Köşe nerede,
formül orada
Çemberdeki bütün açı kuralları tek soruyla ayrılır: açının köşesi nerede? Merkezdeyse yaya eşit, çember üzerindeyse yayın yarısı, içerideyse iki yayın toplamının yarısı, dışarıdaysa iki yayın farkının yarısı. Bu ünitede teğet-kiriş açı, iç açı, dış açı ile teğetin özellikleri, çevrel çember ve sinüs teoremi var.
Tanım: köşesi çember üzerinde bulunan, kollarından biri çemberin teğeti, diğeri çemberin kirişi olan açıya teğet-kiriş açı denir. Ölçüsü için de: bir teğet-kiriş açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir, yani m(ATB) = m(TB)/2. Buna bir madde daha eklenir: bir çemberde aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir — m(ATB) = m(TCB). Sebebi ikisinin de aynı yayın yarısı olmasıdır; yani teğet-kiriş açı, çevre açının bir kolu teğete dönüşmüş hâlidir.
Köşe çember üzerinde, kollardan biri teğet, biri kiriş. Teğetin değme noktası aynı zamanda açının köşesidir.
m(ATB) = m(TB)/2. Gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır — çevre açıyla aynı kural.
Teğet doğrusunun iki yanında oluşan iki teğet-kiriş açı, çemberin iki yayını görür. İki yayın toplamı 360° olduğu için bu iki açının toplamı 180°’dir. Bu ders kitabında ayrıca yazmıyor; iki maddesinin doğrudan sonucudur ve kaydırakla doğrulanabilir.
Bir çemberde iç açının ölçüsü, bu açının gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir. İki kirişin çember içinde kesişmesiyle oluşan E noktasında karşılıklı iki açı eşittir (iç ters açı): m(AEC) = m(BED) ve bu ölçü [m(AC) + m(BD)] / 2’dir. Yani iç açı iki yay birden görür: hem karşısındaki yayı hem de onun tam karşısındaki yayı. Kesişme noktası merkeze doğru kaydıkça ikinci yay büyür, açı da büyür.
m(AEC) = m(BED) eşitliği “iç ters açı” diye not düşüyor: iki doğru kesiştiğinde karşılıklı açılar zaten eşittir. Bu yüzden formül ikisi için birden geçerlidir.
Kesişme noktası merkeze gelirse iki kiriş de çap olur ve gördükleri iki yay eşitlenir. Formül (x + x)/2 = x verir; yani iç açı merkez açıya dönüşür. Merkez açı, iç açının özel hâlidir — kaydırağı sıfıra çekince rozet de öyle diyor.
Bir çembere dışındaki noktadan çizilen iki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir kesenin çemberin dışında oluşturduğu açıya çemberin dış açısı denir. Ölçüsü de şöyle: bir dış açının ölçüsü, gördüğü yaylardan büyük olan açı ile küçük olanın ölçüsünün farkının yarısına eşittir — m(EAC) = [m(EC) – m(DB)]/2. Ders kitabı iki özel durum daha veriyor: [AB ve [AC çembere B ve C noktalarında teğet ise m(BAC) + m(BKC) = 180° olur; bir teğet bir kesen için de aynı fark kuralı geçerlidir: m(BAC) = [m(BD) – m(BC)]/2.
İç açı ile dış açı formülleri neredeyse aynıdır; tek fark ortadaki işarettir. Karar vermek için tek soru yeter: köşe çemberin içinde mi dışında mı? İçerideyse topla, dışarıdaysa çıkar. Dış açıda ayrıca sıraya dikkat: büyük yaydan küçük yay çıkarılır, yoksa açı negatif çıkardı.
İki temel özellik vardır. Birincisi: bir çemberde merkezden teğetin değme noktasına indirilen doğru parçası teğete diktir, yani [OT] ⊥ d. İkincisi: bir çembere çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir — |AB| = |AC| ve bununla birlikte m(BAO) = m(CAO), m(AOB) = m(AOC) olur. Yani [AO] doğru parçası hem A’daki açıyı hem O’daki açıyı ortalar: şekil, [AO] doğrusuna göre simetriktir.
Merkezden değme noktasına inen doğru parçası teğete diktir. Bu yüzden merkezin teğete uzaklığı tam olarak yarıçaptır — 33. ünitedeki h = r durumu.
Dıştaki bir noktadan çizilen iki teğet parçası eşit uzunluktadır. Sebebi iki dik üçgenin eş olmasıdır: ortak hipotenüs [AO] ve eşit dik kenarlar (yarıçaplar).
[AB] ⊥ [OB] olduğu için ABO dik üçgeninde Pisagor uygulanabilir: |AB|² + r² = |AO|², yani |AB| = √(|AO|² – r²). Bu bağıntı ayrıca yazmıyor; diklik özelliğinin doğrudan sonucudur.
Üç çember tanımlanır. Çevrel çember: bir üçgenin köşelerinden geçen çemberdir; bir üçgenin kenar orta dikmeleri çevrel çemberin merkezinden geçer. Bu çemberle birlikte çemberde sinüs teoremi geliyor: R yarıçaplı çevrel çemberi olan ABC üçgeninde a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R bağıntısı vardır. İç teğet çember: bir üçgenin üç kenarına da teğet olan çemberdir; merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır ve teğet parçalarının eşitliğinden |AD| = |AE|, |BF| = |BD|, |CF| = |CE| olur. Dış teğet çember: üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarının uzantısına teğet olan çemberdir; bir üçgenin herhangi bir açısının iç açıortayı ile diğer iki açısının dış açıortayı aynı noktada kesişir.
Üçgenin köşelerinden geçer. Merkezi kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır; çünkü orta dikme üzerindeki her nokta o kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır.
Üçgenin üç kenarına da teğettir. Merkezi iç açıortayların kesim noktasıdır; çünkü açıortay üzerindeki her nokta açının iki koluna eşit uzaklıktadır. |OD| = |OE| = |OF| = r olur.
Bir kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğettir. Merkezi, bir açının iç açıortayı ile diğer iki açının dış açıortaylarının kesim noktasıdır.
12. ünitede sinüs teoremi a/sin A = b/sin B = c/sin C biçiminde verilmişti; burada oranın neye eşit olduğu söyleniyor: 2R, yani çevrel çemberin çapı. Bunun bir sonucu şu: iki üçgenin bir kenarı ve karşısındaki açısı aynıysa çevrel çemberlerinin yarıçapları da aynıdır. Aynı kenarı aynı açıyla gören bütün noktaların tek bir yay üzerinde toplanmasının sebebi de budur — çevre açı kuralının öteki yüzü.
Çemberdeki açı kuralları “nereden bakıyorsun” sorusunun geometrisidir. Sahada, ekranda, oyunda hep aynı mantık çalışır: yaklaştıkça açı büyür, uzaklaştıkça küçülür.
Kaleye yaklaştıkça kaleyi gören açı büyür. Aynı yay üzerindeki iki noktadan kaleyi aynı açıyla görürsün — çevre açı kuralı.
Perdeyi gören açı, perdeye olan uzaklığa bağlıdır. Salonun arka sırasından bakmak dış açı gibidir: uzaklaştıkça iki yay farkı azalır, açı küçülür.
Bir düşmanın karakteri görüp görmediği, görüş konisinin açısıyla hesaplanır. Duvarın arkasından çıkarken açının teğet geçtiği an kritik andır: bir adım sonra görünürsün.
Zincirin düz kısımları iki dişliye teğettir ve teğet parçalarının uzunlukları eşittir. Bu yüzden zincir her iki tarafta da aynı gerginlikte durur.
Yuvarlak masaya oturan arkadaşlarını çekerken kamerayı uzaklaştırırsan görüş açısı daralır; masaya değecek kadar yaklaştırırsan görüş çizgileri teğet olur.
Dairesel bir havuzun çevresindeki iki bank arasındaki mesafe kiriştir; havuzun kenarından yürüyerek gidilen yol ise yaydır. Kiriş her zaman daha kısadır.
Üçgen bir masanın üç kenarına da eşit uzaklıkta bir nokta arıyorsan aradığın şey iç teğet çemberin merkezi, yani açıortayların kesim noktasıdır.
Üç eve eşit uzaklıkta bir nokta arıyorsan bu çevrel çemberin merkezidir — kenar orta dikmelerinin kesim noktası.
Sahneyi aydınlatan iki ışık huzmesi sahne çemberine teğet geçiyorsa aradaki açı ile aydınlanan yay toplamda 180° eder — iki teğet kuralı.
Teğet-kiriş açı, iç açı, dış açı, teğetin özellikleri, çevrel çember ve sinüs teoremi üzerine 50 soruluk test.
Köşesi çember üzerinde, bir kolu teğet bir kolu kiriştir. m(ATB) = m(TB)/2. Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir.
Köşesi çemberin içindedir. m(AEC) = m(BED) = [m(AC) + m(BD)]/2 — gördüğü iki yayın toplamının yarısı.
Köşesi çemberin dışındadır; iki kesen, iki teğet ya da bir teğet-bir kesenle oluşur. m(EAC) = [m(EC) – m(DB)]/2 — büyük yaydan küçük yay çıkarılır, yarısı alınır.
[AB ve [AC teğet ise m(BAC) + m(BKC) = 180° (BKC, teğet noktaları arasındaki yakın yaydır).
[OT] ⊥ d — merkezden değme noktasına inen parça
teğete diktir.
Dıştaki bir noktadan çizilen teğet parçaları eşittir:
|AB| = |AC|, ayrıca m(BAO) = m(CAO) ve
m(AOB) = m(AOC).
Üçgenin köşelerinden geçen çemberdir; merkezi kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
R, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.
İç teğet çember üç kenara da teğettir, merkezi iç açıortayların kesimidir ve |AD| = |AE|, |BF| = |BD|, |CF| = |CE| olur. Dış teğet çember bir kenara ve diğer ikisinin uzantısına teğettir; merkezi bir iç açıortay ile iki dış açıortayın kesişimidir.
İç açıda topla, dış açıda çıkar. Karar veren tek
şey köşenin çemberin içinde mi dışında mı olduğudur.
Dış açıda sıra önemlidir: büyük yaydan küçük yay
çıkarılır.
Teğet uzunluğu |AB| = √(|AO|² – r²) (diklikten Pisagor ile). Teğet doğrusunun iki yanındaki iki teğet-kiriş açının toplamı 180°’dir.