Dönmede kütlenin
yerini o alır
Doğrusal harekette bir cismi hızlandırmanın zorluğunu kütle belirler. Dönme hareketinde ise aynı işi eylemsizlik momenti yapar — ve o yalnız kütleye değil, kütlenin eksenden ne kadar uzakta durduğuna bakar. Uzaklığın karesiyle.
Eylemsizlik, bir cismin dururken harekete geçirmeye veya hareket hâlindeyken yönünü ya da hızını değiştirmeye karşı gösterdiği dirençtir. Başka bir deyişle eylemsizlik, cisimlerin mevcut hareket durumlarını koruma eğilimidir. Eylemsizlik cismin kütlesi ile doğru orantılıdır; büyük kütleleri durdurmak ve hareket ettirmek bu yüzden daha zordur.
Eylemsizlik momenti, bir cismin bir eksen etrafında dönme hareketine karşı gösterdiği dirençtir. Eylemsizlik momenti büyük olan cisimleri döndürmek, dönüyorsa durdurmak da zordur.
Eylemsizlik momenti skaler bir büyüklüktür ve I harfiyle gösterilir. Uluslararası Birimler Sistemi’nde (SI) birim olarak kilogram metre kare (kg·m²) kullanılır.
m kütleli noktasal cismin, r uzaklıktaki bir eksen etrafında dönerken eylemsizlik momenti:
I = m · r²
Eylemsizlik momenti, bir cismi oluşturan parçacıkların kütlesine ve bu parçacıkların dönme eksenine olan uzaklıklarının karesiyle doğru orantılıdır. Ayrıca cismin geometrik şekli de eylemsizlik momentini etkileyen önemli bir faktördür, çünkü farklı şekillerdeki cisimler kütlenin dönme ekseni etrafında dağılımını değiştirecektir.
Eğer bir cisim çok sayıda parçacıktan oluşmuşsa ve sürekli bir kütleye sahipse, eylemsizlik momentini hesaplamak için tüm bu parçacıkların m·r² değerleri toplanır:
I = Σ (m · r²) = m₁·r₁² + m₂·r₂² + m₃·r₃² + …
Eylemsizlik momenti, cismin geometrik şekline ve kütle merkezinin dönme eksenine olan dik uzaklığına bağlıdır. Kütlenin eksen etrafında ne kadar merkezî bir dağılıma sahip olursa, eylemsizlik momenti o kadar az olur; kütlenin dağılımı ne kadar genişlerse, eylemsizlik momenti o kadar artar.
Eylemsizlik momenti tablolarında (1/12)·m·L² bağıntısı çoğu zaman yalnız bir L etiketiyle verilir. Bu bağıntı, uzunluğu L olan ince bir çubuğun, merkezinden geçen ve çubuğa dik eksene göre eylemsizlik momentidir; tablodaki tek uzunluk (yarıçap değil) ölçüsü de odur. Sayfada bu şekilde adlandırıldı.
Aynı kütleye ve aynı yarıçapa sahip bir halka ile bir diskten halkanın eylemsizlik momenti iki katıdır (m·r² ile 0,5·m·r²). Sebebi kütlenin daha büyük olması değil, kütlenin tamamının en dışta bulunmasıdır. Bir sorunun "hangisini döndürmek daha zor" diye sorması, aslında "kütlesi eksenden ne kadar uzak" diye sormasıdır.
Dönme kinetik enerjisi, bir cismin dönme hareketi nedeniyle sahip olduğu enerjidir. Bir katı cismin belirli bir eksen etrafında dönmesi durumunda, cismin her bir noktasındaki hız farklı olacaktır. Eğer katı cisim noktasal kütlelerden oluşuyorsa, her bir noktasal kütle kendi hızına göre bir kinetik enerjiye sahip olur.
E(D) = (1/2) · I · ω²
Bir cismin bir eksen etrafında dönmesi sonucu ortaya çıkan kinetik enerjiye "dönme kinetik enerjisi" denir. Bu enerji, cismin dönme hızına ve kütlesinin eksen etrafında nasıl dağıldığına bağlıdır. Örnekleri: dönme hareketi yapan vantilatör pervaneleri, kendi etrafında dönen Dünya ve dönme dolap.
Dönme hareketinde bir cismin eylemsizlik momenti, öteleme hareketindeki kütlenin yerini alır. Kütle, doğrusal harekete direnç gösterirken; eylemsizlik momenti de dönme hareketine direnç gösterir. Bağıntılar da birebir örtüşür: E = ½·m·v² ile E = ½·I·ω².
Öteleme hareketi yapan cisimlerin kinetik enerjisi, cismin hareketi boyunca sahip olduğu enerjidir ve E = (1/2)·m·v² ile hesaplanır. Dönerek ilerleyen cisimlerin ise hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisi bulunur. Öteleme kinetik enerjisi cismin doğrusal hareketinden kaynaklanan enerjiyi temsil ederken, dönme kinetik enerjisi cismin dönme hareketinden kaynaklanan enerjiyi ifade eder.
Kaymadan dönerek ilerleyen bir tekerlek hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisine sahiptir. Öteleme kinetik enerjisi tekerleğin merkezî ekseni etrafında ilerlemesinden kaynaklanırken, dönme kinetik enerjisi tekerleğin kendi ekseni etrafındaki dönüşünden kaynaklanır.
E = (1/2)·m·v² + (1/2)·I·ω²
Bu enerji, cismin kütlesi (m) ve hızının (v) karesinin çarpımına bağlı olarak hesaplanır. Örnekleri: kaykayla sabit hızla öteleme yapan çocuk, yürüyen merdivende sabit hızla ilerleyen insan ve sabit hızla yürüyen insan.
E(Ö) = (1/2)·m·v²
Kaymadan yuvarlanmada 27. üniteden v = ω·r geçerlidir. Bunu ve I = katsayı·m·r² bağıntısını toplam enerjide yerine koyarsan, dönme payının yalnız katsayıya bağlı olduğu çıkar: halkada enerjinin yarısı dönmeye giderken, içi dolu kürede yalnız 2/7 si dönmeye gider. Bu sonuç, iki bağıntının doğrudan birleştirilmesiyle elde edilir.
Eylemsizlik momenti kavramı, mühendislikten sanata, sporlardan günlük araç kullanımına kadar birçok alanda etkisini gösterir. Bu örnekler, kütlenin dağılımının ve dönme ekseni etrafındaki mesafenin, bir cismi döndürme veya durdurma üzerinde ne kadar büyük bir etkisi olduğunu gösterir.
Diskus veya çekiç atarken atletler nesneyi dönme ekseninden uzak tutarak üzerinde çalıştırılabilecek kaldıraç etkisini artırırlar. Bu, atletin nesneye daha fazla tork uygulamasına ve böylece daha yüksek bir başlangıç hızına ulaşmasına olanak tanır — sonuç olarak nesne daha uzağa uçar.
Tekerleklerin eylemsizlik momenti, tekerleğin kütlesi ve bu kütlenin tekerleğin merkezine olan uzaklığına bağlıdır. Eylemsizlik momenti ne kadar küçükse, aracın ivmelenme tepkisi o kadar iyi olur. Hafif jant, aynı kütle azalmasının motora yaptığından daha çok fark yaratır — çünkü kütle en dışta duruyordu.
Yüksek bir eylemsizlik momentine sahip olan topaç, bu momenti dolayısıyla dönme enerjisini uzun süre koruyabilir; böylece sürtünme ve hava direnci gibi dış etkileri yavaş yavaş etkisiz hâle getirene kadar dönmeye devam eder.
Eski zamanlarda tahıl öğütmek için kullanılan büyük taş değirmenler, büyük kütlesi nedeniyle yüksek bir eylemsizlik momentine sahip olur. Bir kez harekete geçirildikten sonra bu yüksek eylemsizlik momenti nedeniyle değirmen uzun süre dönmeye devam eder.
Aynı kapıyı menteşeye yakın iterken çok zorlanır, kolun ucundan iterken kolayca açarsın. Kapının eylemsizlik momenti değişmez; değişen, senin uyguladığın torktur — bu ikisinin ayrı şeyler olduğu 29. ünitede tam olarak tanımlanacak.
Dönen sandalyede kollarını açtığında kütlen aynı kaldığı hâlde eylemsizlik momentin büyür, çünkü kütlenin bir kısmı eksenden uzaklaşır. Aynı hızda dönmeye devam etmek daha çok enerji ister.
Aynı eğimden bırakılan bir bilye ile bir halkadan bilye daha erken varır. Sebebi kütlesi değil, kütlesinin merkeze yakın toplanmış olmasıdır: enerjisinin daha azı dönmeye gider, daha çoğu ilerlemeye kalır.
Telefonu uzun kenarı etrafında çevirmek, kısa kenarı etrafında çevirmekten daha kolaydır. Aynı cisim, hangi eksen seçildiğine göre farklı eylemsizlik momentine sahiptir.
Özellikle yapısal mühendislikte, binaların ve diğer yapıların tasarımında ve analizinde, dayanıklılık ve stabiliteyi değerlendirmek için eylemsizlik momenti hesaplamaları kritik öneme sahiptir.
50 soruluk test · eylemsizlik momenti, geometrik cisimlerin bağıntıları, dönme kinetik enerjisi ve dönerek ötelemede toplam enerji
Cismin mevcut hareket durumunu koruma eğilimidir; kütle ile doğru orantılıdır.
Bir cismin bir eksen etrafında dönme hareketine karşı gösterdiği dirençtir. Skalerdir, I ile gösterilir, birimi kg·m² dir.
I = m · r²
I = Σ (m · r²)
Parçacıkların kütlesine, eksene uzaklıklarının karesine ve cismin geometrik şekline.
küre: (2/5)·m·r² · silindir ve disk: (1/2)·m·r²
halka: m·r² · ince çubuk: (1/12)·m·L²
Dağılım merkezîyse I küçük, genişse I büyüktür.
E(D) = (1/2) · I · ω²
Eylemsizlik momenti, öteleme hareketindeki kütlenin yerini alır.
E = (1/2)·m·v² + (1/2)·I·ω²
Kaymadan yuvarlanan tekerlek iki enerjiye birden sahiptir.