Sürat sabit,
hız değişiyor
Bu ünitenin bütün zorluğu tek cümlede: düzgün çembersel harekette hız vektörü sürekli değiştiği için hız sabit değil, hız büyüklüğü sabittir. Yön değiştiği için hız değişir; hız değiştiği için ivme vardır — ve bu ivme daima merkeze doğrudur.
Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin, bir dönüşü tamamlaması için gerekli olan süre periyot olarak adlandırılır. Periyot, sembolü "T" ve SI'da birimi saniye (s) olan bir zaman dilimidir. Periyot kavramı, düzenli aralıklarla tekrarlanan olaylar için kullanılır.
Çembersel hareket yapan bir cismin, birim zamandaki tur sayısına frekans denir ve bu, cismin ne kadar hızlı hareket ettiğinin bir ölçüsüdür. Frekans "f" harfi ile simgelenir ve SI'da birimi 1/saniye ya da hertzdir (Hz). Hertz, 1 saniyedeki tekrar sayısı olarak tanımlanır.
Periyot (T) ile frekans (f) arasında ters orantı bulunur. Periyot arttıkça frekans azalır, frekans arttıkça periyot azalır.
T · f = 1
RPM, "Revolutions Per Minute" ifadesinin kısaltmasıdır ve Türkçede "Dakikadaki Devir Sayısı" anlamına gelir. Örneğin dönen bir motor milinin, bir dakika içerisinde kaç kez tam tur attığını gösteren bir ölçü birimidir.
Yelkovan saatte bir çemberin etrafında tam bir dönüş yapar; periyodu 60 dakikadır. Akrep 12 saatte bir tam dönüş yapar; frekansı günde iki kez tam dönüş yapar şeklinde ifade edilebilir. Hubble Uzay Teleskobu Dünya etrafında bir turunu yaklaşık 95-97 dakikada tamamlar, 1 günde yaklaşık 15 kez döner. Uluslararası Uzay İstasyonu bir turunu yaklaşık 90 dakikada tamamlar, günde yaklaşık 16 kez döner. Jet motorunun frekansı, araba tekerleğinin frekansından daha yüksektir; bu da jet motorunun daha hızlı döndüğü anlamına gelir.
Belli zaman aralıklarında tekrarlı olarak gerçekleşen hareketlere periyodik hareket denir. Bir cismin sabit bir eksen etrafında çembersel yörüngedeki hareketine çembersel hareket denir. Çembersel harekette hızın büyüklüğü sabit olmayabilir.
Bir cismin sabit bir hız büyüklüğüne ve merkeze yönelik sabit bir ivmeye sahip olması durumunda, cisim düzgün çembersel bir yörünge izler. Bu tür harekete düzgün çembersel hareket denir.
Düzgün çembersel harekette hız vektörü sürekli değiştiği için hız sabit değil, hız büyüklüğü sabittir. Yani hareketlinin sürati sabittir.
Araç düzgün çembersel bir hareket yapıyorsa, yani sabit bir hız büyüklüğü ile dönüyorsa aracın çizgisel sürati her noktada aynı kalacaktır. Ancak aracın çizgisel hızı farklıdır, çünkü bu hızın bir yönü vardır ve bu yön sürekli olarak değişir. Hız vektörü her zaman yörüngeye teğet olacak şekilde döner.
Bir tur için alınan yol çemberin çevresine, geçen zaman ise periyoda eşittir. Sürat = Yol / Zaman bağıntısından:
v = 2 · π · r / T · v = 2 · π · f · r
Çizgisel hız v sembolü ile gösterilir. Birimi m/s dir. Çizgisel hız vektörel bir büyüklüktür.
Düzgün çembersel hareket yapan bir aracın hız göstergesinde görünen
değer, çizgisel sürat değeridir.
Yörüngenin her noktasındaki çizgisel süratler eşittir; ama
hız vektörleri farklıdır.
Çembersel hareket yapan bir cisme çemberin merkezinden cismin bulunduğu konuma çizilen vektör konum vektörüdür, r ile gösterilir. Konum vektörü, çizgisel hız vektörüne daima diktir.
Çembersel harekette, cisim daima merkez etrafında aynı uzaklıkta döner;
bu uzaklığa yarıçap denir ve yarıçap uzunluğu sabittir. Ancak cismin yönü sürekli değişir. Yani
yarıçap vektörünün uzunluğu aynı kalır, ancak yönü sürekli değiştiği için yarıçap vektörü sürekli
değişir.
Kısacası: r₁ ≠ r₂ (vektörler farklı) ama r₁ = r₂ (uzunluklar eşit).
Aynı ayrım hız için de geçerlidir — bu ünitede her büyüklüğün "vektörü" ile "büyüklüğü" ayrı
sorulur.
Açısal hız, birim zamanda döndürülen açı olarak ifade edilir. Diskin O merkezi etrafında t sürede θ açısı kadar döndürüldüğünde, disk üzerindeki tüm noktalar θ açısı kadar dönerler. Bu durumda, diskteki herhangi bir noktanın açısal hızı sabittir.
ω = Δθ / Δt
ω açısal hızdır (radyan/saniye). Δθ, belirli bir zaman aralığında döndürülen açısal mesafedir (radyan). Δt geçen süredir (saniye). Açısal hız ω sembolü ile gösterilir ve vektörel bir büyüklüktür.
Açısal hız vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur:
1. Sağ elinizi açın.
2. Dört parmağınızı cismin dönüş yönüne kıvırın.
3. Baş parmağın yönü açısal hızın yönünü verecektir.
Bu durumda, açısal hız vektörü yarıçap vektörüne diktir.
AB yayının uzunluğu = r · θ
(Açı radyan cinsindendir.) Bu küçük bağıntı, bir sonraki bölümdeki v = ω · r ilişkisinin çıkış noktasıdır.
Düşey eksen etrafında saat yönünün tersine ω açısal süratiyle döndürülen silindirde açısal hızın yönü +y ekseni yönünde olur. Yatay eksen etrafında döndürülen silindirde ise açısal hızın yönü –x ekseni yönünde olur. İkisinde de yön, sağ el kuralıyla bulunur.
O noktası etrafında ω açısal hızıyla döndürülen diskin üzerindeki A noktası t süre sonra Δθ açısı kadar dönerek B konumuna geliyor. AB yayının uzunluğu r · Δθ ye eşittir; aynı yayı çizgisel hızla hesaplarsak v · Δt olarak bulunur.
r · Δθ = v · Δt
Δθ / Δt = v / r ⇒ ω = v / r ⇒ v = ω · r
v = 2·π·r·f ⇒ ω = 2·π·r·f / r ⇒ ω = 2·π·f
Frekans arttıkça açısal hız büyüklüğü artar sonucuna ulaşılır.
A ve B noktalarının açısal hızları eşitken, dönme merkezinden uzaklaştıkça çizgisel hızın büyüklüğünün arttığını söyleyebiliriz. v = ω · r bağıntısında ω ortaksa, büyük r büyük v demektir.
3r yarıçaplı X kasnağı ile eş merkezli r yarıçaplı Y kasnağının
açısal hızları eşittir. X kasnağı Z kasnağına kayışla bağlı olduğundan A ve B noktalarının
çizgisel hız büyüklükleri eşittir. Z kasnağının yarıçapı X kasnağından küçük olduğundan, X e göre
daha çok tur atar; böylece Z kasnağının açısal hızı daha fazladır.
Sonuç: v(A) = v(B) ve
ω(Z) > ω(X) = ω(Y).
Bu ünitenin en çok karıştırılan yeri budur ve tek bir soruyla çözülür:
iki kasnak aynı mile mi takılı, yoksa aralarında kayış mı var?
• Aynı mil / eş merkezli ⇒ birlikte dönerler ⇒
açısal hızları eşittir, çizgisel hızları yarıçapla orantılıdır.
• Kayışla bağlı ⇒ kayış kopmadan gerildiği için temas noktalarının
çizgisel hızları eşittir, açısal hızları yarıçapla ters orantılıdır.
Çembersel yörüngede hareket eden cismin hız büyüklüğü değişmez ancak çizgisel hız vektörü sürekli yön değiştirdiği için, hızı değişir. Bu değişim, cisim üzerinde ivme oluşturur. Oluşan bu ivmeye merkezcil ivme denir. Merkezcil ivmenin yönü sürekli çemberin merkezine doğrudur.
Bağıntı benzer ikizkenar üçgenlerden çıkarılır: Δθ = Δv / v = v · Δt / r ilişkisinden Δv = v² · Δt / r bulunur ve a = Δv / Δt bağıntısında yerine yazılırsa:
a = v² / r = v · ω = ω² · r
Çizgisel hız, açısal hız ve merkezcil ivme vektörleri birbirlerine dik açılar oluşturacak şekilde konumlandırılır. Yarıçap vektörü ile merkezcil ivme vektörü aynı doğrultudadır ancak zıt yöndedirler.
Doğrusal harekette sürat sabitse ivme gerçekten sıfırdır. Çembersel harekette ise
hız bir vektördür ve yön değişimi de bir hız değişimidir. Bu yüzden
düzgün çembersel harekette sürat hiç değişmediği hâlde
ivme sıfırdan farklıdır ve daima merkeze doğrudur.
İkinci tuzak: a = v²/r ile a = ω²·r
aynı ivmedir ama farklı davranır. Sürat sabit tutulup yarıçap büyütülürse ivme
azalır; açısal hız sabit tutulup yarıçap büyütülürse ivme
artar. Soruda hangisinin sabit tutulduğuna bak.
Bisikletinin vitesi de, telefonunun saati de, lunaparktaki dönme dolap da aynı üç kavramla çalışıyor.
Ön ve arka dişliler zincirle bağlıdır, yani çizgisel hızları eşittir. Arkada küçük dişliye geçmek, o dişlinin açısal hızını artırmak demektir; tekerlek daha hızlı döner ama pedal daha zor çevrilir.
Yelkovanın periyodu 60 dakika, akrebinki 12 saattir. Yelkovan daha uzun olduğu için ucu daha büyük çizgisel hızla gider; ama akrep ile yelkovanın açısal hızları da zaten farklıdır.
Dolabın her kabini aynı açısal hızla döner; dışarıdaki kabin merkeze daha uzak olduğu için çizgisel hızı daha büyüktür. Aynı turu aynı sürede tamamlamalarının sebebi budur.
Makinenin üzerindeki 1000 devir yazısı RPM dir: dakikadaki tur sayısı, yani frekansın başka bir yazılışı. Devir arttıkça merkezcil ivme büyür ve su dışarı atılır.
İpe bağlı topu çevirirken ip kopunca top merkeze değil teğet doğrultuda fırlar. Hız vektörünün her an teğet olduğunun en somut kanıtı budur.
Oyunlardaki hız göstergesi, aracın çizgisel süratini yazar. Viraja girdiğinde gösterge değişmese de hız değişiyordur, çünkü yön değişir.
Atlıkarıncanın kenarına oturduğunda savrulma hissin artar; çünkü aynı açısal hızda r büyüdükçe merkezcil ivme (ω²·r) büyür.
Uluslararası Uzay İstasyonu bir turunu yaklaşık 90 dakikada tamamlar, günde yaklaşık 16 kez Dünya etrafında döner. Gökyüzünde bazı akşamlar hızlı geçen o parlak nokta budur.
İkisinin de kutusunda RPM yazar. Kademeyi yükseltmek periyodu küçültmek, dolayısıyla frekansı büyütmektir — T · f = 1 her zaman geçerlidir.
55 soruluk test · periyot, frekans, çizgisel ve açısal hız, kasnak sistemleri ve merkezcil ivme
Bir dönüşü tamamlamak için gerekli süredir. Sembolü T, birimi saniyedir. Düzenli aralıklarla tekrarlanan olaylar için kullanılır.
Birim zamandaki tur sayısıdır. Sembolü f, birimi 1/saniye ya da hertzdir (Hz). Hertz, 1 saniyedeki tekrar sayısıdır.
T · f = 1
Periyot arttıkça frekans azalır, frekans arttıkça periyot azalır. RPM ise dakikadaki devir sayısıdır.
Cismin sabit bir eksen etrafında çembersel yörüngedeki hareketidir. Çembersel harekette hızın büyüklüğü sabit olmayabilir.
Cismin sabit bir hız büyüklüğüne ve merkeze yönelik sabit bir ivmeye sahip olmasıyla izlenen harekettir.
Düzgün çembersel harekette hız vektörü sürekli değiştiği için hız sabit değil, hız büyüklüğü sabittir. Yani hareketlinin sürati sabittir.
v = 2·π·r / T = 2·π·f·r
Birimi m/s dir, vektörel bir büyüklüktür ve yörüngeye teğettir. Yörüngenin her noktasındaki çizgisel süratler eşittir.
Çemberin merkezinden cismin bulunduğu konuma çizilen vektördür. Konum vektörü, çizgisel hız vektörüne daima diktir. Uzunluğu sabittir ama vektör olarak sürekli değişir.
ω = Δθ / Δt · ω = 2·π·f
Birim zamanda döndürülen açıdır; birimi radyan/saniyedir ve vektörel bir büyüklüktür. Frekans arttıkça açısal hız büyüklüğü artar.
Sağ el kuralı ile bulunur: dört parmak dönüş yönüne kıvrılır, başparmak açısal hızın yönünü gösterir. Açısal hız vektörü yarıçap vektörüne diktir.
Yay uzunluğu r · θ olduğundan r·Δθ = v·Δt yazılır ve v = ω · r bulunur. Açısal hızlar eşitken dönme merkezinden uzaklaştıkça çizgisel hızın büyüklüğü artar.
Eş merkezli kasnakların açısal hızları eşittir; kayışla bağlı kasnakların temas noktalarındaki çizgisel hız büyüklükleri eşittir. Yarıçapı küçük olan kasnak daha çok tur atar, açısal hızı daha büyüktür.
a = v² / r = v · ω = ω² · r
Hız vektörünün yön değiştirmesinden doğar; yönü sürekli çemberin merkezine doğrudur.
Çizgisel hız, açısal hız ve merkezcil ivme vektörleri birbirlerine dik açılar oluşturacak şekilde konumlandırılır. Yarıçap vektörü ile merkezcil ivme vektörü aynı doğrultudadır ancak zıt yöndedirler.