Yeni bir kuvvet
değil, bir görev
Merkezcil kuvvet, listeye eklenen yeni bir kuvvet türü değildir. Zaten var olan bir kuvvetin — gerilme, sürtünme, kütle çekim ya da normal kuvvetin — merkeze doğru olan bileşenine verilen addır. Bu ünitede aradığımız soru hep aynı: bu cismi merkeze doğru çeken kuvvetin adı ne?
m kütleli, v çizgisel hıza sahip bir cisim eylemsizliğinden dolayı doğrultusunu ve yönünü değiştirmeden ilerler. Aynı cisme hızına sürekli dik bir sabit kuvvet uygulandığında yönünü ve doğrultusunu değiştirir. Bu kuvvet uygulanmaya devam ederse cisim düzgün çembersel hareket yapar.
Yönü merkeze doğru ve çizgisel hız vektörüne daima dik bu kuvvete merkezcil kuvvet denir. Cisim bu kuvvet sayesinde çembersel yörüngede dolanır.
Merkezcil kuvvet cismin üzerindeki net kuvvettir; ip yardımı ile dönen cismin üzerindeki net kuvveti ipteki gerilme kuvveti oluşturur. Yani F(merkezcil) = T(ip) = F(net).
Net kuvvetin büyüklüğü yörünge üzerinde her noktada aynıdır, ancak her noktada net kuvvetler eşit değildir. Sebebi, net kuvvetin vektörel bir büyüklük olup sürekli yön değiştirmesidir.
Düzgün çembersel hareket yapan bir cisim ivmeli hareket yapar, ivme vektörü merkezcil kuvvetle aynı yöndedir. Bu ivme cisme uygulanan F(net) kuvveti sayesinde oluşur. Newton’ın İkinci Hareket Kanunu uygulanarak net kuvvetin değeri hesaplanır:
F(net) = m · a
a = v² / r = ω² · r (25. ünite)
F(merkezcil) = m · v² / r = m · ω² · r
Bir cisme "merkezkaç kuvveti" diye bir kuvvet etki etmez. Merkezkaç, dönen bir referans sistemi içindeki nesneler için tanımlanan bir kavramdır: bir kuvvet değil, ivmeli referans sistemindeki gözlemcinin hissettiği bir etkidir.
Aynı şekilde: çembersel hareket sırasında cismi yörüngenin merkezine doğru çeken kuvvet dışarıdan uygulanan bir kuvvet değildir; net kuvvetin çembersel yörüngenin merkezine doğru olan bileşenidir. Virajda savrulma hissin gerçek bir kuvvetten değil, eylemsizliğinden — düz gitmek istemenden — gelir.
Merkezcil kuvvet, aslında özgün bir kuvvet türü değil, dairesel bir yörüngede hareket eden bir nesnenin merkezcil ivmesine neden olan mevcut kuvvetlerin (sürtünme, kütle çekim, gerilme, elektromanyetik gibi) topluca ifadesidir. "Merkezcil" terimi, bu kuvvetlerin yönünün daima hareketin merkezine doğru olduğunu vurgulamak için kullanılır.
Dünya’nın yörüngesinde dönen bir uyduya kütle çekim kuvveti etki eder; bu kuvvet sayesinde uydular Dünya yörüngesinde çembersel yörüngede hareket edebilmektedir.
Yüksek hızda dönen tamburda, tambur tarafından çamaşırlara uygulanan normal kuvvet hem çamaşırları hem su moleküllerini merkeze doğru iter. Çamaşırlar ile su molekülleri arasındaki sürtünme kuvveti yetersiz kaldığında su molekülleri çamaşırlar kadar hızla merkeze doğru ivmelenemez ve deliklerden geçip dışarı atılır.
Viraja giren bir aracın güvenli bir şekilde yön değiştirebilmesi için sürtünme kuvvetine ihtiyacı vardır. Bu kuvvet, aracın lastikleri ile yol arasındaki etkileşimden kaynaklanır ve aracın kaymadan virajı almasını sağlar.
Serbest cisim diyagramları (SCD), yatay ve düşey düzlemlerde düzgün çembersel hareket yapan cisimlerin hareketini analiz etmek için sıklıkla kullanılır. Bu diyagramlar, bir cismin üzerine etki eden tüm kuvvetleri gösteren basitleştirilmiş çizimlerdir. Sabit açısal hızla dönen bir atlıkarınca, bir plak ve lunaparktaki zincirli salıncağa binen bir kişi yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapar.
Sürtünmesiz yatay bir düzlemde O noktasına sabitlenmiş bir ip yardımı ile düzgün çembersel hareket eden bir cisim, ip koptuğunda çizgisel hız yön ve doğrultusunda hareketine devam eder. Merkeze doğru değil, teğet doğrultuda gider — merkezcil kuvvet ortadan kalktığı an geriye eylemsizlik kalır.
Sürtünme kuvveti her zaman maksimum değerinde olmaz. Silindir içindeki cisim için: F(s,max) ≥ m·g ise sistem burada dengede kalır; m·g > F(s,max) ise cisim aşağı kayar.
Sürtünmesiz yatay düzlemde aynı ip üzerindeki m₁ ve m₂ kütleli K ve L cisimleri sabit ω açısal hızıyla dönerek düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Dıştaki cismi yalnız kendi ipi çeker; içteki cismin ipi ise hem kendi merkezcil kuvvetini hem de dıştaki ipin geri çekmesini karşılamak zorundadır.
m₂ cisminin üzerindeki dönme merkezine dik net kuvvet merkezcil kuvvettir. Üzerinde tek ip vardır:
F₂ = T₂ = m₂ · ω² · r₂
İçteki cismi T₁ merkeze doğru çekerken T₂ dışa doğru çeker; net kuvvet ikisinin farkıdır:
F₁ = T₁ − T₂ = m₁ · ω² · r₁
T₁ − m₂·ω²·r₂ = m₁·ω²·r₁
T₁ = ω² · (m₁·r₁ + m₂·r₂)
Düşey düzlemde ipin gerilmesi her noktada farklıdır, çünkü ağırlık bazı noktalarda merkeze doğru bakar (yani merkezcil kuvvete katkı verir), bazı noktalarda merkezden dışarı bakar (yani ipin daha çok çekmesi gerekir), bazı noktalarda da merkez doğrultusuna diktir (hiç karışmaz).
Cisim K noktasından geçerken cismi hareketin merkezine doğru çeken net kuvvetin büyüklüğü F(m) = T(K), yani ipteki gerilme kuvvetinin büyüklüğüne eşittir. M noktası için de aynısı geçerlidir: F(m) = T(M). Sebebi, bu noktalarda ağırlığın merkez doğrultusuna dik olmasıdır.
Cisim çembersel yörüngenin en üst noktasından geçerken cisme etki eden merkezcil kuvvetin büyüklüğü F(m) = T(L) + m·g olur. Cisim bu noktadan geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti en küçük değerini alır. Ağırlık zaten merkeze doğru baktığı için ipin işi hafifler.
Cismin düzgün çembersel hareket yapabilmesi için merkeze doğru bir merkezcil kuvvet olmalıdır; bu durumda merkez doğrultusunda olan ip gerilme kuvveti cismin ağırlığından büyük olmalıdır.
F(m) = T(N) − m·g
T(N) = F(m) + m·g
N noktasında ip gerilmesi en büyük değerini alır.
Ara noktalarda hesaba giren, ağırlığın ip doğrultusundaki bileşenidir. Üst yarıda bu bileşen merkeze doğrudur, alt yarıda merkezden dışarıdır:
S (üst yarı): F(m) = T(S) + m·g·cosα → T(S) = F(m) − m·g·cosα
P (alt yarı): F(m) = T(P) − m·g·cosθ → T(P) = F(m) + m·g·cosθ
Düşey düzlemde hız büyüklüğü sabit tutulursa merkezcil kuvvetin büyüklüğü her noktada aynıdır (m·v²/r). Noktadan noktaya değişen şey ipin gerilmesidir, çünkü ağırlığın merkez doğrultusundaki payı değişir. En üstte ağırlık işin bir kısmını üstlenir (T küçülür), en altta ağırlık ters yöne çeker (T büyür). Soruda "gerilme mi, merkezcil kuvvet mi soruluyor" ayrımını yapmadan işleme başlama.
Lunaparktaki salıncaktan çamaşır makinesinin sıkma devrine kadar, hepsinde aranan tek şey aynı: merkeze doğru yeterli bir kuvvet.
Lunaparkta hızlandıkça zincirin açısı büyür. Sebebi basit: düşeyde T·cosα = m·g sabit kalmak zorundadır, hız arttıkça gereken yatay bileşen T·sinα büyür, bu yüzden zincir daha çok yatar.
Tamburun uyguladığı normal kuvvet çamaşırları merkeze doğru iter, ama su molekülleri bu ivmeyi yakalayamaz ve deliklerden dışarı çıkar. Kıyafetlerin kuruması "suyun savrulması" değil, suyun çembersel yörüngede kalamamasıdır.
Servis viraja girdiğinde kapıya doğru savrulman, seni kapıya iten bir kuvvet olduğu için değil; sen düz gitmek isterken aracın yön değiştirmesi yüzündendir. Kapının sana uyguladığı kuvvet ise merkeze doğrudur.
Ucunda top olan ipi çevirirken elinin hissettiği çekme, ipin gerilmesidir ve tam olarak merkezcil kuvvettir. Daha hızlı çevirdiğinde ip daha çok geriliyorsa, sebebi F = m·v²/r bağıntısında v²’dir.
Silindirin iç duvarında dönen motosiklette merkezcil kuvveti duvarın tepki kuvveti sağlar; düşeyde onu tutan ise sürtünme kuvvetidir. İki kuvvet birbirine dik iş yapar, ikisi de gereklidir.
Bardağın içindeki suyu düşey düzlemde hızlıca çevirdiğinde su dökülmez. Sebebi en üst noktada ağırlığın merkezcil kuvvetin bir parçası olmasıdır: gereken kuvvet ağırlıktan büyükse su da bardakla birlikte dönmeye devam eder.
Salıncakta en alçak noktadan geçerken kendini daha ağır hissetmenin sebebi T(N) = F(m) + m·g bağıntısıdır: orada zincirin çekmesi ağırlığından büyüktür.
Atlet teli bıraktığı anda çekiç merkeze değil, o anki teğet doğrultuya fırlar. Bırakma anını doğru seçmek, tam olarak bu yüzden yarışmanın kendisidir.
Haritan çalışırken sinyali aldığın uyduyu yörüngede tutan tek şey kütle çekim kuvvetidir; motoru sürekli çalışmaz. Kütle çekim, o yörüngenin merkezcil kuvvetidir.
50 soruluk test · merkezcil kuvvetin tanımı, bağıntısı, serbest cisim diyagramları ve düşey düzlemde ip gerilmesi
Yönü merkeze doğru ve çizgisel hız vektörüne daima dik olan kuvvettir. Cismin üzerindeki net kuvvetin kendisidir: F(merkezcil) = F(net).
F = m · v² / r = m · ω² · r
Newton’ın İkinci Hareket Kanunu (F = m·a) ile merkezcil ivmeden çıkar.
Özgün bir kuvvet türü değildir; sürtünme, kütle çekim, gerilme, elektromanyetik gibi mevcut kuvvetlerin merkeze doğru olan bileşeninin ortak adıdır.
Bir cisme merkezkaç kuvveti diye bir kuvvet etki etmez; ivmeli referans sistemindeki gözlemcinin hissettiği bir etkidir.
İpli düzenekte T, sürtünmeli düzlemde F(s), askılı düzenekte T·sinα (T·cosα = m·g), silindirde N merkezcil kuvveti sağlar.
T₂ = m₂·ω²·r₂
T₁ = ω²·(m₁·r₁ + m₂·r₂)
En üstte F(m) = T + m·g (gerilme en küçük), en altta F(m) = T − m·g (gerilme en büyük), yanlarda F(m) = T.
Cisim çizgisel hız yön ve doğrultusunda, yani teğet doğrultuda hareketine devam eder.