dönüşümü ya da doğru sonucu seç.
Dönme dönüşümünü tanımanın en kolay yolu merkezi bulmaktır. Aşağıdaki dokuz sahnede merkezin nerede olduğunu ve açının ne kadar olduğunu düşün.
Video izlemek için telefonu yan çevirdiğinde ekran içeriği
ekranın merkezi etrafında 90° döner. Dönme merkezi ekranın
ortasıdır, dönme açısı 90°’dir.
Yazılar okunabilir kalıyor — dönme yönü değiştirmediği için.
Aynı işlemi yansımayla yapsaydın harfler ters çıkardı.
Telefonu ters çevirdiğinde ise dönme açısı 180° olur;
çoğu uygulama bu durumda bile içeriği düzeltir, çünkü dönmenin
tersi de bir dönmedir.
İki pedal, göbek mili etrafında birbirinin 180° dönme
görüntüsüdür. Dönme merkezi göbek mili, açı 180°.
Bu yüzden bir pedal en üstteyken öteki en alttadır: pedallar
merkeze eşit uzaklıkta (dönmenin temel özelliği) ve
aralarındaki açı hep tam yarım tur.
Üç kollu bir çark tasarlasaydın kollar arası açı 120°,
dört kollu olsaydı 90° olurdu — 360°’yi kol sayısına
bölersin.
Analog saatte akrep ve yelkovan, saatin merkezi etrafında dönüyor. Yelkovan bir dakikada
360° / 60 = 6°, akrep bir saatte
360° / 12 = 30° döner.
Akrebin 30°’lik adımı, 12 köşeli yıldız
süslemesinin adımıyla aynıdır — ikisi de daireyi
12 eşit parçaya bölüyor.
İbrenin ucu çember çizer; merkeze uzaklığı hiç değişmez.
Dönmenin tanımındaki “merkeze uzaklıklar eşittir” maddesinin
en tanıdık örneği.
Blok yerleştirme oyunlarında parçayı döndürme tuşuna bastığında parça
belirli bir merkez etrafında 90° döner. Merkezin nerede
seçildiği oyundan oyuna değişir ve oyunun hissini değiştirir:
merkez parçanın ortasındaysa parça yerinde döner, köşesindeyse yana kayarak döner.
Bu, tuzak kartındaki kuralın oyun içindeki karşılığıdır:
aynı açı, farklı merkez, farklı sonuç.
Dört kez döndürünce parça başa döner: 4 · 90° = 360°.
Kaleidoskopun içinde birbirine 60° açıyla yerleştirilmiş
aynalar vardır. Ardışık yansımalar tam olarak bu işi yapar:
kesişen iki aynaya göre yansıma, 2 · 60° = 120°’lik bir dönme
verir.
Bu yüzden gördüğün desen altı katlı simetriktir ve
çevirdikçe hep düzenli kalır.
Aynaların açısını 45°’ye düşürseydin dönme 90° olur, desen
sekiz katlı hâle gelirdi. Süsleme sanatının bütün
matematiği bu tek satırda.
Sınıf kapısı açılırken kapının her noktası menteşe hattı
etrafında döner. Menteşeye yakın nokta az yol alır, kola yakın nokta çok —
ama açı hepsinde aynıdır.
Ötelemede uzaklık aynıydı, burada açı aynı. Ders kitabının
Tablo 2’sinde |AA″|, |BB″| ve |CC″|’nün farklı çıkmasının sebebi tam olarak budur.
Kapıyı ardına kadar açmak yaklaşık 90°, sonuna kadar
yaslamak 180°’lik bir dönmedir.
Lunaparktaki dönme dolapta kabinler çarkın merkezi etrafında dizilidir. Yirmi kabin varsa
aralarındaki açı 360° / 20 = 18°’dir ve her kabin, komşusunun
18°’lik dönme görüntüsüdür.
Bütün kabinler merkeze eşit uzaklıkta olmasa çark
dengesiz dönerdi. Mühendislik burada geometriyle çakışıyor:
dönmenin “merkeze uzaklık korunur” özelliği, aynı zamanda bir
denge şartıdır.
Kar tanesi çizimleri altı katlı döner simetriye sahiptir: tek bir
kol, merkez etrafında 60°’şer döndürülerek altı kez
yerleştirilir.
Kulüp logosu tasarlarken aynı numarayı kullanabilirsin: bir motif çiz,
360°’yi kaç parça istiyorsan ona böl, o açı kadar döndürerek
tekrarla.
Motifin kendisi karmaşık olsa bile sonuç düzenli görünür —
çünkü dönme, şekli eş olarak kopyalar; hiçbir kol ötekinden
büyük ya da yamuk çıkmaz.
Evdeki ya da okuldaki bir kilime bak: göbekteki büyük motif genellikle merkez etrafında
dönmeyle, kenardaki bordür ötelemeyle,
sağ ve sol yarı ise birbirinin yansımasıyla kurulmuştur.
Desenlerin yerleştirilmesinde geometrik dönüşümlerden yararlanılarak
estetik bir görünüm elde edilir.
Bir kilimin “dengeli” görünmesinin sebebi ressamın el yatkınlığı değil,
bu üç dönüşümün şekli eş olarak korumasıdır.
47 soruluk test · kesişen iki doğruya göre ardışık yansımanın dönme vermesi, dönme merkezi ve dönme açısı, noktaların çembersel yolu, merkeze uzaklığın korunması, üç dönüşümün karşılaştırılması ve süslemelerde dönmenin kullanımı
Ardışık iki yansıma bir dönme verir.
Dönme merkezi = doğruların kesim noktası
Dönme açısı = doğrular arası açının iki katı.
Paralel iki doğru ⇒ öteleme, 2d
Kesişen iki doğru ⇒ dönme, 2α
İkisinde de sonuç iki katıdır.
Dönme merkezi ve dönme açısı.
Ayrıca dönmenin bir yönü vardır:
saat yönü ya da tersi.
Dönmede noktalar çembersel bir yol izler.
“İzi Göster” adımında A″’nün izi bir
çember çıkar.
Ötelemede yol düzdür.
Nokta ile görüntüsünün dönme merkezine uzaklıkları
eşittir: |AD| = |A′D|.
Ama |AA′| noktadan noktaya değişir — ötelemeden farkı budur.
Yansıma: sonsuz (bütün bir doğru)
Öteleme: yok
Dönme: tam bir tane (dönme merkezi)
Kenar uzunlukları · iç açı ölçüleri · çevre · alan.
Şekil ile görüntüsü eştir.
Şeklin yönü değişmez (yansımadan farkı).
Dönüşümler uzaklıkları koruduğundan açıları da korur.
Üç kenarı aynı olan iki üçgen eştir, eş üçgenlerin açıları da eşittir. Açının korunması
bir sonuçtur, ek kural değil.
12 köşeli yıldız etrafındaki motifler merkez etrafında
30° döndürülerek elde edilmiştir
(360° / 12 = 30°).
Öteleme de dönme de yansımalarla kurulabilir.