Hepsi dörtgen,
bazıları daha özel.
Kare aynı zamanda dikdörtgen, dikdörtgen aynı zamanda paralelkenar, paralelkenar aynı zamanda yamuktur. Bu genelden özele hiyerarşi anlaşıldığında, bir şekil için doğru olan her özellik onun altındakiler için de geçerli olur.
Konu özetinin tanımı: herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı ardışık olarak birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı düzlemsel şekillere dörtgen denir. Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgene dışbükey, herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgene içbükey dörtgen denir.
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; 2 · 180° = 360° eder. 69. ünitedeki (n – 2)·180° kuralının n = 4 hâlidir.
Bütün çokgenlerde olduğu gibi dörtgende de dış açılar toplamı 360° dir. Dörtgen, iç ve dış açı toplamı aynı olan tek çokgendir.
İçbükey dörtgende de iç açılar toplamı 360° dir. Değişen tek şey bir açının 180° yi geçmesidir; toplam sabit kalır. Sorularda içbükey şekil verilirse 180° yi aşan açının tam ölçüsü yazılmalıdır, dışarıda kalan küçük açı değil.
Konu özetinin verdiği iki bağıntı, hangi iki açının açıortayının çizildiğine göre ayrılıyor: komşu iki açının açıortayları toplamı, karşılıklı iki açının açıortayları ise farkı verir.
ABCD dörtgeninde [BE] açısının ve [CE] açısının açıortay olduğu durum. Kullanılmayan diğer iki açının toplamının yarısı çıkar.
B, E, F doğrusal olup [BF] ile [DE] karşılıklı iki açının açıortayı olduğunda, kalan iki açının farkının yarısı çıkar.
Şekle bak: açıortaylar komşu iki köşeden çıkıyorsa toplam, karşılıklı iki köşeden çıkıyorsa fark formülü kullanılır. İki bağıntıda da kullanılmayan diğer iki açı hesaba girer — açıortayı çizilen açılar değil.
Konu özetinin iki güçlü bağıntısı: köşegenler dik kesişiyorsa karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamları eşittir; kenarların orta noktaları birleştirilirse oluşan dörtgenin çevresi köşegenlerin toplamına eşittir.
[AC] ⊥ [BD] olan ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir.
E, F, G, H bulundukları kenarların orta noktaları ise EFGH dörtgeninin çevresi köşegenlerin uzunlukları toplamına eşittir.
[EF], ABC üçgeninde orta tabandır ve [AC] ye paraleldir; [HG] de ADC üçgeninde orta taban olduğu için yine [AC] ye paraleldir. İkisi de |AC|/2 uzunluğunda olduğundan EFGH bir paralelkenardır. Çevresi 2·(|AC|/2) + 2·(|BD|/2) = |AC| + |BD| çıkar. Bu açıklama konu özetinde yazmıyor; bağıntının 62. ünitedeki orta taban bilgisinden nasıl çıktığını göstermek için eklendi.
Konu özetinin tablosu dörtgenleri bir soy ağacı gibi diziyor. Bu ağaçta aşağıya inildikçe koşullar artar; bir üsttekinin bütün özellikleri alttakinde de geçerlidir.
Ok tek yönlüdür. Her kare bir dikdörtgendir ama her dikdörtgen kare değildir; her paralelkenar bir yamuktur ama her yamuk paralelkenar değildir. Soruda "bu dörtgen bir paralelkenardır" deniyorsa yamuğun bütün özelliklerini kullanabilirsin; tersi geçerli değildir.
Konu özetinin tanımı: en az iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. ABCD yamuğunda [AB] // [DC] ise [AB] alt taban, [DC] üst taban adını alır ve aynı yan kenar üzerindeki iki açı için x + y = 180° olur.
Yan kenarların orta noktaları olan E ile F yi birleştiren doğru parçasıdır; iki tabanın aritmetik ortalamasıdır.
Köşegenlerin orta tabanı kestiği K ve L noktaları arasındaki uzunluk, tabanların farkının yarısıdır.
Orta tabanın iki ucundaki parçalar birbirine eşit ve üst tabanın yarısı kadardır.
Tanım "en az iki kenarı paralel" dediği için paralelkenar da bir yamuktur — onda iki çift kenar paraleldir. Bu yüzden hiyerarşi tablosunda paralelkenar, yamuğun altında yer alır. Paralelkenarda a = c olduğundan orta taban (a + a)/2 = a yani tabana eşit çıkar, |KL| = 0 olur; köşegenler orta tabanı aynı noktada keser.
Etrafındaki neredeyse her düz yüzey bir dörtgen; hangi özel dörtgen olduğunu bilmek onunla ne yapabileceğini de söylüyor.
Ekran bir dikdörtgendir, yani aynı zamanda paralelkenardır. Bu yüzden karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir; ekran görüntüsünü döndürdüğünde oranı bozulmaz.
Klasik uçurtma bir deltoittir; köşegenleri diktir. Bu yüzden karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşit çıkar — iki çubuğu dik çakmak yeter.
Yandan bakınca kovanın kesiti yamuktur. Tam ortasındaki genişlik, alt ve üst genişliğin ortalamasıdır; bu yüzden yarıya kadar doldurmak hacmin yarısını vermez.
Bazı okul sıraları yamuk biçiminde tasarlanır ki yan yana dizildiklerinde yuvarlak bir masa oluşsun; her sıranın iki tabanı farklıdır.
Duvara monte katlanır destekler paralelkenar biçiminde açılıp kapanır; kenar uzunlukları değişmediği için raf hep yatay kalır.
Sahanın köşesinin dik olduğunu anlamak için köşegenleri ölçerler; dikdörtgende iki köşegen eşit uzunluktadır, farklıysa saha eğri çizilmiştir.
Örgü teller eşkenar dörtgenler oluşturur. Sepeti sıkıştırdığında kenar uzunlukları değişmez ama açılar değişir — bu yüzden esneyebilir.
Origami kâğıdı karedir; hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen olduğu için köşegenleri hem eşit hem diktir. Köşeden köşeye katlayınca tam ikiye bölünmesinin sebebi budur.
Evin ön yüzündeki üçgen çatının altında kalan pencere bölümü çoğu zaman yamuktur; kaplama hesabı yapılırken tam ortadaki genişlik iki tabanın ortalamasıyla bulunur.
Dörtgen kavramı, dışbükey ve içbükey ayrımı, iç ve dış açı toplamları, açıortay bağıntıları, dik kesişen köşegenler, orta noktalar dörtgeni, özel dörtgenlerin hiyerarşisi ile yamuk ve orta taban üzerine 36 soru.
Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktayı ardışık birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı düzlemsel şekildir.
Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgendir.
Herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgendir.
Dörtgende iç ve dış açı toplamları birbirine eşittir.
Kullanılmayan iki açının toplamının yarısıdır.
Kullanılmayan iki açının farkının yarısıdır.
Köşegenler dik kesişiyorsa karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.
Kenar orta noktaları birleştirilince çevre köşegenler toplamına eşit olur.
Dörtgen → yamuk / deltoid → paralelkenar → dikdörtgen ve eşkenar dörtgen → kare.
En az iki kenarı paralel olan dörtgendir; yan kenar üzerindeki iki açı bütünlerdir (x + y = 180°).
Yan kenarların orta noktalarını birleştirir; iki tabanın ortalamasıdır.
Uçtaki iki parça üst tabanın yarısı, ortadaki parça tabanların farkının yarısıdır.